SKKN Phương trình vô tỉ, cách giải phương trình vô tỉ trong trường THCS - Nguyễn Hiếu Thảo

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 1 sáng kiến kinh nghiệm ph−ơng trình vô tỉ cách giải ph−ơng trình vô tỉ trong tr−ờng thcs phần thứ nhất đặt vấn đề. I - Cơ sở lí luận. Mục tiêu của giáo dục và đào tạo đã đ−ợc nghị quyết TƯ2 khoá VIII xác định là: '' Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi d−ỡng nhân tài''. Nh− vậy song song với việc nâng cao mặt bằng dân trí cho toàn dân , đào tạo nhân lực có tay nghề cao cho các ngành nghề thì việc '' phát hiện và bồi d−ỡng nhân tài '' đ−ợc Đảng và Nhà n−ớc ta rất quan tâm. Nh− các bạn đã biết Toán học là một môn khoa học nói chung, nh−ng lại giữ một vai trò rất chủ đạo trong các nhà tr−ờng cũng nh− đối với các ngành khoa học khác. Hiện nay đầu t− sâu cho bộ môn Toán là mục tiêu của nhiều ngành giáo dục của các n−ớc trên thế giới cũng nh− ngành giáo dục của Việt Nam ta. Toán học nh− một kho tàng tài nguyên vô cùng phong phú và quí giá mà nếu ai đã đi sâu tìm hiểu, khai thác thì sẽ thấy rất mê say, ham muốn khám phá và hiểu biết ngày càng nhiều hơn ở bộ môn này. Các bậc phụ huynh cũng nh− các thầy cô giáo, các thế hệ học sinh luôn mơ −ớc học giỏi bộ môn này, tuy nhiên để đạt đ−ợc điều đó thật chẳng dễ dàng gì. Hiện nay, trong các nhà tr−ờng đặc biệt là nhà tr−ờng THCS, ngoài việc dạy kiến thức cơ bản cho HS thì việc dạy cách học, cách nghiên cứu và phát triển kiến thức cho các em rất đ−ợc chú trọng. Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu bài cơ bản và ngày một say mê bộ môn Toán, bản thân mỗi ng−ời giáo viên phải tự mình tìm ra những ph−ơng pháp giải sao cho phù hợp với từng đối t−ợng học sinh và kích thích lòng ham muốn học Toán của các em, từ đó tìm ra đ−ợc những học sinh có năng khiếu về bộ môn này, để có thể bồi d−ỡng các em trở thành những học sinh giỏi, có ích cho xã hội. Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc nắm đ−ợc các ph−ơng trình sơ cấp đơn giản và cách giải những ph−ơng trình đó đối với những đối t−ợng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các ph−ơng trình đó ở dạng khó hơn, phức tạp hơn đối với đối t−ợng học sinh khá - giỏi. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 2 Với rất nhiều những chuyên đề đ−ợc đề cập đến khi dạy đại số cấp THCS nói chung và ph−ơng trình đại số nói riêng, tôi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sâu hơn về ph−ơng trình vô tỉ với các dạng của nó và các ph−ơng pháp giải, cho đối t−ợng là những HS có nhu cầu ham muốn đ−ợc khám phá loại ph−ơng trình này một cách sâu hơn đối với đại trà các em học sinh chỉ giải các ph−ơng trình vô tỉ ở dạng đơn giản trong sách giáo khoa Toán 9. Sau đây tôi xin mạnh dạn trình bày những suy nghĩ cũng nh− những gì mà tôi tìm hiểu, tham khảo đ−ợc về ph−ơng trình vô tỉ mong các bạn cùng thầy cô đóng góp ý kiến cho tôi. II - Cơ sở thực tiễn. Trong ch−ơng trình Toán THCS, các bài toán về ph−ơng trình vô tỉ đ−ợc đề cập đến nh−ng không nhiều, nh−ng nó lại có rất nhiều dạng và có vai trò rất quan trọng. Các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm chắc và vận dụng thật nhuần nhuyễn, có hệ thống một số kiến thức khác nh− : ph−ơng trình bậc nhất một ẩn, ph−ơng trình tích, ĐKXĐ của một số loại biểu thức...Nó nâng cao khả năng vận dụng, phát triển khả năng t− duy cho HS, ngoài ra nó còn là một trong những kiến thức đ−ợc sử dụng thi đầu vào khối PTTH d−ới dạng bài tập khó. Trên thực tế ,với kinh nghiệm bản thân trong quá trình giảng dạy tôi thấy HS th−ờng mắc một số khuyết điểm sau khi giải ph−ơng trình vô tỉ: - Thiếu hoặc sai ĐKXĐ của ph−ơng trình (chủ yếu là ĐKXĐ của căn thức). - Chỉ giải đ−ợc dạng ph−ơng trình đơn giản trong SGK. -Khi bình ph−ơng hai vế của ph−ơng trình để làm mất CBH th−ờng các em không tìm ĐK để cả hai vế đều d−ơng. - ở dạng phức tạp hơn thì các em ch−a có điều kiện nghiên cứu nên kĩ năng giải rất hạn chế, các em th−ờng không có cơ sở kiến thức để phát triển ph−ơng pháp giải. - Có rất ít tài liệu đề cập sâu về dạng ph−ơng trình này. - Không đồng đều về nhận thức trong một lớp nên việc phát triển kiến thức về ph−ơng trình vô tỉ trong các tiết dạy là rất khó. Có nhiều tài liệu, chuyên đề viết về ph−ơng trình của khối THCS nh−ng với ph−ơng trình vô tỉ cũng ch−a nhiều. Để giúp các em HS nắm đúng, nắm chắc từng dạng và ph−ơng pháp giải từng dạng, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm ''ph−ơng trình vô tỉ và các cách giải'' áp dụng cho khối THCS với hy vọng phần nào tháo gỡ những khó khăn cho các em HS khi gặp dạng ph−ơng trình này và là cuốn tài liệu có thể dùng để tham khảo đối với các bạn đồng nghiệp. Với kinh nghiệm còn rất hạn chế và thời gian nghiên cứu ch−a nhiều, sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 3 này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Do vậy tôi rất mong nhận đ−ợc sự đóng góp ý kiến thật chân tình của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc để sáng kiến này có thể đ−ợc áp dụng rộng rãi hơn, góp phần thúc đẩy chất l−ợng học tập của các em HS. iii - nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu về khái niệm của ph−ơng trình một ẩn, khái quát và cách giải ph−ơng trình đó. - Kỹ năng giải các ph−ơng trình: Ph−ơng trình chứa ẩn ở mẫu, ph−ơng trình bậc nhất một ẩn, ph−ơng trình chứa hệ số ba chữ, ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ph−ơng trình tích, ph−ơng trình th−ơng, ph−ơng trình bậc cao... - Kỹ năng giải các ph−ơng trình bậc cao đ−a về ph−ơng trình bậc 1, bậc 2, ph−ơng trình vô tỉ... - Làm các bài tập minh hoạ. - Một số ph−ơng pháp giải và các dạng bài tập th−ờng gặp. iv - Đối t−ợng nghiên cứu: - Học sinh lớp 9 tr−ờng THCS. - Học sinh thi học sinh giỏi của tr−ờng và của huyện. v- ph−ơng pháp nghiên cứu: - Tìm đọc các tài liệu tham