Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 năm 2012 - Phòng GD&ĐT Tân Uyên (Có đáp án)

Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012 Môn: Toán - lớp 8 Thời gian: 150 phút(Không tính thời gian giao đề) (Đề có 01 trang) Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức thành nhân tử. a, A = 3x2 - 8x + 4 b, B = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 Câu 2. (4,0 điểm). Tính giá trị của biểu thức: 2x 1− 22x + 3x + 3 P = có giá trị là một số nguyên Câu 3. (4,0 điểm). Cho a > b > 0. So sánh 2 số x, y với: x = 2 1 a 1 a a + + + ; y = 2 1 b 1 b b + + + Câu 4. (4,0 điểm). a, Giải ph−ơng trình sau: 2 2x 4x 1 x 5x 12 x 1 2x 1 − + − + + = − + + b, Chứng minh bất đẳng thức: x2 + y2 + 1 ≥ xy + x + y Câu 5. (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đ−ờng thẳng vuông góc với nhau lần l−ợt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a, Chứng minh rằng: ∆AQR và ∆APS là các tam giác cân. b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c, Chứng minh P là trực tâm ∆SQR. d, Chứng minh MN là trung trực của AC. e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Đề chính thức Hết Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1. Phân tích các đa thức thành nhân tử. Giải a, A = 3x2 - 8x + 4 = 3x2 - 6x - 2x + 4 = 3x(x - 2) - 2(x - 2) = (x - 2)(3x - 2) b, B = 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = x2(3x - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) = (3x - 1)(x2 - 2x + 5) Câu 2. Tính giá trị của biểu thức: 2x 1− 22x + 3x + 3 P = có giá trị là một số nguyên. Giải Biểu thức P có nghĩa khi x 1 2 ≠ . Khi đó ta có: P = 2 x(2x 1) 2(2x 1) 52x 3x 3 5 x 22x 1 2x 1 2x 1 − + − ++ + = = + + − − − ⇒ P ∈ Z khi 5 2x 1− ∈ Z ⇔ 2x - 1 ∈ Ư(5) = {±1; ± 5} ⇒ x = {- 2; 0; 1; 3} Câu 3. Cho a > b > 0 So sánh 2 số x, y với: x = 2 1 a 1 a a + + + ; y = 2 1 b 1 b b + + + Giải Giả sử x < y ⇔ 2 1 a 1 a a + + + < 2 1 b 1 b b + + + (Vì: 1 + a + a2 > 0 và 1 + b + b2 > 0) ⇔ (1 + a)(1 + b + b2) < (1 + b)(1 + a + a2) ⇔ 1 + b + b2 + a + ab + ab2 < 1 + a + a2 + b + ab + a2b ⇔ a2 - b2 + a2b - ab2 > 0 ⇔ (a - b)(a + b) + ab(a - b) > 0 ⇔ (a - b)(a + b + ab) > 0 (đúng) (vì a > b > 0 ⇒ a - b > 0 và a + b + ab > 0) Vậy x < y Câu 4. a, Giải ph−ơng trình sau: 2 2 x 4x 1 x 5x 12 x 1 2x 1 − + − + + = − + + (*) b, Chứng minh bất đẳng thức: x2 + y2 + 1 ≥ xy + x + y Giải a, ĐKXĐ: x ≠ -1 và x ≠ 1 2 − . Khi đó ta có: (*) ⇒ (2x + 1)(x2 - 4x + 1) + 2(x + 1)(2x + 1) = - (x + 1)(x2 - 5x + 1) ⇔ 2x3 - 8x2 + 2x + x2 - 4x + 1 + 4x2 + 6x + 2 + x3 - 5x2 + x + x2 - 5x + 1 = 0 ⇔ 3x3 - 7x2 + 4 = 0 ⇔ 3x2(x - 1) - 4(x2 - 1) = 0 ⇔ (x - 1)(3x2 - 4x - 4) = 0 ⇔ (x - 1)(3x + 2)(x - 2) = 0 ⇔ x 1 0 x 1 3x 2 0 x 2 / 3 x 2 0 x 2 − = =   + = ⇔ = −    − = =  (Thoả men điều kiện bài toán) Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên Vậy S = 2 ; 1; 2 3   −    b, x2 + y2 + 1 ≥ xy + x + y ⇔ x2 - xy + y2 - x - y + 1 ≥ 0 ⇔ x2 - xy + 2y 4 - (x - y 2 ) + 1 4 + 23y 4 - 3y 2 + 3 4 ≥ 0 ⇔ ( )2 2y y 1 3x x y 2y 1 02 2 4 4      − − − + + − + ≥           ⇔ ( ) 2 2y 1 3 x y 1 0 2 2 4   − − + − ≥    (đúng với mọi x, y) . Dấu "=" xấy ra khi x = y = 1 Câu 5. Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đ−ờng thẳng vuông góc với nhau lần l−ợt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a, Chứng minh rằng: ∆AQR và ∆APS là các tam giác cân. b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c, Chứng minh P là trực tâm ∆SQR. d, Chứng minh MN là trung trực của AC. e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Giải HS tự ghi GT/KL a, Chứng minh rằng ∆AQS và ∆APS là các tam giác cân. +) Xét ∆DAQ và ∆BAR có:

0D B 90 (gt)= = BA = DA (cạnh hình vuông ABCD)

2 4A A= (cùng phụ với
3A ) ⇒ ∆DAQ = ∆BAR(g.c.g) ⇒ AQ = AR (cạnh t−ơng ứng) ⇒ ∆AQR cân tại A +) Xét ∆AQS và ∆ARP có:   0QAS RAP 90= = AQ = AR (vì ∆AQR cân tại A)  AQS ARS= (cùng phụ với góc APR) ⇒ ∆AQS = ∆ARP (g.c.g) ⇒ AS = AP ⇒ ∆APS cân tại A b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. C/m tứ giác AMHN là hình chữ nhật. +) Vì SA ⊥ QP và PC ⊥ QS ⇒ R là trực tâm của ∆PQS ⇒ QH ⊥ PS ⇒ MHN = 900 (1) +) Vì ∆AQS vuông cân tại A mà M là trung điểm của QR ⇒ AM cũng là đ−ờng cao trong ∆AQR ⇒ AM ⊥ QR ⇒  0AMH 90= (2) +) Vì AN là đ−ờng trung tuyến trong ∆APS vuông cân tại A ⇒ AN ⊥ PS ⇒  0ANH 90= (3) Từ (1), (2) và (3) ⇒ AMHN là hình chữ nhật c, Chứng minh P là trực tâm ∆SQR. Xét ∆SQR có: +) SH là đ−ờng cao từ đỉnh S xuống cạnh QR +) RC là đ−ờng cao từ đỉnh R xuống cạnh QS Mà SH ∩ RC = {P} ⇒ P là trực tâm của ∆RQS N M H SQ R P D C BA 4 3 2 1A B CD P R Q S Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên d, Chứng minh MN là trung trực của AC. +) AM = MQ = MR (T/c đ−ờng trung tuyến trong ∆ vuông cân AQR) +) MC = MQ = MR (T/c đ−ờng trung tuyến trong ∆ vuông CQR) ⇒ MA = MC ⇒ M thuộc trung trực của AC T−ơng tự: +) NA = NP = NS (T/c đ−ờng trung tuyến trong ∆ vuông cân APS) +) NC = NP = NS (T/c đ−ờng trung tuyến của ∆CPS) ⇒ NA = NC ⇒ N thuộc trung trực của AC Vậy MN là đ−ờng trung trực của AC e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. +) Vì ABCD là hình vuông nên BD là tr−ng trực của AC +) MN cũng là trung trực của AC (c/m trên) ⇒ Đ−ờng thẳng MN trung với đ−ờng thẳng BD ⇒ M, B, N, D thẳng hàng.