Chuyên đề Tìm cực trị của một biểu thức

Tìm cực trị của một biểu thức I- Kiến thức cơ bản - Để tìm gtnn của một biểu thức A, ta cần : CMR A k với k là hằng số Chỉ ra dấu “=” có thể xẩy ra. - Để tìm gtln của một biểu thức A, ta cần : CMR A k với k là hằng số Chỉ ra dấu “=” có thể xẩy ra. II- Các dạng bài tập tìm cực trị thường gặp 1. Tam thức bậc hai : Ví dụ 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 – 8x + 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của B = - 5x2 – 4x + 1 c) Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c . Tìm gtnn của P nếu a > 0 Tìm gtln của P nếu a < 0 Ví dụ 2 : Tìm gtnn của biểu thức M = (x - 1)2 + (x – 3)2 @Bg Chú ý , ta có (x - 1)2 0 (1) , (x – 3)2 0 (2) , nên M 0 nhưng không thể kết luận được gtnn của M = 0 vì không đồng thời xẩy ra dấu đẳng thức ở (1) và (2). Ta có : M = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2 Vậy min M = 2 x = 2 . 2. Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối : Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A = @Bg Cách 1: Xét khoảng x - 4, do đó A > 1 (1) Xét khoảng 2 x 3 thì A = 1 (2) Xét khoảng x > 3 thì A = 2x – 5 , do x > 3 nên 2x > 6, do đó A > 1 (3) So sánh (1), (2), (3) ta được min A = 1 2 x 3 Cách 2 : Vận dụng bất đẳng thức : 1. dấu “=” A.B 0 2. dấu “=” A.B 0 và ( có thể viết A B 0 hoặc A B 0 ) Ta có A = = 1, do đó min A = 1 (x - 2)(3 – x) 0 2 x 3 . Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B = (3x – 1)2 - 4 + 5 @Bg Đặt = t thì B = 2 - 4 + 5 = t2 – 4t + 5 = (t – 2)2 + 1 1 Min B = 1 t = 2 x1 = 1 ; x2 = 3. Đa thức bậc cao : Ví dụ 1 : Tìm gtnn của A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) . Ví dụ 2 : Tìm gtnn của B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 @Bg B = x2 – 2xy + y2 + x2 – 2x + 1 + 2 = (x – y)2 + (x - 1)2 + 2 2 Min B = 2 x = y = 1 4. Các dạng phân thức đại số a) Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai Ví dụ 1 : Tìm gtln của A = @Bg A = = . Vì với mọi x nên A luôn có dạng một phân số dương, tử số là hằng số nên A lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất . Vậy max A = = x = Ví dụ 2 : Tìm gtnn của B = @Bg B = . Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1)2 + 4 4 Do đó (theo t/c a b với a và b cùng dấu). B , min B = x = b) Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức. Ví dụ 1 : Tìm gtnn của A = @Bg Điều kiện x 1 A = = 1 + + . Đặt = t (dể đưa A về đa thức bậc 2) A = 3t2 + 3t + 1 = 3(t + )2 + . Vậy min A = t = hay x= -1 (TMĐK x 1). N/x : PP giải dạng bài tập trên là viết tử thức dưới dạng luỹ thừa của mẫu Ví dụ 2 : Tìm gtnn của B = . @Bg Cách 1: B = = 3 - + Đặt t = thì B = 3 – 2t + t2 = (t – 1)2 + 2 2 , min B = 2 t = 1 x = 2 Cách 2 : B = = 2 + 2 , min B = 2 x = 2. c) Các phân thức dạng khác : Ví dụ 1 : Tìm gtnn và gtln của A = @Bg Để tìm gtnn, viết A dưới dạng : A = , min A = - 1 x = 2 Để tìm gtln, viết A dưới dạng : A = 4 , max A = 4 x = . N/x : Cách giải trên tuy gọn nhưng thiếu tự nhiên. Trong trường hợp phân thức có mẫu là đa thức bậc hai và tử có bậc không quá bậc hai ta có một pp xác định được cực trị của biểu thức đó là pp tìm miền giá trị của hàm số . (Một số vấn đề phát triển đại số 9) . Ví dụ 2 : Tìm gtln và gtnn của B = @Bg *) Tìm gtln : B = = 9 - với mọi x Vậy max B = 9 = 0 x = - *) Tìm gtnn : B = Vậy min B = - 1 (x – 2)2 = 0 x = 2 . 