Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2011-2012 môn: toán thời gian: 150 phút

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán Thời gian: 150 phút CÂU 1 (5đ). Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức B Cho biết a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của B? CÂU 2 (3đ) Cho các hàm số sau: Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy? Tính diện tích của tam giác được tạo bởi ba đường thẳng này? CÂU 3 (3đ). Cho một số có hai chữ số là bội của 3. Nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số của nó và cộng thêm vào số có ba chữ số vừa thu được hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được một số gấp 9 lần số ban đầu. Hãy tìm số đó? CÂU 4.(4đ) Cho hình bình hành ABCD có AC là đường chéo lớn. Từ C kẻ CEAB; CFAD Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2 CÂU 5(5đ). Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c Gọi S là diện tích của tam giác. Chứng minh rằng nếu thì tam giác ABC vuông ở A? ĐÁP ÁN CÂU 1 (2,5 điểm) Điều kiện xác định của P là: a ≥ 0; b≥ 0; ab # 1 P= : =: =: = : = (2.5 điểm) a + b = 1; a ≥ 0 ; b ≥ 0 nên (theo bất đẳng thức Cosi) Giá trị nhỏ nhất của P là khi a = b = CÂU 2: a)(1,5 điểm) * Đồ thị hàm số y = -x + 5 là đường thẳng đi qua 2 điểm A(0;5);B(5;0) * Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua 2 điểm O(0;0); C(1;) * Đồ thị hàm số y = 4x là đường thẳng đi qua 2 điểm O(0;0); D(1;4) b)(1,5 điểm) Gọi giao điểm của đường thẳng y= -x + 5 và đường thẳng là E ta có: Tọa độ của điểm E phải thỏa mãn 2 phương trình y= -x + 5 và Suy ra x = 4; y = 1 và E(4;1) Tương tự: D là giao điểm của 2 đường thẳng y = 4x và y= -x + 5 và có tọa độ là : D(1;4) SDOE = SOAB - SODA - SOEB = = = (5.5 – 5.1 – 5.1) = 7,5 CÂU 3 (3 điểm) Gọi số phải tìm là (0 < a;b 9) Theo bài ra ta có: (a + b) 3 và =10a + b Số mới là = 100a + b Theo bài ra ta có phương trình 100a + b + 2a = 9(10a + b) 100a + b + 2a = 90a + 9b 12a = 8b 3a = 2b Vì (a + b) 3 => a3, b 3 3a = 2b nên a2 do đó a = 6 và Vậy số phải tìm là 69 E B C G A D F CÂU 4( điểm) Kẻ DG AC. Ta có # (g-g) => AC.CG = CD.AE (1) # (g-g) => AC.AG = AD.AF (2) Từ (1) và (2) ta có: AC.CG + AC.AG = CD.AE + AD.AF AC(CG + AG) = AB.AE + AD.AF A E F B C O AC2 = AB.AE + AD.AF CÂU 5 (5 điểm) Đặt a + b +c = 2P ta có F b + c – a = b +c +a -20 = 2P – 2a = 2(P-a) theo giả thiết: (a + b + c)(b + c -a) = 4S nên 2P.2(P-a) = 4S => P(P – a) = S (1) Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC; E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (O) với cạnh AC, AB ta có: S= (2) Từ (1) và (2) suy ra r = P – a (3) Mà 2AE = 2AF = AB + AC – BC (theo tính của 2 tiếp tuyến cắt nhau) => AE = AF = (4) Từ (3) và (4) ta có: r = AE = AF = OE = OF Từ giác AEOF là hình vuông nên . Vậy ∆ABC vuông tại A