Đề tài Phương pháp giải một số phương trình bậc cao dạng đặc biệt

Phần I: mở đầu Lý do chọn đề tài: Toán học ra đời gắn liền với con người và lịch sử phát triển của xã hội, nó có một ý nghĩa lý luận và thực tiễn vô cùng lớn lao và quan trọng. Trong thời đại hiện nay, công nghiệp hoá, hiện đại hoá nhất thiết phải đặt trên nền tảng dân trí ngày càng được nâng cao. Trong giai đoạn hiện nay phải có một chiến lược giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh vực khoa học. Sự phát triển của khoa học tự nhiên lại được đặt trên nền tảng của khoa học toán học. Vậy dạy toán ở trường phổ thông ngoài mục đích cung cấp tri thức toán cho con người, đặc biệt phải chú ý dạy cho con người biết phương pháp phân tích, nghiên cứu, tìm tòi đào sâu khai thác, phát triển bài toán để tổng quát hoá, khái quát hoá kiến thức. Trong quá trình giảng dạy chương trình Đại số lớp 8, lớp 9 bản thân tôi thấy giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó đối với các em học sinh. Việc giải phương trình bậc cao đối với các em học sinh Trung học cơ sở chỉ đòi hỏi ở mức độ đơn giản, chủ yếu là từ phương trình đặc biệt đưa về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai. Trong đề tài này tôi mạnh dạn đưa ra các phương pháp giải một số phương trình bậc cao đặc biệt để giúp các em học nâng cao kỹ năng và kiến thức giải phương trình. Nhiệm vụ nghiên cứu: Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn. Phương trình bậc cao: Phương trình tích, phương trình đối xứng bậc chẵn, phương trình đối xứng bậc lẻ, phương trình phản thương, phương trình hồi quy, phương trình trùng phương, phương trình tam thức và một số phương trình có dạng đặc biệt khác. Phương pháp nghiên cứu: - Điều tra, khảo sát, theo dõi, thực hành, vận dụng... - Phỏng vấn. Nghiên cứu tài liệu, báo chí... Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khá giỏi ở khối 8; 9 của trường THCS Hà Bình - Huyện Hà Trung - Tỉnh Thanh Hoá. Phạm vi nghiên cứu: Giới hạn giảng dạy ở phần: Giải các phương trình bậc cao trong trương trình toán ở THCS. Phần II: Nội dung Đại cương về phương trình: Khái niệm về phương trình - Nghiên cứu của phương trình: Giả sử A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa một biến (x). Khi nói A(x) = B(x) là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tương ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x được gọi là ẩn số. Giá trị tìm được của ẩn số gọi là nghiệm của phương trình. Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình. Mỗi biểu thức gọi là một vế của phương trình. Điều kiện xác định của phương trình: Điều kiện xác định của một phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa. Tập xác định viết tắt là: ĐKXĐ Hai phương trình tương đương: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm. Phương trình bậc cao: Định nghĩa: Ta gọi phương trình Đại số bậc n (n 3) ẩn x trên trường số thực là các phương trình được đưa về dạng: anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 (1) Trong đó n N*; a1, a2, ..., an . Phương pháp chung để giải phương trình bậc cao: Quy về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai. Những