5. Tìm cực trị của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1 . @Bg (Sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A) A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (Đến đây có nhiều cách giải) Cách 1 : Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x : Thay y = 1 – x vào biểu thức A : A = x2 + (1 – x2) = 2(x - )2 + , min A = x = ; y = . Cách 2 : Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A : x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1 (1) , mặt khác (x – y)2 0 x2 – 2xy + y2 0 (2) Cộng (1) với (2) được 2(x2 + y2) 1 x2 + y2 . Min A = x = y = . Cách 3 : (Sử dụng điều kiện đã cho để đưa vào một biến mới) : Đặt x = + a thì y = - a. Biểu thị x2 + y2 theo a ta được : x2 + y2 = ( + a)2 + ( - a)2 = + 2a2 , min A = a = 0 x = y = . Ví dụ 2: Cho x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + y2 + z2 Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz @Bg Bình phương 2 vế của x + y + z = 3 ta có : x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1) Dễ dàng chứng minh được x2 + y2 + z2 xy + yz + xz (2) , xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z. a) Từ (1) và (2) 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) Do đó x2 + y2 + z2 3 ; min A = 3 x = y = z = 1. Từ (1) và (2) 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy + yz + xz + 2(xy + yz + xz) = 3(xy + yz + xz) Do đó xy + yz + xz 3 ; max B = 3 x = y = z = 1. Ví dụ 3* : Tìm gtnn và gtln của : Biẻu thức A biết rằng A(A - 1) 2 Biểu thức A = 2 – x – y – z biết rằng (2 – x – y – z)2 = 4 – x2 – y2 – z2 . @Bg a) (Ta dùng p2 xét dấu một tích) A(A - 1) 2 A2 – A – 2 0 (A + 1)(A – 2) 0 Lập bảng xét dấu ta có -1 A 2 ; min A = -1 , max A = 2 . b) Từ giả thiết ta có x + y + z = 2 – A ; x2 + y2 + z2 = 4 – A2 Ta đưa ra một bđt trong đó chứa x + y + z và x2 + y2 + z2 . Ta có (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) (1) Mặt khác dễ CM được xy + yz + xz x2 + y2 + z2 (2) Từ (1) và (2) (x + y + z)2 3(x2 + y2 + z2) , xẩy ra đẳng thức x = y = z . Do đó (2 – A)2 3(4 – A2) A2 – A – 2 0 . Giải tương tự câu a) được : Min A = -1 x + y + z = 3 ; x = y = z x = y = z = 1. Max A = 2 x + y + z = 0 ; x = y = z x = y = z = 0. III- Những chú ý khi tìm cực trị của một biểu thức . 1. Chú ý 1 : Khi tìm cực trị của biểu thức ta có thể đổi biến. Chẳng hạn ở ví dụ 2 mục 1(Tam thức bậc hai) ta có thể đặt x – 2 = y, khi đó A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2 2 min A = 2 y = 0 x = 2 2. Chú ý 2 : Khi tìm cực trị của biểu thức, nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị. Chẳng hạn : -A lớn nhất A nhỏ nhất, lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0, C lớn nhất C2 lớn nhất với C > 0 . Ví dụ 1 : Tìm gtln và gtnn của A = @Bg (Chú ý rằng A > 0 nên A lớn nhất nhỏ nhất và ngược lại) Ta có = = = 1 + Tìm gtln của A : ta có 2x2 0, x4 + 1 > 0 0 1 + 0 = 1 , min = 1 x = 0 do đó max A = 1 x = 0 . Tìm gtnn của A : Ta có 2x2 x4 + 1 (dễ chứng minh, dấu “=” xẩy ra x2 = 1) mà x4 + 1 > 0 nên 1. Suy ra 1 + 1 = 2, max = 2 x2 = 1, do đó min A = 1. Chú ý : *) Cách khác tìm gtln của A: A = = 1 - 1, maxA = 1x = 0 *) Cách khác tìm gtnn của A: A = = = min A = 3. Chú ý 3 : Nhiều khi ta cần tìm cực trị của một biểu thức trong từng khoảng của biến, sau đó so sánh các cực trị đó dể tìm gtnn, gtln trong toàn bộ tập xác định của biểu thức. Ví dụ 2 : Tìm gtln của biểu thức A = với x, y là các số tự nhiên. @Bg Xét x + y 4 : - Nếu y = 0 thì A = 0 - Nếu thì A 3 - Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 0 Xét x + y 6 thì A = 0. So sánh các giá trị trên của A ta thấy max A = 4 x = 0, y = 4. 4. Chú ý 4 : Khi tìm cực trị của một biểu thức, ta thường sứ dụng các bất đẳng thức đã biết. Sau đây là các hằng bất đẳng thức thuộc chuyên đề bất đẳng thức: a2 0 ; - a2 0 ; 0, xẩy ra dấu đẳng thức khi a = 0 a xẩy ra dấu “=” khi a = 0. xẩy ra dấu “=” khi ab 0. xẩy ra dấu “=” khi ab 0 và (các điều kiện này có thể diễn đạt là a b 0 hoặc a b 0). a2 + b2 2ab ab hay (a + b)2 4ab (BĐT Cô-si) xẩy ra dấu “=” khi a = b với a ; b > 0. 