Dạy bài tập khối đa diện

DAÏY BAØI TAÄP KHOÁI ÑA DIEÄN Đặt vấn đề: Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên luôn phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán nhất là hình học không gian của học sinh còn rất yếu. Chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất khó vì nó trừu tường, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhìn hình không gian, khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập chưa cao Xuất phát từ thực tế trên tôi chuẩn bị một hệ thống bài tập chương khối đa diện dạy trong các tiết bài tập trên lớp (trên cơ sở bài tập sách giáo khoa) để học sinh rèn kỷ năng giải toán trên khối đa diện và giúp mọi đối tượng học sinh lĩnh hội kiến thức cơ bản nhất của chương. Cơ sở lý luận: Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế các tiết dạy bài tập về khối đa diện mà trọng tâm là thể tích khối đa diện. Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các tiết dạy bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của học sinh. Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời giải. Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt. Cơ sở thực tiển: Trong quá trình giảng dạy hình học không gian (chương trình cũ rơi vào lớp 11, chương trình mới rơi vào lớp 11 và 12) tôi thấy đa phần học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải toán hình không gian còn yếu. Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó đối với học sinh yếu, học sinh trường bán công dẫn đến học sinh có tư tưởng nản và e sợ không học. Do đó dạy bài tập đặc biệt với chương này tìm tòi, chọn bài tập, kết hợp bài tập sách giáo khoa, thiết kế trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra, đánh giá. Mục tiêu của đề tài: Học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhất của chương: phân biệt khối đa diện, thể tích khối đa diện, các đa diện đều. Tất cả học sinh rèn được kỷ năng tính toán các đại lượng hình học, tính được thể tích khối đa diện tương đối đơn giản. Trên cơ sở đã nắm được kiến cơ bản đó học sinh rèn kỷ năng giải các bài tập khó hơn về khối đa diện. Thời gian thực hiện: 6 tiết (4 tiết bài tập theo phân phối chương trình và 2 tiết tự chọn). Đối tượng: học sinh khối 12 trường bán công có đầu vào chất lượng hơi yếu, học theo chương trình chuẩn. Thực trạng của học sinh khi thực hiện đề tài: + Phần lớn học sinh không nhớ các hệ thức trong tam giác. + Các kiến thức cơ bản về hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp còn hạn chế. + Kỷ năng phát hiện quan hệ giữa các đường thẳng, mặt phẳng và chứng minh hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc mặt phẳng còn rất yếu. Cách thực hiện: + Trang bị cho học sinh một số kiến thức cần thiết: hệ thức trong tam giác vuông, các kiến thức cơ bản của tam giác đều, cân, hình vuông,(giao về nhà yêu cầu ôn lại và kiểm tra đầu tiết) + Trang bị cho học sinh một số kiến thức trọng tâm về quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng, mặt phẳng đã học ở lớp 11( đầu năm giành 1 tiết ôn tập trước khi dạy chương trình 12) + Hệ thống bài tập giao cho học sinh trong các giờ bài tập của chương: được đưa ra từ dễ đến khó, khai thác triệt để các bài tập trong sách giáo khoa kết hợp đưa thêm bài tập ngoài bằng cách sắp xếp lại theo dạng. + Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong sách giáo khoa có bài tôi thay đổi một số giả thiết về độ dài của một cạnh để học sinh dễ tính toán, dễ tiếp thu; các bài tập khó tôi bổ sung thêm những yêu cầu nhỏ để giảm bớt độ khó của bài. + Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, giao bài tập về nhà cho học sinh chuẩn bị trước. + Dạy xong các dạng giao bài tập tương tự về nhà cho các em luyện tập. Bằng cách này học sinh yếu, trung bình có thể tiếp thu được những yêu cầu cơ bản nhất của chương, học sinh khá nâng cao được kỷ năng giải toán, có hứng thú trong học tập. Nội dung nghiên cứu: Kiến thức cơ bản: Cho vuông ở A ta có : Định lý Pitago : AB. AC = BC. AH Công thức tính diện tích tam giác : Đặc biệt : vuông ở A : , đều cạnh a: Định lý đường trung bình, Talet. Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý: Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng : + Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng + Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a Lưu ý về công thức tỉ số thể tích Cho hình chóp SABC, , ta có: (*) Nội dung chính: Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài cho học sinh làm từ dễ đến khó trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách khác nhau. Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách xác định chiều cao và đáy của khối đa diện. Phương pháp: + Xác định đáy và dựng được chiều cao khối đa diện. + Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Tính thể tích của khối chóp MBCD. Yêu cầu: + Học sinh xác định được góc. + Xác định được công thức thể tích của khối, tính độ dài đường cao SA. +Xác định được đường cao trong trường hợp chân đường cao có thể không thuộc mặt đáy của khối. +Sử dụng được hệ thức trong tam giác vuông Lời giải: a)Ta có + + b) Kẻ Ta có: , Nhận xét: +Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng +Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông. Bài 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC). Yêu cầu: + Học sinh nắm cách vẽ khối tứ diện đều và tính chất đặc biệt của khối. +Xác định được đường cao và ghi thể tích của khối +Sử dụng được định lý Pitago Lời giải: a) Gọi O là tâm của + , + b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH Nhận xét: + Học sinh đa phần quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó. + Còn yếu trong tính toán độ dài của các yếu tố có trong hình vẽ. + Bài tập này là bài 1/25 sgk cơ bản lớp 12 bổ sung thêm câu b Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD. Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ Tính thể tích khối OBB’C’. Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Yêu cầu: +Học sinh xác định công thức thể tích của khối hộp và khối chóp. +Biết khai thác tính chất của hình hộp đứng để làm bài: Chọn đáy của khối OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp) +Giải được câu b) tương tự như bài 1b Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V. Ta có : . * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên: b) M là trung điểm BC c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Ta có : + Bài tập này rèn kỷ năng làm toán trên khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật. + Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích. Bài tập dạng: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện. Phương pháp: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích. (Trên cơ sở phát hiện những khối dễ xác định đường cao và diện tích đáy) Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’. Yêu cầu: +Học sinh biết chọn đáy và chiều cao đối với khối nhỏ đang tính Lời giải: Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’. + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích. Khối CB’D’C’ có + Khối lập phương có thể tích: Nhận xét: + Học sinh gặp nhiều khó khăn khi phân chia khối, giáo viên hướng dẫn + Bài toán này lấy từ bài tập 3/25 sách giáo khoa chỉ thay đổi giả thiết “hình hộp” thành “hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu. Sau đó, yêu cầu học sinh tự giải bài 3/25 sách giáo khoa ở nhà. Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC. E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE. Yêu cầu: + Học sinh biết cách tính khối A’B’ BC +Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai khối chóp tam giác. + Biết được đường thẳng nào vuông góc với mp(CEF), ghi công thức thể tích cho khối CEFA’. + Tương tự cho khối CFA’B’ Lời giải: a) Khối A’B’ BC: Gọi I là trung điểm AB, Ta có: b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’. +Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên +Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên + Vậy : + Bài tập này lấy từ bài 10/27 SGK 12 cơ bản và thay đổi một số giả thiết. Elà trung điểm thay cho trọng tâm G để bài toán dễ hơn, phù hợp với khả năng của học sinh. +Sau khi gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính được thể tích khối A’B’CF 3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách lập tỉ số thể tích của hai khối đa diện Phương pháp: + Tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện đã cho với một khối đa diện dễ tìm thể tích . + Rút ra thể tích của khối đa diện đã cho. + Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp. Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy, Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN Yêu cầu: +Học sinh ghi được thể tích khối SABC và tính. +Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối. + Nắm được công thức (*) để lập tỉ số thể tích đối với khối chóp Lời giải: a)Ta có: + + Vậy: b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm,ta có : // BC MN// BC Vậy: Nhận xét: +Một số học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý Talet +Qua bài toán đơn giản này học sinh tiếp cận được cách tính thể tích khối thông qua khối khác để chuyển qua bài toán khó hơn trong sách giáo khoa. Bài 7: (Bài 9/26 Sgk) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Hãy xác định mp(AEMF) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính thể tích khối chóp S.AEMF Yêu cầu: +Học sinh dựng được E, F dưới sự pháp vấn của giáo viên. +Tính được thể tích của khối S.ABCD sau khi đã làm qua nhiều bài tập. +Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF. Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối S.AMF bằng cách lập tỉ số ( tương tự như bài 5) Lời giải: a) Gọi . Ta có (AEMF) //BD EF // BD b) + + có : Vậy : c): Xét khối chóp S.AMF và S.ACD  Ta có : có trọng tâm I, EF // BD nên: Nhận xét: +Học sinh gặp khó khăn khi xác định E,F. +Học sinh đã biết cách sử dụng định lý Talet +Sau khi làm bài 6, học sinh tiếp thu bài số 7 dễ dàng hơn Bài 8: (Bài 5/26 Sgk) Cho tam giác ABC vuông cân ở A và . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Chứng minh Tính thể tích khối tứ diện CDEF. Yêu cầu: +Học sinh chứng minh được đường thẳng vuông góc mặt phẳng. +Nắm được nhu cầu tính các tỉ số ,. +Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông để suy ra Lời giải: a)Tính Ta có: b) Ta có: Ta có: c) Tính : Ta có: Mà , chia cho Tương tự: Từ (*) . Vậy Nhận xét: + Kỷ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa được tốt. + Giáo viên giúp học sinh rút ra tỉ số từ hệ thức trong tam giác vuông và khắc sâu để sử dụng. Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Chứng minh Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Yêu cầu: +Học sinh biết chứng minh + Biết phân thành hai khối chóp bằng nhau: + Sử dụng tỉ số để giải như bài 7. Lời giải: a) Ta có: b) Ta có Ta có Suy ra: c) Tính +Tính : Ta có: vuông cân nên Ta có: Từ + Nhận xét: + Bài toán này lấy từ bài tập 8/26 sách giáo khoa. Tuy nhiên, tôi thay đổi một số giả thiết để phù hợp với khả năng của học sinh: “Hình chữ nhật” được thay bởi hình vuông cạnh a, “Cạnh SA=c” được thay bởi . Nếu giữ nguyên các kích thước như vậy thì việc tính toán quá nặng. +Sau khi làm bài 8, học sinh tiếp thu bài toán 9 dễ dàng và nhẹ nhàng hơn. 4)Bài tập về nhà: Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc đáy, SA=. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính độ dài đường cao đỉnh A của SABC. Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC=, góc giữa AC’ và mp(A’A’C’D’) bằng . M là trung điểm AD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật. b) Tính thể tích khối MACB’ Bài 4 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh bằng a. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’. b) Tính thể tích khối CBA’B’ Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC và ABC đều cạnh a. Góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) bằng . Tính thể tích của khối chóp SABC. Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có , tam giác ABC vuông cân tại A, BC = , SA=2a. E là trung điểm SB, F là hình chiếu của A lên SC. a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b) Tính thể tích khối SAEF. c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE) Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a, M là trung điểm SB. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.DCM c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA tại N. Tính thể tích khối chóp S.MNDC Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật, AB = 2BC=a, SA= a. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) AH, AK là đường cao của tam giác SAB và SAD. Tính thể tích của khối S.AHK C.Kết quả: Với thời lượng 6 tiết bài tập, dưới sự hướng dẫn của giáo viên kết hợp thảo luận trao đổi với nhau, học sinh giải được 9 bài tập mà trong đó bài sau có một hay vài yêu cầu tương tự bài tập trước giúp học sinh có thể nắm, hiểu, làm bài tại lớp. Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản. Cụ thể như sau: Lớp 12C4 (Sỉ số 51) G K TB Y Kém SL % SL % SL % SL % SL % 0 0 7 13.7 31 60.8 13 25.5 0 0 Lớp 12C5 (Sỉ số 49) G K TB Y Kém SL % SL % SL % SL % SL % 2 4.1 7 14.3 28 57.1 12 24.5 0 0 D.Kết luận – Kiến nghị: Việc chọn trình tự bài tập và phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọn một số bài toán cơ bản để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn. Việc giao bài tập về nhà cho học sinh nghiên cứu giúp học sinh có thái độ tích cực, tự giác tìm lời giải cho mỗi bài toán. Học sinh tiến bộ hơn rất nhiều, số đông các em không còn lúng túng thiếu tự tin như trước nữa, trong các em đã có sự chuyển biến rõ rệt. Tuy nhiên, vẫn còn một số học sinh không tiến bộ do mất cơ bản, sức ỳ quá lớn hoặc chưa có động cơ, hứng thú trong học tập. * Kiến nghị: hệ thống bài tập chương Khối đa diện của sách giáo khoa chương trình chuẩn quá khó không phù hợp với đối tượng học sinh học toán theo chương trình chuẩn. Hầu như không có những bài tập cơ bản, đơn giản nhất để học sinh yếu trung bình củng cố kiến thức, luyện tập. Dẫn đến học sinh dễ e sợ khi học chương này và dễ mất kiến thức. Mặc dù đề tài đạt được một số kết quả nhất định song không tránh khỏi những thiếu xót và hạn chế. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú và có hiệu quả hơn. Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa hình học lớp 12- chương trình chuẩn- nhà xuất bản giáo dục- năm 2008. Sách bài tập hình học 12- Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)- nhà xuất bản giáo dục- năm 2008. Sách giáo khoa hình học lớp 12- chương trình nâng cao- nhà xuất bản giáo dục- năm 2008. Rèn luyện giải toán hình 12 - Nguyễn Văn Minh, Đặng Phúc Thanh nhà xuất bản giáo dục- năm 2008. Phương pháp giải toán hình học 12- TS Nguyễn Cam- Nhà xuất bản Đại học sư phạm MỤC LỤC A. Đặt vấn đề 3 I - Cơ sở lý luận ... 3 II - Cơ sở thực tiển .. 3 III - Cách thực hiện ... 4 B. Nội dung nghiên cứu. I - Kiến thức cơ bản . 5 II - Nội dung chính Bài tập dang 1 5 Bài tập dang 2 7 Bài tập dang 3 9 Bài tập tự luyện .. 13 C. Kết quả .. 14 D. Kết luận – Kiến nghị .. 14 Tài liệu tham khảo 15