kiến thức bổ trợ để giải phương trình bậc cao: Phương trình bậc nhất một ẩn số: Dạng tổng quát ax + b = 0; trong đó a, b là các hằng số; a0. Nghiệm là x = * Nhận xét: Giải phương trình mx + n = 0, phương trình đã cho chưa chắc đã là phương trình bậc nhất nên khi giải cần phải xem xét hết các trường hợp. - Nếu m 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = - Nếu m = 0 thì phương trình có dạng 0x = n: + Nếu n = 0 thì phương trình có vô số nghiệm. + Nếu n 0 thì phương trình vô nghiệm. Phương trình bậc hai một ẩn: a) Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0, trong đó a, b, c b) Cách giải: * Dùng công thức nghiệm: D = b2 - 4ac D' =b'2 - ac + D < 0, PT vô nghiệm + D' < 0, PT vô nghiệm + D = 0, PT có nghiệm kép + D' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = x1 = x2 = + D > 0, PT có 2 nghiệm phân biệt + D' > 0, PT có 2 nghiệm phân biệt * Dùng định lý Vi-et Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì S = x1 + x2 = P = x1.x2 = * Phân tích vế trái thành tích: Phương trình tích: Phương trình tích là phương trình có dạng: F(x). G(x) ... H(x) = 0 Cách giải: F(x). G(x) ... H(x) = 0 Các định lý: a) Định lý 1: Trên trường số thực, mọi phương trình bậc n luôn phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai. b) Định lý 2: Nếu phương trình P(x) có nghiệm x = a thì P(x) (x - a) c) Định lý 3: + Nếu phương trình P(x) = 0 có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là một nghiệm của phương trình. + Nếu phương trình P(x) = 0 có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là nghiệm của phương trình. d) Định lý về bất đẳng thức: (1) Dấu ''='' xảy ra khi AB 0 (2) Dấu ''='' xảy ra khi AB 0 (3) Dấu ''='' xảy ra khi A 0 Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao: Phương pháp 1: Đưa về phương trình tích. a) Các phương pháp: * Cách 1: Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Đặt nhân tử chung. - Dùng hằng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử. - Thêm (bớt) các hạng tử. - Phương pháp hệ số bất định. - Phương pháp xét giá trị riêng. - Phương pháp đổi biến - Phối hợp nhiều phương pháp. * Cách 2: Nhẩm nghiệm. Nếu a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) (x - a) từ đó hạ bậc của phương trình. Hạ bậc phương trình có thể dùng các cách sau: + Chia đa thức P(x) cho (x - a) + Dùng lược đồ Hoócne để tìm các hệ số. b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x7 - 27x4 = 0 (1.1) Giải: Phương trình (1.1) x4(x3 - 27) = 0 Tập nghiệm của phương trình (1.1) là S = Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - 1= 0 (1.2) Giải: Ta nhóm các hạng tử thích hợp ở vế trái tạo thành các bình phương đúng rồi sử dụng công thức A2 - B2 = (A - B).(A + B) để biến vế trái thành tích. x4 + 4x3 + 3x2 + 2x - 1= 0 Û (x2 + 2x)2 - (x - 1)2 =0 Û (x2 + x + 1).