2 với ab > 0 (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) (BĐT Bunhiacôpxki) xẩy ra dấu “=” khi . Ví dụ 3 : Cho x2 + y2 = 52, tìm giá trị lớn nhất của A = @Bg Ta thấy 2x + 3y và x2 + y2 là các thành phần của BĐT Bunhia với a = 2, b = 3. Ta có (2x + 3y)2 (22 + 32).52 = 13.13.4 = 132.22 26 Max A = 26 . Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta được x2 + = 52 Vậy max A = 26 x = 4 ; y = 6 hoặc x = - 4 ; y = - 6. Khai thác bài toán: Nếu tìm gtln của B = 2x + 3y ta có B = 2x + 3y 26 max B = 26 ; 2x + 3y 0 x = 4 ; y = 6. 5. Chú ý 5 : Trong các hằng BĐT cần chú ý đến 2 mệnh đề sau cho ta gtln của tích, gtnn của tổng: - Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau. - Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau. Để chứng minh 2 mệnh đề trên ta dùng BĐT (a + b)2 4ab : Nếu 2 số a và b có a + b = k(hằng số) thì từ (a + b)2 4ab ta có ab ; max(ab) = a = b. Nếu 2 số dương a và b có ab = k thì a + b nhỏ nhất (a + b)2 nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của (a + b)2 = 4k a = b. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) @Bg Các biểu thức x2 – 3x + 1 và 21 + 3x – x2 có tổng không đổi ( = 22 ) nên tích lớn nhất khi và chỉ khi x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 x1 = 5 ; x2 = - 2. Khi đó A = 11.11 = 121 Vậy max A = 121 x = 5 hoặc x = - 2 . Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B = với x > 0 @Bg B = 8x + 2 + . Vì 8x. = 4 (với x > 0) nên B min 8x = 16x2 = 1 x = Vậy min B = = 6 x = . 6. Chú ý 6: Trong các ví dụ trên , ta chỉ ra tất cả các giá trị của biến để xẩy ra dấu đẳng thức. Tuy nhiên, yêu cầu của bài toán tìm cực trị không đòi hỏi như vậy, chỉ cần chứng tỏ rằng tồn tại giá trị của biến để xẩy ra dấu đẳng thức . Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = với m , n là các số nguyên dương. @Bg Ta thấy 11m tận cùng bằng 1; 5n tận cùng bằng 5 Nếu 11m > 5n thì A tận cùng bằng 6, nếu 11m < 5n thì A tận cùng bằng 4. Ta chỉ ra một trường hợp A = 4 ; Với m = 2 , n = 3 thì A = = 4. Vậy min A = 4 khi chẳng hạn m = 2, n = 3 Ta thấy (2;3) là một cặp giá trị của m và n để A = 4 (Việc tìm ra mọi cặp giá trị của m và n để A = 4 là một việc khó khăn hơn nhiều) IV- Các bài tập tổng hợp . Bài 1 : Tìm gtnn của các biểu thức : a) A = (x + 8)4 + (x + 6)4 (Đặt x + 7 = y A = 2y4 + 12y2 + 2 2) b) B = (0,5x2 + x)2 - 3 c) C = (x - 1)(x – 3)(x2 – 4x + 5) (Đặt t = x2 – 4x + 3 min C = -1 x = 2) d) M = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) e) N = ( dấu “=” A.B 0 Ta có 2, dấu “=” (x - 1)(3 - x)0 hay ; mặt khác , dấu “=” x = 2. Vậy B 2 + 0 = 2, dấu “=” khi x = 2, vậy min B = 2 khi x = 2) f) D = x4 – 2x3 + 3x2 – 2x + 1 (D = (x2 – x + 1)2 ; min D = ) g) E = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9 (E = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 0 min E = 0 , x = 3) h) F = ( dấu “=” A.B 0 ) i) G = x2 – 2xy + 2y2 + 2x – 10y + 17 (G = (x – y)2 + 2(x – y) + 1 + (y – 4)2 = (x – y + 1)2 + (y – 4)2 0) j*) H = x2 – xy + y2 – 2x – 2y (2B = (x – y)2 + (x – 2)2 + (y – 2)2 – 8 - 8). k*) K = x2 + xy + y2 – 3x – 3y (K = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y ; K + 3 = (x – 1)2 + (y – 1)2 + xy – x – y + 1 = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x - 1)(y - 1) . Đặt (x – 1) = a, (y – 1) = b thì K + 3 = a2 + b2 + ab 0; min K = - 3 a = b = 0 x = y = 1) Bài 2 : Tìm gtnn của : a) A = ; b) B = c) C = ( cách 1 : C = ; cách 2 : Đặt t = ) d) D = (= 2 - ) e) E = f) F = g) G = (Đặt t = ; min G = ) h*) D = (bg : D = (x - 1) Đặt = t D = (t - )2 + …) Bài 3 : Tìm gtln của a) A = b) M = c*) B = (bg : Với x = 0 thì B = 0 ; với x 0 thì x4 + 1 2x2 > 0 Vậy max B = x = 1 ) d) D = (D = ) Bài 4 : Tìm gtnn hoặc gtln của : a) b) c) d) Bài 5 : Tìm gtln và gtnn của : a) M = (minM = maxM = ) b) N = (minN = maxN = ) c) P = (min P = max P=) d) Q =