Đề tài Vận dụng định lí Vi-Et để giải phương trình

A - Đặt vấn đề I. Lời mở đầu Một trong những môn học ở trường phổ thông được nhiều học sinh ham thích đó là môn Toán học, bởi đó là môn khoa học cơ bản. Việc học toán, giải toán có những ảnh hưởng tích cực đến việc học tập những bộ môn khác, đặc biệt đối với các môn khoa học tự nhiên. Hơn thế nữa việc giải toán còn trở thành hoạt động trí tuệ, sáng tạo và hấp dẫn đối với nhiều học sinh, các thầy cô giáo và các bậc phụ huynh. Trong chương trình THCS, đặc biệt đối với lớp cuối cấp, việc lựa chọn chuẩn bị nội dung để bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệp và luyện thi vào lớp 10 vẫn là điều ước lệ để dạy cho học trò của mình, vì không biết đâu là nội dung chuẩn mực để ôn tập. Với thời gian công tác và thực tế giảng dạy chưa nhiều, nhưng qua thời gian học tập, tôi thấy một trong những chuyên đề không thể thiếu trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệp và luyện thi vào lớp 10 là: "áp dụng định lý viết để giải phương trình bậc hai một ẩn". Việc áp dụng định lý viết để giải phương trình bậc hai một ẩn có tác dụng rèn luyện, tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Đề tài chỉ giới hạn trong phạm vi toán học ở bậc THCS. Nội dung đề tài chủ yếu là giới thiệu các bài toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn có sử dụng định lý viết. Về lý thuyết chỉ điểm qua phần lý thuyết cơ bản. Với thời gian có hạn, hơn nữa kinh nghiệm và khả năng còn hạn chế. Đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót. Mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn chỉnh hơn nữa. II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: - Trong quá trình nghiên cứu về việc học tập của học sinh, thực tế cho thấy nhiều học sinh sau khi tốt nghiệp THCS không biết sử dụng hoặc sử dụng kém công thức nghiệm trong trường hợp có thể dùng , không biết dùng hệ thức Viét, thậm chí không áp dụng được vào việc nhẩm nghiệm trong trường hợp: a + b + c = 0 và a - b + c = 0 Việc vận dụng định lý Viét để giải bài tập, giải và biện luận phương trình bậc 2 là một vấn đề rất khó khăn đối với học sinh, học sinh vận dụng một cách thiếu linh hoạt sáng tạo định lý Viét để giải các bài tập nâng cao. Các bài tập có dạng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các hệ thức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai; tìm điều kiện của tham số để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm, đều dương... Học sinh khi làm các dạng bài tập đó cảm thấy rất lúng túng và không có hướng giải quyết. Từ thực trạng trên, để công việc giảng dạy đạt hiệu quả tốt hơn tôi đã mạnh dạn đưa ra ý kiến chủ quan của mình để giải một số dạng bài tập khó khi vân dụng định lý Viét để giải phương trình bậc 2. B - Giải quyết vấn đề I. Các giải pháp thực hiện: - Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là các hệ số đã cho (a 0) - Định lý Viét thuận: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có nghiệm x1, x2 (phân biệt hoặc nghiệm kép) thì: x1 + x2 = ; x1x2 = Chú ý: + Nhờ vào định lý Viét ta tính được x1 + x2 và x1x2 theo các hệ số a, b, c mà không cần tính từng giá trị x1 và x2. + Chỉ áp dụng định lý Viét nếu phương trình là phương trình bậc hai và có nghiệm. + áp dụng: (1) Tính nhẩm nghiệm Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = - (2) Xác định dấu các nghiệm: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) Gọi S = ; P = . Ta có: P < 0 Hai nghiệm trái dấu 0 P > 0 Hai nghiệm cùng dấu S > 0: Hai nghiệm dương S < 0: hai nghiệm âm - Định lý Viét đảo: Nếu có hai số x1, x2 sao cho x1 + x2 = S và x1x2 = P thì x1, x2 là các nghiệm của phương trình: X2 - SX + P = 0 áp dụng: (1) Tính nhẩm nghiệm: Phương trình có 2 nghiệm là 2 và . (2) Lập phương trình bậc hai biết các nghiệm phương trình bậc hai nhận 3 và là nghiệm có dạng: II. Các biện pháp để tổ chức thực hiện: Bài 1: Cho phương trình x2 - (2m + 3) x + m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để có giá trị nhỏ nhất. Giải: a) = (2m + 3)2 - 4m = 4m2 + 8m + 9 = 4(m+1)2 + 5 > 0 Vậy phương trình có nghiệm với mọi m b) Theo định lý Viét: Do đó = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4m2 + 12m + 9 - 2m = 4m2 + 10m + 9 = Min() = Bài 2: Cho phương trình bậc hai có ẩn x x2 - 2mx + 2m - 1 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Đặt A = 2() - 9x1x2 - Chứng minh A = 8m2 - 18m + 9 - Tìm m sao cho A = 27 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Giải: a) = (-m)2 - (2m - 1) = m2 - 2m + 1 = (m - 1)2 0 Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b) áp dụng định lý Viét: x1 + x2 = 2m; x1x2 = 2m - 1 A = 2() - 9x1x2 = 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 9x1x2 = 2[(2m)2 - 2(2m - 1)] - 9(2m - 1) = 8m2 - 13(2m - 1) = 8m2 - 26m + 13 A = 27 8m2 - 26m + 13 = 27 8m2 - 26m - 14 = 0 4m2 - 13m - 7 = 0 c) Giả sử x1 = 2x2 => 3x2 = 2m (1) 2x22 = 2m - 1 (2) Lấy (2) trừ đi (1) ta được: 2x22 - 3x2 = -1 2x22 - 3x2 + 1 = 0 - Với x2 = 1 => x1 = 2 => m = - Với x2 = => x1 = 1 => m = Bài 3: Cho phương trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1) x - m = 0 có ẩn là x. a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm. Giải: a) Phương trình này có nghiệm kép nếu: Vậy thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm thì: Vậy 0< m < Bài 4: Cho phương trình x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m b) Xác định m để x12 + x22 = 4(x1 + x2) c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn. y1 + y2 = x1 + x2; Giải: a) Xét = 4 + m2 + 3m = Phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 với mọi m b) Ta có: x12 + x22 = 4(x1 + x2) (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(x1 + x2) Theo định lý Viét: x1 + x2 = 4; x1x2 = -(m2 + 3m) => 16 + 2(m2 + 3m) = 16 m2 + 3m = 0 => c) y1 + y2 = x1 + x2 = 4 Từ => y1 (1 - y1) + y2 (1 - y2) = 3(1 - y1) (1 - y2) y1 + y2 -(y12 + y22) = 3[1 - (y1 + y2) + y1y2] => y1y2 = -3 và y1 + y2 = 4 Bài 5: Cho phương trình bậc hai: 3x2 + 4(a - 1) x + a2 - 4a + 1 = 0 Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức: Giải: * Điều kiện cần: Tìm a để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Giả sử phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: (x1x2 - 2) (x1 + x2) = 0 - Hoặc là: x1 + x2 = 0 = 0 a = 1 - Hoặc là: x1x2 = 3 = 2 a2 - 4a - 5 = 0 * Điều kiện đủ: - Nếu a = 1: Ta có phương trình 3x2 - 2 = 0 (thoả mãn) - Nếu a = 5: Ta có phương trình 3x2 + 16x + 2 = 0 (thoả mãn) - Nếu a = -1: Ta có phương trình 3x2 - 8x + 6 = 0 Phương trình này vô nghiệm (không thoả mãn) Vậy a = 1 và a = 5 Bài 6: Cho f(x) = x2 - 2 (m+2)x + 6m + 1 a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Giải: a) Xét = (m+20 - (6m + 1) = m2 - 2m + 3 = (m - 1)2 + 2 > 0m. b) Thay x = t + 2 f(t) = (t + 2)2 - 2(m + 2) (t + 2) + 6m + 1 f(t) = t2 - 2mt + 2m - 3 Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2 khi và chỉ khi phương trình t2 - 2mt + 2m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt dương. Bài 7: Giả sử phương trình bậc hai: x2 + ax + b 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng a2 + b2 là một hợp số. Giải: Gọi x1, x2 là hai nghiệm => x1 + x2 = - a; x1x2 = b + 1 Ta có: a2 + b2 = [-(x1 + x2)]2 + (x1x2 - 1)2 => a2 + b2 = (x12 + x22 + 2x1x2) + (x12x22 - 2x1x2 + 1) => a2 + b2 = x12 + x22 + x12x22 + 1 = (x12 + 1) (x22 + 1) => a2 + b2 là hợp số. Bài 8: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0 a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép. b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1 Giải: a) = (a + 3)2 - 4(a + 3) = a2 + 6a + 9 - 4a - 12 = a2 + 2a - 3 Để phương trình có nghiệm kép thì = 0 a2 + 2a - 3 = 0 Nghiệm kép x = -(a + 3) b) Đặt x = t - 1 thế vào phương trình ta có: (t - 1)2 + 2(a+ 3) (t - 1) + 4(a + 3) = 0 t2 + 2(a + 2)t + 2a + 7 = 0 (1) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 > x2 > -1 ta cần tìm a để phương trình (1) có 2 nghiệm t1 và t2 dương. Bài 9: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - 3x + a = 0 Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phương trình t2 - 12t + b = 0 Cho biết . Tính a và b. Giải: áp dụng định lý Viét x1 + x2 = 3; x1x2 = a t1 + t2 = 12; t1t2 = b Đặt k = => x1 = kx2 x2 = kt1 t1 = kt2 Thế vào và rút ra ta được: k2 = * Nếu k = thì a = 2 và b = 32 * Nếu k = - thì a = -18 và b = -288 Bài 10: Cho phương trình: x2 + px - 1 = 0 (p là số lẻ) Có hai nghiệm phân biệt x1x2. Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên thì x1n+x2n và x1n+1 + x2n+1 đều là các số nguyên và chúng nguyên tố cùng nhau. Giải: áp dụng định lý Viét: x1 + x2 = -p và x1x2 = -1 Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. - Khi n = 1: Ta có x11 + x21 = -p là số nguyên x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = p2 + 2 là số nguyên Gọi d = (-p; p2 + 2) => p d và p2 + 2 d => 2 d => d = 1 hoặc d = 2, vì p lẻ nên d = 1 Vậy (x1 + x2) và (x12 + x22) nguyên tố cùng nhau - Giả sử khẳng định đúng với n = k 1 tức là: x1k + x2k và (x1k+1 + x2k+1) là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. - Cần chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1 Xét (x1k+1 + x2k+1) (x1 + x2) = (x1k+2 + x2k+2) + x1x2(x1k + x2k) = (x1k+2 + x2k+2) - (x1k + x2k) x1k+2 + x2k+2 = (x1k+1 + x2k+1) (x1 + x2) + (x1k + x2k) Theo giả thiết: x1 + x2, x1k + x2k, x1k+1 + x2k+1 là các số nguyên. Gọi d là ước chung lớn nhất của (x1k+1 + x2k+1) và (x1k+2 + x2k+2) => (x1k+1 + x2k+1) d và (x1k+2 + x2k+2) d Mà x1k+2 + x2k+2 = (x1k+1 + x2k+1) (x1 + x2) + (x1k + x2k) => (x1k + x2k) d Theo giả thiết quy nạp: (x1k + x2k) và (x1k+1 + x2k+1) nguyên tố cùng nhau => d = 1 (đpcm) Bài 11: Cho phương trình: ax + bx + c = 0 (a 0) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2. Giải: * Điều kiện cần: Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2 thoả mãn hoặc x1 = 2x2 hoặc x2 = 2x1 => (x1 - 2x1) (x2 - 2x1) = = => x1x2 - 2(x12 + x22) + 4x1x2 = 0 => 5x1x2 - 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] = 0 => 9x1x2 - 2(x1 + x2)2 = 0 => 9. - 2 = 0 => 9ac = 2b2 * Điều kiện đủ: Giả sử có 9ac = 2b2 Xét = b2 - 4ac = b2 - => x1 = và x2 = => x1 = 2x2 c- Kết luận: 1. Kết quả nghiên cứu: - Học sinh có những tiến bộ quan trọng trong phương pháp giải phương trình bậc hai. - Học sinh biết giải các bài tập khó tương tự như các dạng bài tập đã biết để làm. - Học sinh có hứng thú rõ rệt trong học toán, có tư duy đổi mới linh hoạt. Lớp Số lượng HS Hiểu và áp dụng đề tài Tốt Khá TB 9A 40 70% 30% 0% 9B 37 70% 29% 1% 9C 38 66,7% 31,3% 2% Việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, ôn luyện thi tốt nghiệp THCS và luyện thi vào lớp 10 là một công việc hết sức nặng nề đối với những giáo viên dược giao trọng trách này. Việc chuẩn bị tài liệu và lựa chọn kiến thức là một trong những yếu tố quan trọng giúp cho việc ôn luyện đạt kết quả cao. Đối với việc vận dụng định lý Viét vào việc giải phương trình bậc hai một ẩn chỉ là một trong những chuyên đề để các đồng nghiệp lựa chọn ôn luyện cho học sinh. Mong rằng đây là một chuyên đề quan trọng giúp cho học sinh vận dụng một cách khoa học sáng tạo hơn trong việc học Toán. 2. Kiến nghị, đề xuất. - Tăng cường dạy các dạng bài tập vận dụng định lý Viét vào giải các phương trình bậc hai. - Giáo viên phải đưa ra các dạng bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh. - Lựa chọn các dạng bài tập một cách hợp lý, vừa sức để học sinh được làm nhiều dạng bài tập và học sinh có tâm lý thoải mái trong học tập. - Làm cho học sinh có nhu cầu vươn tới tìm tòi sáng tạo ở các bài tập khó hơn nữa. Mặc dù cố gắng hết sức mình, nhưng với trình độ và thời gian còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn!