Đề thi môn Toán năm 2012 - 2013 - Đề 3

ĐỀ 3 – TOÁN 12 – QUẢNG NAM I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH(7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình . Câu II (3,0 điểm) a) Giải phương trình . b) Tính tích phân . c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số . Câu III (1,0 điểm) Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện, tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó . II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí si nh học theo chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc 2). 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu IV.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(- 2; 1; - 1), B(0; 2; - 1), C(0; 3; 0), D(1; 0; 1). a) Viết phương trình đường thẳng BC. b) Chứng minh ABCD là một tứ diện và tính chiều cao AH của tứ diện. c) Viết phương trình mặt cầu tâm I(5; 1; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Câu V.a (1,0 điểm) Thực hiện phép tính 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu IV.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(1; - 1; 1), hai đường thẳng , và mặt phẳng . a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên (). b) Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng và nằm trong mặt phẳng (P). Câu V.b (1,0 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số với cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc với nhau. HẾT CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM I a). ( 2,0 điểm ) * TXĐ: D= * Sự biến thiên: ∙ Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0) và (1; ) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ; - 1) và (0;1) ∙ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ= y(0) = - 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT= y(1 ) = - 2 ∙ Giới hạn: ∙ Bảng biến thiên: x 0 1 y’ 0 + 0 0 + y * Đồ thị: ∙ Điểm uốn: Ta có ; Do đó đồ thị có hai điểm uốn ∙ Đồ thị giao với trục tung tại điểm (0; - 1), giao với trục hoành tại hai điểm ∙ Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng. . 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Pt (1) Phương trình (2) chính là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = m – 1 (cùng phương với trục hoành) Dựa vào đồ thị (C), ta có: § m -1 < -2 m < -1 : (1) vô nghiệm § : (1) có 2 nghiệm § -2 < m-1<-1 -1 < m < 0 : (1) có 4 nghiệm § m-1 = - 1 m = 0 : (1) có 3 nghiệm 0,25 0,75 II 0,25 0,25 0,5 (Đặt : ). Do đó: 0,25 0,25 0,5 Ta có : TXĐ Bảng biến thiên : x 0 4 + 0 - y 2ln2 - 2 Vậy : và hàm số không có giá trị nhỏ nhất. 0,25 0,25 0,25 0,25 III Gọi I là trung điểm của AB . Qua I dựng đường thẳng . Gọi J là trung điểm của SC. Trong mp(SAC) dựng trung trực của SC cắt tại O. Khi đó O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Tính được SI = cm, OI = JS = 1cm, bán kính r = OS = cm Diện tích : S = Thể tích : V = 0,25 0,25 0,25 0,25 IVa a) b) là véctơ pháp tuyến của mp(BCD). Suy ra pt của mp(BCD): 4x+(y-2)-(z+1)=0 hay 4x + y – z – 3 = 0. Thay tọa độ điểm A vào pt của mp(BCD), ta có: 4(-2) + 1 – (-1) - 30. Suy ra . Vậy ABCD là một tứ diện. Tính chiều cao c) Tính được bán kính của mặt cầu Suy ra phương trình mặt cầu 0,25 0,25 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 V.a = 1,0 IV.b a) Gọi mặt phẳng Khi đó : b) Gọi Vậy 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 V.b Phương trình hoành độ giao điểm của và trục hoành : với Điều kiện Từ (*) suy ra . Hệ số góc của tiếp tuyến Gọi là hoành độ A, B, ta có Hai tiếp uyến vuông góc với nhau thì (thỏa mãn điều kiện) Vậy giá trị cần tìm . 0,25 0,25 0,25 0,25