khảo và nghiên cứu kĩ SGK -Dạy và trắc nghiệm trên ba đối t−ợng học sinh: Khá, giỏi - trung bình - yếu, kém. - Đ−a ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện. - Tham khảo các tr−ờng bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy lâu năm có nhiều kinh nghiệm. - Dự giờ, kiểm tra chất l−ợng học sinh. -Dạy thực nghiệm một tiết trên 2 lớp 9 của tr−ờng. vi - Phạm vi nghiên cứu và thời gian nghiên cứu: - Giới thiệu nghiên cứu ph−ơng trình vô tỉ trong ch−ơng trình đại số lớp 9 (Tr−ờng THCS). - Làm trắc nghiệm trong 3 tháng học kỳ I. - Kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 4 vi - điều tra cơ bản: * Tổng số học sinh khối 9: - 78 học sinh/2 lớp 9 - đại trà. - 5 học sinh đội tuyển Toán giỏi tr−ờng chuẩn bị tham dự thi HSG huyện. * Phân loại: - Khá, giỏi: 20 học sinh. - Trung bình: 45 học sinh. - Yếu , Kém: 13 học sinh. * Chuẩn bị sách giáo khoa và các bài tập 78/78 học sinh có đủ. phần thứ hai giải quyết vấn đề i - Kiến thức cần sử dụng Để giải quyết tốt các vấn đề về ph−ơng trình vô tỉ thì HS cần nắm chắc một số kiến thức cơ bản sau: 1. + Khái niệm về ph−ơng trình, nghiệm của ph−ơng trình, ĐKXĐ của ph−ơng trình + Các định nghĩa, định lý về biến đổi hai ph−ơng trình t−ơng đ−ơng. + Cách giải các loại ph−ơng trình cơ bản nh−: Ph−ơng trình bậc nhất một ẩn, ph−ơng trình tích, ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ph−ơng trình chứa ẩn ở mẫu, ph−ơng trình bậc hai một ẩn số... + Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức số. 2 . Học sinh nắm chắc: + Định nghĩa ph−ơng trình vô tỉ. + Các bài giải ph−ơng trình vô tỉ nói chung. + Các kiến thức cơ bản về căn thức. + Các ph−ơng pháp giải ph−ơng trình vô tỉ. + Các dạng ph−ơng trình vô tỉ, cách giải từng dạng. + Những sai lầm th−ờng gặp khi giải ph−ơng trình vô tỉ. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 5 II - Một số khái niệm 1 - Khái niệm về ph−ơng trình một ẩn: a - Khái niệm: cho A(x), B(x) là hai biểu thức chứa biến x, khi đó A(x) = B(x) gọi là ph−ơng trình một ẩn. Trong đó: + x đ−ợc gọi là ẩn. + A(x), B(x) gọi là hai vế của ph−ơng trình. + Quá trình tìm x gọi là giải ph−ơng trình. + Giá trị tìm đ−ợc của x gọi là nghiệm của ph−ơng trình. + : Tập hợp nghiệm của ph−ơng trình. + Tập xác định: Tập xác định của ph−ơng trình (th−ờng viết tắt là TXĐ) b - Tập xác định của ph−ơng trình: Là tập những giá trị của biến làm cho mọi biểu thức trong ph−ơng trình có nghĩa. c - Các khái niệm về hai ph−ơng trình t−ơng đ−ơng: + Là hai ph−ơng trình có cùng một tập hợp nghiệm. Hoặc : Nghiệm của ph−ơng trình này cũng là nghiệm của ph−ơng trình kia và ng−ợc lại. 2. Ph−ơng trình vô tỉ: a) Định nghĩa: Ph−ơng trình vô tỉ là ph−ơng trình chứa ẩn ở d−ới dấu căn. Ví dụ: 1. x+1 - 3 x+2 = 4 . 