Giáo án Đề 2 kiểm tra môn toán vào lớp 10

ĐỀ 2 – TOÁN VÀO 10 – 2013 – KEYS Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: . Giải phương trình: x2 – 7x + 3 = 0. Câu 2: a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: y = - x + 2 và Parabol (P): y = x2. b) Cho hệ phương trình: . Tìm a và b để hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x;y ) = ( 2; - 1). Câu 3: Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng. Người lái xe tính rằng nếu xếp mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 5 tấn, còn nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng. Câu 4: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MIAB, MKAC (IAB,KAC) a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ MPBC (PBC). Chứng minh: . c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất. Câu 5: Giải phương trình: KEYS : Câu 1: a) b) ∆ = 49 – 4.3 = 37; phương trình có 2 nghiệm phân biệt: . Câu 2: a) Hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm của phương trình: - x + 2 = x2 x2 + x – 2 = 0. Phương trình này có tổng các hệ số bằng 0 nên có 2 nghiệm là 1 và – 2. + Với x = 1 thì y = 1, ta có giao điểm thứ nhất là (1;1) + Với x = - 2 thì y = 4, ta có giao điểm thứ hai là (- 2; 4) Vậy (d) giao với (P) tại 2 điểm có tọa độ là (1;1) và (- 2; 4) b) Thay x = 2 và y = -1 vào hệ đã cho ta được: . Thử lại : Thay a = 5 và b = 3 vào hệ đã cho thì hệ có nghiệm duy nhất (2; - 1). Vậy a = 5; b = 3 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (2; - 1). Câu 3: Gọi x là số toa xe lửa và y là số tấn hàng phải chở Điều kiện: x N*, y > 0. Theo bài ra ta có hệ phương trình: . Giải ra ta được: x = 8, y = 125 (thỏa mãn) Vậy xe lửa có 8 toa và cần phải chở 125 tấn hàng. Câu 4: a) Ta có:(gt), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM. b) Tứ giác CPMK có (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp(1). Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: (cùng chắn ) (2). Từ (1) và (2) suy ra (3) c) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp. Suy ra: (4). Từ (3) và (4) suy ra . Tương tự ta chứng minh được . Suy ra: MPK∆MIP MI.MK = MP2 MI.MK.MP = MP3. Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (4) - Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định). Lại có: MP + OH OM = R MP R – OH. Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC (5). Từ (4) và (5) suy ra max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3 M nằm chính giữa cung nhỏ BC. Câu 5: Đặt (với a, b, c > 0). Khi đó phương trình đã cho trở thành: a = b = c = 2 Suy ra: x = 2013, y = 2014, z = 2015. Lời bình: Câu IVc Lời bình sau Đề số 1 cho thấy: Nếu có AE.AF.AC = AC3 Û AE.AF = AC2 thì thường AC là cạnh chung của hai tam giác DACE và DACF. Quan sát hình vẽ ta thấy MP là cạnh chung của hai tam giác MPI và MPK, nên ta phán đoán MI.MK.MP= MP3. Nếu phán đoán ấy là đúng thì GTLN của MI.MK.MP chính là GTLN của MP. Đó là điều dẫn dắt lời giải trên. Câu IIa *Lời nhắn Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (d): y = kx + b và (P) : y = ax2 là nghiệm của phương trình ax2 = kx + b (1). Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số trên. Câu V 1) · Việc đặt a, b, c thay cho các căn thức là cách làm để dễ nhìn bài toán, Với mọi số dương a, b, c ta luôn có . (1) Thay vì đặt câu hỏi khi nào thì dấu đẳng thức xẩy ra, người ta đặt bài toán giải phương trình . (2) · Vai trò của a, b, c đều bình đẳng nên trong (1) ta nghĩ đến đánh giá . Thật vậy Û Û . Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi a = 2. Tương tự ta cũng có , . Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi b = 2, c = 2. 2) Mỗi giá trị của biến cân bằng bất đẳng thức được gọi là điểm rơi của bất đẳng thức ấy. Theo đó, bất đẳng thức (1) các biến a, b, c đếu có chung một điểm rơi là a = b = c = 2. Khi vai trò của các biến trong bài toán chứng minh bất đẳng thức bình đẳng với nhau thì các biến ấy có chung một điểm rơi. Phương trình diễn tả dấu bằng trong bất đẳng thức được gọi là "phương trình điểm rơi". 3) Phương trình (2) thuộc dạng "phương trình điểm rơi" Tại điểm rơi a = b = c = 2 ta có . Điều đó cắt nghĩa điểm mấu chốt của lời giải là tách : (2) Û . 4) Phần lớn các phương trình chứa hai biến trở lên trong chương trình THCS đều là "phương trình điểm rơi".