(x2 + 3x - 1) = 0 Tập nghiệm của phương trình (1.2) là S = Ví dụ 3: Giải phương trình: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1.3) Giải: Vế phải là một đa thức bậc 4, giả sử phân tích được thành hai nhân tử bậc hai x2 + pq + q và x2 + rx + s; Trong đó p, q, r, s là các số nguyên chưa xác định, khi đó: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = (x2 + pq + q) (x2 + rx + s) Khai triển, nhóm các hạng tử rồi đồng nhất các số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thức ta có hệ sau: Giải hệ phương trình này ta được p = -5; q = 2; s = -7; r = 1 do đó phương trình đã cho trở thành: (x2 - 5x + 2)(x2 + x - 7) = 0 Tập nghiệm của phương trình (1.3) là: S = Ví dụ 4: Giải phương trình x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0 (1.4) Giải: Phương trình (1.4) Û (x2 + 1)2 - x(x2 + 1) = 0 Û (x2 + 1)2(x2 - x + 1) = 0 Cả hai thừa số ở vế trái đều dương nên phương trình vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình (1.4) là S = ặ Ví dụ 5: Giải phương trình (x2 - 4)2 = 8x + 1 (1.5) Giải: Phương trình (1.5) Û (x2 - 4)2 + 16x2 = 16x2 + 8x + 1 Û (x2 - 4)2 - (4x + 1)2 = 0 Û (x2 + 4x + 5) (x2 - 4x + 3) = 0 Tập nghiệm của phương trình (1.5) là S = Ví dụ 6: Giải phương trình 12x3 - 3x2 - 7x + 8 = 0 (1.6) Giải: Ta thấy x = -1 là nghiệm của phương trình (1.6) ị phương trình (1.6) Û (x + 1)(12x2 - 15x + 8) = 0 Tập nghiệm của phương trình (1.6) là S = Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ Phương pháp này được dùng với các dạng phương trình sau: 2.1- Phương trình trùng phương: Định nghĩa: Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 + bx2 + c = 0 (a0) (2.1) Cách giải: + Bước 1: Đặt x2 = y (y0) ị (2.1) Û ay2 + by + c = 0 (2.2) + Bước 2: Biện luận phương trình (2.2) qua các trường hợp của D = b2 - 4ac - Trường hợp 1:D < 0 ị (2.2) vô nghiệm ị (2.1) vô nghiệm. - Trường hợp 2: D = 0 ị (2.2) có nghiệm kép y0 = Nếu y0 < 0 ị (2.1) vô nghiệm. Nếu y0 = 0 ị (2.1) có một nghiệm: x = 0 Nếu y0 > 0 ị (2.1) có hai nghiệm: x1 = - Trường hợp 3: D > 0 ị (2.2) có hai nghiệm phân biệt (Không mất tính tổng quát ta giả sử y1 < y2). Nếu y1 < y2 < 0 ị (2.1) vô nghiệm Nếu y1 < y2 = 0 ị (2.1) có một nghiệm: x = 0 Nếu y1 < 0 < y2 ị (2.1) có hai nghiệm: x1 = Nếu 0 = y1 < y2 ị (2.1) có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = Nếu 0 < y1 < y2 ị (2.1) có 4 nghiệm: Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình x4 - 5x2 + 6 = 0 (2.1.1) Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.1) Û y2 - 5x + 6 = 0 ị y1 = 2; y2 = 3 + Với y1 = 2 ị x2 = 2 ị x1= + Với y2 = 3 ị x2 = 3 ị x3 = Tập nghiệm của phương trình (2.1.1) là S = Ví dụ 2: Giải phương trình 2x4 + 7x2 + 3 = 0 (2.1.2) Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.2) Û 2y2 + 7y + 3 = 0 ị y1 = (loại); y2 = -3 (loại) Phương trình (2.1.2) vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình (2.1.2) là: S = ặ Ví dụ 3: Giải phương trình 3x4 5x2 - 2 = 0 (2.1.3) Giải: Đặt x2 = y 0 thì (2.1.3) Û 3y2 - 5y - 2= 0 ị y1 = 2; y2 = (loại) Với y1 = 2 ị x2 = 2 ị x1 = Vậy tập nghiệm của phương trình (2.1.3) là S = 2.2- Phương trình đối xứng bậc chẵn: Định nghĩa: Phương trình đối xứng bậc chẵn là phương trình có dạng: a0x2n + a1x2n-1 + ..... an-1xn+1 + anxn + an+1xn-1 +...+ a1x + a0 = 0 (2.2) b) Cách giải: Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.2) thì ta chia cả hai vế của phương trình (2.2) cho x2 0 (2.2) Û a0x2n + a1x2n-1 +...+ an-1x1 + anx0 + an+1x-1 +...+ a1x-(n-1) + a0x-n = 0 Û a0(xn + x-n) + a1(xn-1 + x-(n-1) +...+ an = 0 Đặt y = x + x-1 ị ta đưa phương trình (2.2) về phương trình bậc 2 với ẩn y. c) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (2.2.1) Giải: Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (2.2.1), chia hai vế của phương trình (2.2.1) cho x2 rồi nhóm lại ta có: (2.2.1) Û 2(x2 + ) + 3(x + ) - 16 = 0 Đặt y = x + ta được phương trình bậc hai: 2y2 + 3y - 20 = 0 ị y1 = ; y2 = - 4 + Với y1 = ị x + = Û 2x2 - 5x + 2 = 0 ị x1 = 2 ; x2 = + Với y2 = - 4 ị x + = - 4 Û x2 + 4x + 1 = 0 ị x3 = -2 + ; x4 = -2- Tập nghiệm của phương trình (2.2.1) là: S = ớ2; ; -2+ ; -2- ý Ví dụ 2: Giải phương trình x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + 1 = 0 (2.2.2) Giải: Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.2.2), chia 2 vế của phương trình (2.2.2) cho x2 rồi nhóm lại ta có: (2.2.2) Û (x2 + ) - 3(x + )+4 = 0 Đặt x + = y ta được phương trình bậc hai. y2 - 3y + 2 = 0 ị y1 = 1 ; y1 = 2 + Với y1 = 1 ị x + =1 Û x2 - x + 1 = 0. Phương trình này vô nghiệm. + Với y2 = 2 ị x + =2 Û x2 - 2x + 1 = 0 ị x = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình (2.2.2) là: S = 2.3- Phương trình đối xứng bậc lẻ: Định nghĩa: Phương trình đối xứng bậc lẻ là phương trình có dạng. a0x2n+1 + a1x2n + ..... an+1xn+1 + anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0 = 0 (2.3) Cách giải: Phương trình này luôn có nghiệm x = -1. Do đó ta chia cả hai vế của phương trình (2.3) cho (x + 1) ta được phương trình đối xứng bậc chẵn. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình 2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0 (2.3.1) Giải: Ta thấy x = -1 là một nghiệm của (2.3.1) Hạ bậc (2.3.1) Û (x + 1) (2x2 + 5x + 2) = 0 Û (x + 1).(x + 2).(2x + 1) = 0 Û Tập nghiệm của phương trình (2.3.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình x7 - 2x6 + 3x5 - x4 - x3 + 3x - 2x + 1 = 0 (2.3.2) Giải: Ta thấy x = -1 là một nghiệm của phương trình (2.3.2) Dùng sơ đồ Hoócne để hạ bậc của phương trình. 1 -2 3 -1 -1 3 -2 1 -1 1 -3 6 -7 6 -3 1 0 (2.3.2) Û (x + 1)(x6 - 3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) = 0 + Giải phương trình: x + 1 = 0 ị x = -1 + Giải phương trình: (x6 - 3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x2 - 3x + 1) = 0 (*) (Đây là phương trình đối xứng bậc chẵn) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (*), ta chia cả 2 vế của (*) cho x3 0 ta được: x3 - 3x2 + 6x - 7 + - = 0 Û (x3 + ) =3(x2 + ) + 6(x + ) - 7 = 0 (**) Đặt: x + = t phương trình (**) Û t3 - 3t2 + 3t - 1 = 0 Û (t - 1)3 = 0 ị t =1 ị x + = 1 Û x2 - x + 1 = 0. Phương trình này vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình (2.3.2) là: S = 2.4- Phương trình phản thương: Định nghĩa: Phương trình phản thương là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0 (2.4) Hoặc: ax4 - bx3 + cx2 - bx + a = 0 (2.4*) Cách giải: Dễ thấy x= 0 không là nghiệm của (2.4), chia cả hai vế của (2.4) cho x2 ta có: (2.4) Û ax2 + bx+c - + = 0 Û a(x2 + ) + b(x - ) + c = 0 Đặt: x - = y ta có phương trình: ay2 + by + c + 2a = 0 giải phương trình này ta được nghiệm y0, giải phương trình: x - = y0 ta được nghiệm của phương trình (2.4). Giải tương tự đối với phương trình (2.4*). c) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình x4 - 7x3 + 8x2 + 7x+ 1 = 0 (2.4.1) Giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.4.1), chia cả hai vế của phương trình (2.4.1) cho x2 ta có: (2.4.1) Û x2 - 7x + 8 + = 0 Û (x2 + )- 7(x - ) + 8 = 0 Đặt x - = y ta có phương trình: y2 - 7y + 10 = 0 ị y1 = 5; y2 = 2 + Với y1 = 5 ị x - = 5 Û x2 - 5x - 1 = 0 + Với y2 = 2 ị x - = 2 ị x2 - 2x - 1 0 ị x3 = 1 + ; x4 = 1- Tập nghiệm của phương trình (2.4.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + 6 = 0 (2.4.2) Giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.4.2), chia cả hai vế của phương trình (2.4.2) cho x2 ta có: (2.4.2) Û 6x2 + 7x -36 - = 0 Û 6(x2 + )+ 7(x - ) - 36 = 0 Đặt x - = y phương trình trở thành: 6(y2 + 2)+ 7y - 36 = 0 Û 6y2 + 7y - 24 = 0 ị y1 = ; y2 = + Với y1 = ị x - = Û 2x2 - 3x - 2 = 0 ị x1 = 2; x2 = + Với y = ị x - = Û 3x2 + 8x - 3 = 0 ị x3 = ; x4 = -3 Tập nghiệm của phương trình (2.4.2) là: S = 2.5- Phương trình hồi quy. a) Định nghĩa: Phương trình hồi quy là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 dx + e = 0 (2.5) Trong đó: b) Cách giải: x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.5), chia cả hai vế của phương trình (2.5) cho x2 thì (2.5) Û ax2 + bx + c = 0 Û (ax2 + ) + (bx ) + c = 0 Û a(x2 + t2x-2) + b(x tx-1) + c = 0 Đặt: x tx-1 = y khi đó (2.5*) Û ay2 + by + c 2at = 0 giải phương trình này ta được nghiệm y0, giải x tx-1 = y0 ta được nghiệm của phương trình (2.5) c) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình x4 - 3x3 + 3x+1 = 0 (2.5.1) Giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.5.1), chia cả hai vế của phương trình (2.5.1) cho x2 thì: (2.5.1) Û x2 - 3x + = 0 Û (x2 + ) - 3(x - ) = 0 Đặt x - = t ta có phương trình: t2 - 3t + 2 = 0 ị t1 = 1; t2 = 2 + Với t1 = 1 ị x - = 1 Û x2 - x - 1 = 0 ị x1 = + Với t2 = 2 ị x - = 2 ị x2 - 2x - 1= 0 ị x3 = Tập nghiệm của phương trình (2.5.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 (2.5.2) Giải: Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.5.2), chia hai vế của phương trình (2.5.2) cho x2 0 ta được: x2 + 3x - 14 - = 0 Đặt: x - = t ị x2 + = t2 + 4. Phương trình (2.5.2) trở thành: t2 + 3t - 10 = 0 ị t1 = 2; t2 = -5 + Với t1 = 2 ị x - = 2 Û x2 -2x - 2 = 0 ị x1 = + Với t2 = -5 ị x - = -5 Û x2 + 5x - 2 = 0 ị x3 = Vậy tập nghiệm của phương trình (2.5.2) là: S= 2.6- Phương trình có dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c (2.6) a) Cách giải: Đặt y = x + Khi đó: Phương trình (2.6) có dạng: ()4 + ()4 = c Û 2y4 + 12()2 y2 + 2()4 - c=0 Đây là phương trình trùng phương ta đã biết cách giải. b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 (2.6.1) Giải: Đặt y = x + = x + 5 ị x = y - 5 (2.6.1) Û (y - 3)4 + (y + 3)4 = 272 Û 2y4 + 108y2 + 162 = 272 Û 2y4 + 108y2 - 110 = 0 Û y4 + 54y2 - 55 = 0 (2.6.1') Đặt y2 = z 0 phương trình (2.6.1') có dạng: z2 + 54z - 55 = 0 ị z1 = 1; z2 = -55 (loại) Với z1 = 1 ị y1 = 1; y2 = -1 + Với y1 = 1 ị x1 = -4 + Với y2 = -1 ị x2 = -6 Vậy tập nghiệm của phương trình (2.6.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 (2.6.2) Giải: Đặt: y = x + = x - 7 ị x = y + 7 (2.6.2) ị (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 Û 2y4 + 12y2 + 2 = 16 Û y4 + 6y2 - 7 = 0 Đặt: y2 = z 0 phương trình có dạng: z2 + 6z - 7 = 0 ị z1 = 1; z2 = -7 (loại) Với z1 = 1 ị y1 = 1; y2 = -1 +Với y1 = 1 ị x1 = 8. + Với y2 = -1 ị x2 = 6. Vậy tập nghiệm của phương trình (2.6.2) là: S = 2.7- Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 (2.7) Trong đó ad = bc a) Cách giải: Nhóm: [(x + a)(x + d)][ (x + b)(x + c)] = mx2 Û [x2 + (a + d)x + ad] x2 + [(b + c)x + bc] = mx2 (2.7*) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (2.7*), chia cả hai vế của phương trình (2.7*) cho x2 ta có: (2.7*) Û [x + (a + d) + ad x-1] x + (b + c) + bc x-1] = m Đặt y = x + ad x-1 ta có phương trình: [y + (a + d][y + (b + c)] = m (2.7**) Giải phương trình (2.7**) ta được nghiệm y0. Giải phương trình x + ad x-1 = y0 ta được nghiệm của phương trình (2.7). b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x2 (2.7.1) Giải: (2.7.1) Û [(x + 2) (x + 12)][(x + 3)(x + 8)] = 4x2 Û (x2 + 14x + 24)(x2 + 11x + 24) = 4x2 Phương trình này không có nghiệm x = 0, chia cả hai vế của phương trình x2 0 ta được phương trình: (x + 14 + )(x + 11 + ) = 4. Đặt x + = y rồi đưa phương trình về dạng: (y + 14)(y + 11) = 4 Û y2 + 25y + 150 = 0 ị y1 = -15; y2 = -10 + Với y1 = -15 ị x + = -15 Û x2 + 15x + 24 = 0 + Với y2 = -10 ị x + = -10 Û x2 + 10x + 24 = 0 ị x3 = - 6; x4 = 4 Tập nghiệm của phương trình (2.7.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình: (x + 1)(x - 4)(x + 3)(x - 12) = -2x2 (2.7.2) Giải: (2.7.2) Û [(x + 1)(x - 12)][(x - 4)(x + 3)] = -2x2 Û (x2 - 11x - 12)(x2 - x - 12) = -2x2 Phương trình không có nghiệm x = 0, chia cả hai vế của phương trình cho x2 0 ta được: (x - 11 - )( x - 1 - ) = -2 Đặt x - = y phương trình trở thành.: (y - 11)(y - 1) = -2 Û y2 - 12y + 13 = 0 ị y1 = 1; y2 = 13 + Với y1 = 1 ị x - = 1 Û x2 - x - 12 = 0 ị x1 = 4; x2 = -3 + Với y2 = 13 ị x - = 13 Û x2 - 13x - 12 = 0 ị Tập nghiệm của phương trình (2.7.2) là: S = 2.8- Phương trình dạng: d(x + a)(x + b)(x + c) = mx (2.8) Trong đó d = ; m = (d - a)(d - b)(d - c) Cách giải: Đặt y = x + d ị x = y - d thay vào phương trình (2.8) ta được phương trình ẩn y; giải phương trình đó ta tìm được nghiệm y0. Giải phương trình x = y0 - d ta tìm được x0 là nghịêm của (2.8) b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình (x - 2)(x - 3)(x + 7) = -72x (2.8.1) Giải: Đặt y = x + = x + 1 ị x = y - 1 Thay vào (2.8.1) ta có: (y - 3)(y - 4)(y + 6) = -72(y - 1) Û y3 - y2 + 42y = 0 Û y(y2 - y + 42) = 0 Û Với y = 0 ị x = 0 - 1 = -1 Vậy tập nghiệm của phương trình (2.8.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình 8(x + 2)(x + 5)(x + 9) = -18x (2.8.2) Giải: Đặt y = x + 8 ị x = y - 8 thay vào (2.8.2) ta có: 8(y - 6)(y - 3)(y + 1) = -18(y - 8) Û 4y3 - 32y2 + 45y = 0 Û y(4y2 - 32y + 45) = 0 Giải phương trình này ta được: y1 = 0; y2 = + Với y1 = 0 ị x1 = - 8 + Với y2 = ị x2 = - 8 = + Với y3 = ị x3 = Tập nghiệm của phương trình (2.8.2) là: S = 2.9- Phương trình dạng: (x + a)(x + b)( x + c)(x + d) = m (2.9) Trong đó: a + d = b + c Cách giải: Nhóm [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] = m (2.9*) Đặt y = (x + a)(x + d) thay vào phương trình (2.9*) ta tìm được y0. Giải phương trình (x + a)(x + d) = y0 ta có x0 là nghiệm của phương trình (2.9) b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = 40 (2.9.1) Giải: (2.9.1) Û [(x + 5)(x + 9)][(x + 6)(x + 8)] = 40 Û (x2 + 14x + 45)(x2 + 14x + 48) = 40 Đặt x2 + 14x + 45 = y phương trình có dạng: y(y + 3) = 40 Û y2 + 3y - 40 = 0 ị y1 = 5; y2 = - 8 + Với y1 = 5 ị x2 + 14x + 45 = 5 Û x2 + 14x + 40 = 0 ị x1 = - 4; x2 = - 10 + Với y2 = - 8 ( x2 + 14x + 45 = - 8 Û x2 + 14x + 53 = 0 Phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình (2.9.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình: (x - 1)(x + 7)(x2 + 2x - 15) = 297 (2.9.2) Giải: (2.9.2) Û (x - 1)(x + 7)(x - 3)(x + 5) = 297 Û [(x - 1)(x + 5)][(x + 7)(x - 3)] = 297 Û (x2 + 4x - 5) (x2 + 4x - 21) = 297 Đặt x2 + 4x - 5 = y phương trình có dạng: y(y - 16) = 297 Û y2 - 16y - 297 = 0 ị y1 = 27; y2 = -11 + Với y1 = 27 ị x2 + 4x - 5 = 27 ị x2 + 4x - 32 = 0 ị x1 =- 8; x2 = 4 + Với y2 = -11 ị x2 + 4x - 5 = -11 ị x2 + 4x + 6 = 0 PT vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình (2.9.2) là: S = 2.10- Phương trình tam thức: Định nghĩa: Phương trình tam thức là phương trình có dạng: ax2n + bxn + c = 0 (a 0) (2.10) Trong đó: a, b, c là các số thức, n nguyên dương, n 2. Nếu a, b, c là các số thực đồng thời khác 0 và n = 2 thì (2.10) là phương trình trùng phương. b) Cách giải: Đặt xn = y ị (2.10) Û Giải (**) ta tìm được y0 thay vào (*) ta tìm được x0 là nghiệm của (2.10). c) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình x6 - 7x3 + 6 = 0 (2.10.1) Giải: Đặt x3 = y thì (2.10.1) Û y2 - 7y + 6 = 0 ị y1 = 1; y2 = 6 + Với y1 = 1 ị x3 = 1 ị x = 1 + Với y2 = 6 ị x3 = 6 ị x = Vậy tập nghiệm của phương trình (2.10.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình x10 + x5 - 6 = 0 (2.10.2) Giải: Đặt x5 = y thì (2.10.2) Û y2 + y - 6 = 0 ị y1 = 2; y2 = -3 + Với y1 = 2 ị x5 = 2 ị x = + Với y2 = -3 ị x5 = -3 ị x = Tập nghiệm của phương trình (2.10.2) là: S = Phương pháp 3: Đưa hai vế về luỹ thừa cùng bậc. a) Cơ sở lý luận: Thêm bớt vào hai vế của phương trình đi cùng một biểu thức (hay 1 số) để đưa 2 vế của phương trình trở thành 2 luỹ thừa cùng bậc. Phương trình: An = Bn (3.1) + Nếu n là số chẵn thì A = B (3.2) + Nếu n là số lẻ thì A = B (3.3) Giải phương trình (3.2) và (3.3) ta tìm được nghiệm của phương trình (3.1) b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình x4 = 24x + 32 (3.1.1) Giải: Cộng 4x2 + 4 vào hai vế của phương trình (3.1.1) ta có: x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36 Û (x2 + 2) 2 = (2x + 6)2 Û Tập nghiệm của phương trình (3.1.