2. -3 12 x -2x + 5 = 0 b) Các b−ớc giải ph−ơng trình vô tỉ (dạng chung): + Tìm tập xác định của ph−ơng trình. + Biến đổi đ−a ph−ơng trình về dạng ph−ơng trình đã học. + Giải ph−ơng trình vừa tìm đ−ợc. + So sánh kết quả với tập xác định và kết luận. 3. Các kiến thức cơ bản về căn thức + Một số âm không có căn thức bậc chẵn vì điều kiện của ẩn là biểu thức chứa trong dấu căn bậc chẵn là một số không âm. + Đặt điều kiện để phép nâng lên luỹ thừa bậc chẵn cả hai vế ph−ơng trình đảm bảo nhận đ−ợc ph−ơng trình t−ơng đ−ơng. + 2A = A (với mọi biểu thức A) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 6 iii - các dạng ph−ơng trình vô tỉ cơ bản và cách giải: 1 - Dạng 1 (x) = g (x) (1). Đây là dạng đơn giản nhất của ph−ơng trình vô tỉ. Sơ đồ cách giải: (x) = g (x)  g(x)  0 (2). f(x) = [g(x)]2 (3). Giải ph−ơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của ph−ơng trình (1). Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình: 5x = x - 7 (1) Giải Ph−ơng trình (1)       )3()7()5( )2(07 2xx x Giải ph−ơng trình (3) : x - 5 = x2 -14x + 49  x2 -15x + 54 = 0  (x - 6)(x - 9) = 0 => x = 6 hoặc x = 9 Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = 9 thoả mãn Vậy ph−ơng trình đã cho có nghiệm là : x = 9 Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình: 5x = 1 - x (1) Giải Ph−ơng trình (1)  1 - x  0  x  1 (2) x + 5 = (1 - x)2 x2 - 3x - 4 = 0 (3) Giải ph−ơng trình (3) : (x + 1)(x - 4) = 0 => x = -1 hoặc x = 4 Đối chiếu với ĐK (2) ta thấy x = -1 thoả mãn Vậy x = -1 là nghiệm của ph−ơng trình (1). 2 - Dạng 2 (x) + h(x) = g(x) (1). Sơ đồ cách giải. -Tìm điều kiện có nghĩa của ph−ơng trình: f(x)  0 g(x)  0 (2). h(x)  0 Với điều kiện (2) hai vế của ph−ơng trình không âm nên ta bình ph−ơng hai vế, ta có: )()( xgxf = 2 1  g(x)2 - (x) - h(x)  (3) Ph−ơng trình (3) có dạng (1) nên có điều kiện mới:  g(x)2 - f(x) - h(x)  0 (4) Bình ph−ơng hai vế của ph−ơng trình (3) đ−ợc ph−ơng trình mới đT biết cách giải. Đối chiếu nghiệm với điều kiện (2) và điều kiện (4) rồi kết luận. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 7 Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình: 3x + x1 = 2 (1) Giải Điều kiện có nghĩa: x + 3  0  x  - 3  -3  x  1 (*) 1 - x  0 x  1 Với điều kiện (*) ph−ơng trình có hai vế không âm nên bình ph−ơng hai vế ta có: x + 3 + 1 - x + 2 3x . x1 = 4 3x . x1 = 0 => x = 1 hoặc x = -3 Cả 2 nghiệm đều thoả mãn ĐK (*) Vậy ph−ơng trình đã cho có hai nghiệm là : x = -3 hoặc x = 1 Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình: 3x = 5 - 2x 3x + 2x = 5 (1) Giải Điều kiện : x + 3  0 x  -3 x  2 (*) x- 2 0 x  2 Với điều kiện (*) bình ph−ơng cả hai vế của ph−ơng trình (1) ta có : 2x + 1 + 2 3x . 2x = 25  2 3x . 2x = 24 - 2x 3x . 2x = 12 - x (2) Điều kiện để (2) có nghĩa: 12 - x  0  x  12 (**) Bình ph−ơng hai vế của (2) ta có: (x + 3)(x - 2) = (12 - x)2  x2 + x - 6 = 144 - 24x + x2  25 x = 150  x = 6 thoả mãn điều kiện (*) và (**) Vậy nghiệm của ph−ơng trình là x = 6. 3 - Dạng 3 (x) + h(x) = g(x) (1) Dạng 3 chỉ khác dạng 2 ở vế phải là g(x) nên cách giải t−ơng tự nh− dạng 2. Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình 1x = x12 + 7x (1) Giải Điều kiện x + 1  0 12 - x  0 x - 7  0 Với điều kiện (*) ph−ơng trình (1) có hai vế không âm nên ta bình ph−ơng hai vế, ta đ−ợc : ( 1x )2 = ( x12 + 7x )2 7  x  12 (*) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 8 < x + 1 = 12 - x + x - 7 + 2. x12 . 7x  2 x12 . 7x = x - 4 (2) Với (*) thì hai vế của ph−ơng trình (2) không âm ta bình ph−ơng hai vế của (2) ta đ−ợc: Ph−ơng trình (2) < 4 (- x2 + 19x - 84) = x2 - 8x + 16  5x2 - 84x + 352 = 0 (3) Ta có : ' = 1764 - 1760 = 4 > 0  ' = 2 Ph−ơng trình (3) có hai nghiệm: x1 = 8,8 ; x2 = 8 đều thoả mãn ĐK (*) Vậy ph−ơng trình đã cho có 2 nghiệm : x1 = 8,8 ; x2 = 8 Ví dụ 2 : Giải ph−ơng trình 15 x - 23 x = 1x (1) Giải Điều kiện: 5x - 1  0 x  5 1 3x - 2  0 x 3 2 x  1 (*) x - 1  0 x  1 Ph−ơng trình (1) có dạng : 15 x = 23 x + 1x Với ĐK (*) bình ph−ơng 2 vế của ph−ơng trình (1) ta có : 5x - 1 = x - 1 + 3x - 2 + 2 23 x . 1x x + 2 = 2. 23 x . 1x Với x  1 cả hai vế của ph−ơng trình này không âm , bình ph−ơng 2 vế của ph−ơng trình ta đ−ợc: (x + 2)2 = 4.(x - 1)(3x - 2)  x2 + 4x + 4 = 12x2 - 20x + 8 = 0 11x2 - 24x + 4 = 0 (x - 2)(11x - 2) = 0 x = 2 hoặc x = 11 2 Theo ĐK (*) thì ph−ơng trình chỉ có nghiệm x = 2 Vậy x = 2 là nghiệm của ph−ơng trình 4 - Dạng 4: (x) + h(x) = g(x) + k(x) (1) Sơ đồ lời giải: Điều kiện: f(x)  0; h(x)  0, g(x)  0; k(x)  0 Bình ph−ơng hai vế ta có: f(x) + h(x) + 2 (x).h(x) = g(x) + k(x) + 2 g(x).k(x)  F(x) - G(x) = H(x) ph−ơng trình trở về dạng 3 đến đây ta giải t−ơng tự dạng 3. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 9 Ví dụ : Giải ph−ơng trình 1x + 10x = 2x + 5x (1) Giải Điều kiện: x + 1 0 x  -1 x + 10 0 x  -10 x  -1 (*) x + 2 0 x  -2 x + 5 0 x  -5 Bình ph−ơng 2 vế của ph−ơng trình (1) ta có : x + 1 + x +10 + 2. 1x 10x = x + 2 + x + 5 + 2 2x . 5x 2 + 1x 10x = 2x . 5x Với ĐK : x  -1 cả hai vế của ph−ơng trình là không âm tiếp tục bình ph−ơng ta có : 4 + (x + 1)(x + 10) + 4 1x . 10x = (x + 2)(x + 5) 4 + x2 + 11x + 10 + 4 1x . 10x = x2 + 7x + 10 -x - 1 = 1x . 10x (2) Ph−ơng trình (2) có ĐK: x  -1 (**) Từ (*) và (**) ta có x = -1 là nghiệm của ph−ơng trình 5 - Dạng 5 (x) + h(x) + n (x).h(x) = g(x) (1) Sơ đồ cách giải. Điều kiện: f(x); h(x)  0. Đặt t= (x) + h(x) (t  0) => t2 = f(x) +h(x) +2 (x) h(x) từ đó ta giải tiếp => (x) h(x) =( t2 - f(x) - h(x)):2 Ví dụ : Giải ph−ơng trình 1x + x3 - 1x . x3 = 2 (1) Giải Điều kiện : x + 10 3 - x 0 -1  x  3 (*) Đặt t = 1x + x3 ( t > 0) , ta có : t2 = x + 1 + 3- x+ 2 1x . x3 => 2 1x . x3 = t2 - 4 (**). Khi đó ph−ơng trình (1) có dạng: 2t - ( t2 - 4 ) = 4  t2 -2t = 0  t .( t - 2) = 0 (2) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 10 Ph−ơng trình (2) có hai nghiệm là t1 = 0; t2 = 2. Nghiệm t = 2 thoả mãn ĐK : t > 0 Khi t = 2 theo (**), ta có : 2 1x . x3 = 22 - 4 1x . x3 = 0 = > x = -1 hoặc x = 3 Cả 2 nghiệm này đều thoả mãn ĐK (*) Vậy ph−ơng trình có 2 nghiệm là x = -1 và x = 3 6.Dạng 6. bxabax  22 + bxabax  22 = cx + m (1) Cách giải Điều kiện: x - b 0 x  b (*) Đặt: t = bx  ( t 0) => t2 = x - b t2+ b = x Thay x vào ph−ơng trình d−ới dấu căn ta có : t2 + a2 2at = (t  a)2 Ph−ơng trình (1) có dạng : at  + at  = c.(t2+ b) + m (2) Giải ph−ơng trình (2) bằng cách xét 2 tr−ờng hợp : t a và 0  t  a ta có 2 ph−ơng trình là : ct2- 2t + bc + m = 0 (3) Và : ct2- 2a + bc + m = 0 (4) ta đ−ợc nghiệm t và đối chiếu với ĐK: t 0 để nhận nghiệm từ đó suy ra : x = t2+ b là nghiệm của ph−ơng trình (1) Ví dụ: Giải ph−ơng trình 9.6  xx + 9.6  xx = 6 23x (1) Giải ĐK: x - 9 0 x  9 (*) Đặt: t = 9x => x = t2 + 9 .Khi đó ph−ơng trình (1) có dạng: 6.( 2 )3( t + 2)3( t ) = t2 + 9 +23 6.( 3t + 3t ) = t2+ 32 t2- 12t + 32 = 0 (t  3 ) (2) t2- 4 = 0 (0  t  3) (3) Giải ph−ơng trình (2) ta đ−ợc nghiệm của ph−ơng trình là t = 8 hoặc t = 4 +Nếu t = 8 => x = 82 + 9 = 73 +Nếu t = 4 => x = 42 + 9 = 25 Giải ph−ơng trình (3) ta đ−ợc nghiệm của ph−ơng trình là : t = 2 =>x = 22+ 9 = 13 Vậy ph−ơng trình đã cho có 3 nghiệm : x = 73 ; x = 25 ; x = 13 iv - các ph−ơng pháp giải ph−ơng trình vô tỉ. Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 11 Không phải bất cứ một ph−ơng trình vô tỉ nào cũng có thể đ−a về đ−ợc một trong 5 dạng trên do đó ng−ời giáo viên cần cung cấp cho học sinh thêm các ph−ơng pháp giải ph−ơng trình vô tỉ. 1 - Ph−ơng pháp luỹ thừa. Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả hai vế lên luỹ thừa n. Nếu chẵn thì chỉ thực hiện đ−ợc khi hai vế của ph−ơng trình là không âm. Ví dụ1: Giải ph−ơng trình x + 1x = 7 (1) Giải Ph−ơng trình (1) có dạng : 1x = 7 - x (2) Điều kiện : x  1 x  7 Với điều kiện (*) thì ph−ơng trình (2) có hai vế không âm nên ta bình ph−ơng hai vế ph−ơng trình (2), ta có : x - 1 = 49 - 14 x + x2 x2 - 15x + 50 = 0 Ph−ơng trình có:  = 25 > 0   = 5 nên có hai nghiệm phân biệt là : x1 = 10; x2 = 5 Ta thấy x = 5 thoả mãn điều kiện (*) vậy nghiệm của ph−ơng trình là x = 5. Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình 1x - 15 x = 23 x (1) Giải Điều kiện: x 1 (*) Chuyển vế ph−ơng trình (1), ta có : 1x = 15 x + 23 x Bình ph−ơng cả 2 vế của ph−ơng trình ta đ−ợc: x - 1 = 5x - 1 + 3x - 2 + 2. 15 x . 23 x  2 - 7x = 2 15 x . 23 x (2) Ph−ơng trình (2) có ĐK: 2 - 7 x  0  x  2 7 (**) Khi đó ph−ơng trình (2)  (2 - 7x)2 = 4 (15x2 - 13x + 2)  4 - 28x + 49x2 = 60x2 - 52x + 8  11x2 - 24x + 4 = 0 Ta có : ' = 100 > 0 nên ph−ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt : x1 = 11 2 ; x2 = 2 thoả mãn ĐK (**)  1  x  7 (*) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 12 Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy cả 2 giá trị x1= 11 2 ; x2 = 2 đều là nghiệm của ph−ơng trình. Vậy ph−ơng trình (1) có hai nghiệm: x1 = 11 2 ; x2 = 2 2 - Ph−ơng pháp đ−a về ph−ơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình. 122  xx + 962  xx = 4 (1) Giải Ph−ơng trình (1)  4)3()1( 22  xx 431  xx (2) Để loại bỏ dấu GTTĐ ta phải xét dấu của biểu thức bên trong dấu GTTĐ ,ta có các tr−ờng hợp sau : 1) 3 3 1 03 01             x x x x x (*) PT (2) có dạng x + 1 + x - 3 = 4  x = 3 thoả mãn (*) 2)            3 1 03 01 x x x x (không xảy ra) 3) 31 3 1 03 01             x x x x x (**) PT (2) có dạng x + 1 + 3 - x = 4  0x = 0 PT này có vô số nghiệm thoả mãn (**) 4) 1 3 1 03 01             x x x x x (***) Ph−ơng trình (2) có dạng: - x - 1 - x + 3 = 4  - 2x = 2  x = -1, thoả mãn ĐK (***) . Kết hợp nghiệm ph−ơng trình đã cho có nghiệm -1 3 x Ví dụ 2 : Giải ph−ơng trình. 143  xx + 5168  xx (1) Giải Điều kiện: x 1 Ph−ơng trình (1)  4141  xx + 913.21  xx = 5.  5)31()21( 22  xx  1x +2 + 31 x = 5 (do x 1 ) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 13  1331  xx Vì VT luôn không âm nên ta có: 3 - 9103101  xxx 101  x Kết hợp ĐK ta thấy 101  x là nghiệm của ph−ơng trình đã cho Ví dụ 3: Giải ph−ơng trình. 21212  xxxx (1) Giải Điều kiện: x  1 Ta biến đổi ph−ơng trình (1)về dạng: 211211121  xxxx  2)11()11( 22  xx  21111  xx  21111  xx Cũng lập luận t−ơng tự nh− trên ta có: 0)11)(11(  xx Với điều kiện x  1 ta luôn có: 1x + 1 > 0 và 1x - 1  0  x- 1  1  x  2 Vậy nghiệm của ph−ơng trình là 1  x  2. 3 - Ph−ơng pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình 275232522  xxxx (1) Giải Điều kiện: x  5/2 Biến đổi ph−ơng trình (1) : 14)5232(2)522(2  xxxx (2) Đặt : 52 x = y  0  2x - 5 = y2  2x = y2+5 Ph−ơng trình (2) có dạng: 149612 22  yyyy  2)1( y + 2)3( y  y+ 1 +  y + 3 = 14 do y  0 nên ph−ơng trình có dạng : y+ 1 + y + 3 = 14 2y +4 = 14 2y = 10 y = 5 (thoả mãn điều kiện y  0) Vậy 52 x = 5 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 14 Với điều kiện : x  5/2 , cả 2 vế của ph−ơng trình đều không âm bình ph−ơng 2 vế ta có: 2x - 5 = 25 2 x = 30 x = 15 ( thoả mãn điều kiện x  2 5 ) Kết luận: Ph−ơng trình cho chỉ có một nghiệm x = 15. Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình. x2 + 532  xx = 3x + 7 (1) Giải Ph−ơng trình (1)  x2 - 3x - 7 + 532  xx = 0  x2 - 3x + 5 + 532  xx - 12 = 0 (2) Điều kiện: x  R Đặt 532  xx = t ( t  0 ) => x2 - 3x + 5 = t2 (*) Ph−ơng trình (2) có dạng : t2 + t - 12 = 0  = 49 > 0   = 7 Vậy ph−ơng trình có hai nghiệm: t1 = 3 ; t2 = - 4 Vì t 0 nên t = 3 thoả mãn . Theo (*) ta có : x2 - 3x +5 = 9  x2 - 3x - 4 = 0 (x+1)(x-4) = 0 Vậy nghiệm của ph−ơng trình là: x = -1 ; x= 4. Ví dụ 3: Giải ph−ơng trình. 2 (x2 - 3x + 2) = 3 83 x (1) Giải Đặt a = x2 - 2x + 4 b = x + 2  a - b = x2 - 3x + 2 Do x3 + 8 = (x2 -2x +4)(x+2) => x3 + 8 = a.b Ph−ơng trình (1) có dạng : 2 (a - b) = 3 ab  a - b = 2 3 ab (2) Ta thấy b  0 vì nếu b = 0 thì x = - 2 khi đó (1) không thoả mãn. Chia hai vế của (2) cho b ta có : b a b a 2 3 1   1 2 3  b a b a = 0 Đặt: b a = Y (Y  0) ta có ph−ơng trình: Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 15 Y2 - 2 3 .Y - 1 = 0 2Y2 - 3Y - 2 = 0 (3) Ph−ơng trình (3) ta có: 2)3( - 4.2(-2) = 9 + 16 = 25 > 0 =>  = 5 Ph−ơng trình (3) có 2 nghiệm Y1 = - 2 1 < 0 (không thoả mãn). Y2 = 2 (thoả mãn). Theo cách đặt ta có: b a = 2 => a = 4b x2 -2x + 4 = 4(x + 2)  x2 - 6x - 4 = 0 (4) Giải ph−ơng trình (4) ta có: x1 = 3 + 13 x2 = 3 - 13 Vậy nghiệm của ph−ơng trình (1) là: x1,2 = 3  13 4 - Ph−ơng pháp hệ ph−ơng trình: Ví dụ : Giải ph−ơng trình. x2 - x -1000 x80001 = 1000 (1) Giải Đặt: x80001 +1 = 2y . Kết hợp với (1) ta đ−ợc hệ: x2 - x= 2000 y y2 - y= 2000 x (2) Từ hệ (2) suy ra : (x- y) ( x+ y-1+ 2000 ) = 0 (3) Từ hệ (2) dễ thấy : 2001 (x +y) = x2 + y2 > 0 => x + y + 1999 > 0 Vậy từ (3) ta có y = x. Thay vào (1) ta đ−ợc : x2 - x = 2000x  x2 - 2001x = 0  x(x - 2001) = 0  x = 0 (loại) hoặc x = 2001 Vậy ph−ơng trình có nghiệm duy nhất x = 2001 5 - Ph−ơng pháp dùng bất đẳng thức: Ph−ơng pháp dùng bất đẳng thức đ−ợc dùng ở nhiều dạng khác nhau. a) - Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau. Khi đó ph−ơng trình là vô nghiệm: Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình 822  xx Giải Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 16 Điều kiện: x  2 Với điều kiện này thì vế phải luôn lớn hơn vế trái nên ph−ơng trình là vô nghiệm Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình. 221 22  xx (1) Giải Vì       122 11 2 2 x x Vậy VT là: 21 22  xx > 2 , còn VP = 2 Vậy ph−ơng trình đã cho vô nghiệm Ví dụ 3: Giải ph−ơng trình. 23151  xxx Giải Điều kiện: x  1 Với điều kiện này thì x < 5x do đó 151151  xxxx <0  VT luôn âm còn VP không âm nên ph−ơng trình đã cho vô nghiệm b ) Sử dụng tích đối nghịch ở hai vế. Ví dụ 1: Giải ph−ơng trình. xx  53 = x2 - 8x + 18 (1) Giải Điều kiện: 3  x  5 (*) Ta có vế phải x2 - 8 x + 18 = (x - 4)2 + 2  2  x. Vế trái sử dụng bất đẳng thức: 2 (a2 + b2)  (a + b)2. Ta có: ( xx  53 )2  2 (x - 3 + 5 - x) = 4 < xx  53  2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cả hai vế có giá trị bằng 2 Vậy (1)  x2 - 8x + 18 = 2 (2) xx  53 = 2 (3) Giải ph−ơng trình (2): x2 - 8x + 16 = 0  (x - 4)2= 0  x = 4 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hiếu Thảo - Tr−ờng THCS Thị trấn M−ờng Tè - Lai Châu 17 Thay x = 4 vào (3) thoả mãn,đồng thời x = 4 thoả mãn điều kiện (*). Vậy nghiệm của ph−ơng trình (1) là x = 4. Ví dụ 2: Giải ph−ơng trình. 14105763 22  xxxx = 4 - 2 x - x2 Giải Ta viết ph−ơng trình d−ới dạng:  9)1(54)1(3 22 xx 5 - (x + 1)2 Vì 3(x + 1)2  0 và 5(x + 1)2  0 nên 44)1(3 2 x = 2 99)1(5 2 x = 3 Còn VP là 5 - (x + 1)2  5 Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi 2 vế đều bằng 5  (x+1)2= 0 x= -1 Kết luận: Nghiệm của ph−ơng trình cho là x = - 1. c - Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Ví dụ1: Giải ph−ơng trình. 81  xx = 7 (1) Giải Ta thấy x = 8 là nghiệm của ph−ơng trình (1) Nếu x < 8 thì 1x < 3; 8x < 4. Vậy vế trái nhỏ hơn 7  x < 8 không là nghiệm của ph−ơng trìn