Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2013 - 2014 môn: toán 9 (thời gian làm bài 150 phút)

PHÒNG GD& ĐT HẬU LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN 9 (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (4,0 điểm): Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A khi . c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 2 (4,0 điểm) . a) Giải phương trình sau: + (*) b) Cho hệ phương trình : (m là tham số) Giải và biện luận hệ theo m. Bài 3(4,0điểm) a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: b)Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 9. Bài 4 (6,0điểm): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) . Hạ các đường cao AD , BE của tam giác . Các tia AD , BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M , N . Chứng minh rằng : a)Bốn điểm A , E , D , B nằm trên một đường tròn . Tìm tâm I của đường tròn đó . b)MN // DE . c)Cho (O) và dây AB cố định , điểm C di chuyển trên cung lớn AB . Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi . Bài 5 (2,0điểm) Cho x,y là các số dương thoả mãn: x+y = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của PHÒNG GD& ĐT HẬU LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 BỘ MÔN : TOÁN 9 Bài Nội dung Điểm 1(4đ) a) ĐKXĐ: b) ta có Khi đó: . Giá trị của biểu thức A là: c) ta có . Để có GTNN thì có GTLN, hay có GTNN.Ta có: , dấu "=" xảy ra khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi x = 0 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 2(4đ) a) x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3) x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7) x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9) Þ ĐKXĐ: x ¹ -1; x ¹ -3; x ¹ -5; x ¹ -7; x ¹ -9 pt (*) Û Û Û Þ 5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9) Û 2x2 + 20x + 18 - 40 = 0 Û x2 + 10x - 11 = 0 Phương trình có dạng: a + b + c = 0 Þ x1 = 1; x2 = -11. x1; x2 thỏa mãn ĐKXĐ Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = ta có : x = 4 – my. Thay vào phương trình mx+4y=10- m ta có (4-m2)y = 10 – 5m. +) Với m Ta có : Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ; +) Với m = 2 hệ trở thành : Hệ này có vô số nghiệm +) Với m = -2 hệ trở thành: Hệ này vô nghiệm a) (1) Đặt (2) (1) trở thành (3) Từ (2) thay vào (3) ta được (*) Để (*) có nghiệm 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 3(4đ) Vì hoặc Thay vào (*) Với Với Vậy: (x;y) = b) Giả sử tồn tại một số tự nhiên n để chia hết cho 9 Đặt A = A 9 nên 4A 9 (1) Ta có: (2) Từ (1) và ( 2) mâu thuẫn Vậy với mọi số tự nhiên n thì không chia hết cho 9. A N C I B M D E O K H a) E,D cùng nhìn AB dưới một góc vuông nên tứ giác AEDB nội tiếp trong một đường tròn đường kính AB có I là tâm ( trung điểm của AB ) b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE) mà ABE = AMN ( chắn cung AN ) nên ADE = AMN hay DE // MN . Kẻ thêm hình như hình vẽ . Dựa vào góc nội tiếp của tứ giác AEDB suy ra được CN = CM nên OC ^ MM Þ OC ^ DE Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K ( trung điểm của HC) đây cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác CED Þ KD = KE và ID = IE nên IK ^ DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình bình hành Þ KC = OI không đổi . a ) Ta có Cũng từ Từ ( *) Và (**) suy ra A = dấu " =" xảy ra . Vậy Min A = 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,75 0,5 0,75 0,75 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5