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình (x2 - 9)2 = 12x +1 (3.1.2) Giải: Cộng 36x2 vào hai vế của phương trình thì (3.1.2) Û (x2 - 9)2 + 36x2 = 36x2 + 12x + 1 Û (x2 + 9)2 = (6x + 1)2 Û Û Vậy tập nghiệm của phương trình (3.1.2) là: S = Phương pháp 4: Dùng bất đẳng thức a) Cơ sở lý luận: * Dùng tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng: Đưa phương trình đã cho về dạng f(x) = g(x) (1*) + Nếu x1 > x2 mà f(x1) > f(x2) thì f(x) là hàm đồng biến. + Nếu x1 > x2 mà f(x1) < f(x2) thì f(x) là hàm nghịch biến. f(x) tăng trên [a,b] + Nếu g(x) giảm trên [a,b] thì x0 là nghiệm duy nhất của (1*) f(x0) = g(x0) f(x) giảm trên [a,b] + Nếu g(x) tăng trên [a,b] thì x0 là nghiệm duy nhất của (1*) f(x0) = g(x0) * Dùng các bất đẳng thức. Dấu ''='' xảy ra khi AB 0 Dấu ''='' xảy ra khi AB 0 Dấu ''='' xảy ra khi A 0 b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình (4.1) Giải: áp dụng hằng bất đẳng thức Dấu ''='' xảy ra khi AB 0 Ta có: Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi: x(1 - x) 0 Û 0 x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình (4.1) là: S = Ví dụ 2: Giải phương trình (4.2) Giải: Viết phương trình (4.2) dưới dạng: Dễ thấy x = 8; x = 9 đều là nghiệm của(4.2). Xét các giá trị còn lại của x. + Với x < 8 thì còn ị . Vậy phương trình (4.2) vô nghiệm khi x < 8. + Với x > 9 thì còn > 0 ị phương trình (4.2) vô nghiệm khi x > 9. + Với 8 < x < 9 thì: 0 < x - 8 < 1 ị = x - 8 0 < 9 - x < 1 ị ị ị . Phương trình này vô nghiệm ị Phương trình (4.2) vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình (4.2) là: S = Phương pháp 5: Dùng tính chất về số nghiệm thực của phương trình. a) Cơ sở lý luận: Người ta chứng minh được rằng phương trình đại số bậc n có không quá n nghiệm thực. Do đó nếu ta chỉ ra được n nghiệm của một phương trình đại số bậc n thì đó là tất cả các nghiệm của phương trình đó. Ví dụ: Giải phương trình với a là tham số: (a2 - a)2 (x2 - x+1)3 = (x2 - x)2 (a2 - a + 1)3 (5.1) Giải: Với a = 0 hoặc a = 1 thì (5.1) có hai nghiệm: 0 và 1 Xét a 0, a 1. Khi đó x 0 (Vì nếu x = 0 thì a = 0 hoặc a = 1). Gọi m là nghiệm của (5.1). ị (a2 - a)2 (m2 - m + 1)3 = (m2 - m)2 (a2 - a + 1)3 (5.1.1') Chia hai vế của (5.1.1') cho m2 ta có: (a2 - a)2 (1- )3 = ()2 (a2 - a + 1)3 Û (a2 - a)2( + 1)3 = ()2(a2 - a + 1)3. Điều này chứng tỏ rằng cũng là nghiệm của (5.1). Ta dễ dàng chứng minh được 1 - m cũng là nghiệm của (5.1). Vậy a là một nghiệm của (5.1) theo trên thì và 1 - a cũng là nghiệm của (5.1). Do là nghiệm của (5.1) nên 1 - cũng là nghiệm của (5.1). Do 1 - a là nghiệm của (5.1) nên cũng là nghiệm của (5.1). Do đó 1 - cũng là nghiệm của (5.1). Điều kiện để sáu giá trị a, , 1 - a, 1 - , , 1 - đôi một khác nhau là: a 0, a 1, a -1; a 2; a 1/2. Các trường hợp a = 0, a = 1 đã xét ở trên. Trong mỗi trường hợp a = -1, a = 2, a = phương trình (5.1) đều có dạng: 4(x2 - x + 1)3 = 27 (x2 - x)2. Û (x+1)2(x-2)2(2x-1)2 = 0 Phương trình có 3 nghiệm kép: -1; 2; . Trong trường hợp a 0, a 1, a 2, a . Phương trình có sáu nghiệm nêu trên, không còn nghiệm nào khác. 6- Một số phương pháp khác: Ví dụ 1: Giải phương trình (3-x)4 + (2-x)4 = (5-2x)4 (6.1) Giải: Đặt 3 - x = y; 2 - x = z ị 5 - 2x = y + z phương trình (6.1 có dạng: y4 + z4 = (y+z)4. Khai triển vế phải, rút gọn rồi biến đổi ta được: yz (2y2 + 3yz + 2z2 ) = 0 + Với y = 0 ị 3-x = 0 ị x1 = 3 + Với z = 0 ị 2 - x = 0 ị x2 = 2 + Với 2y2 + 3yz + 2z2 = 0 ị 2(3-x)2 + 3 (3-x) (2-x) + 2 (2-x)2 = 0 Û 7x2 - 35x + 44 = 0. Phương trình vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình