Chương IX: Hệ phương trình lượng giác

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ Bài 173: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2cos x 1 0 1 3sin2x 2 2 − =⎧⎪⎨ =⎪⎩ Ta có: ( ) 11 cos x 2 ⇔ = ( )x k2 k 3 π⇔ = ± + π ∈ Z Với x k 3 2π= + π thay vào (2), ta được 2 3sin2x sin k4 3 2 π⎛ ⎞= + π =⎜ ⎟⎝ ⎠ Với x 3 π= − + πk2 thay vào (2), ta được 2 3sin2x sin k4 3 2 π⎛ ⎞= − + π = − ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 2 (loại) Do đó nghiệm của hệ là: 2 , 3 π= + π ∈x k k Bài 174: Giải hệ phương trình: sin x sin y 1 x y 3 + =⎧⎪ π⎨ + =⎪⎩ Cách 1: Hệ đã cho x y x y2sin .cos 1 2 2 x y 3 + −⎧ =⎪⎪⇔ ⎨ π⎪ + =⎪⎩ π − −⎧ ⎧= =⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ππ⎪ ⎪ + =+ = ⎪⎪ ⎩⎩ x y x y2.sin .cos 1 cos 1 6 2 2 x yx y 33 42 2 33 −⎧ − = π= π ⎧⎪⎪ ⎪⇔ ⇔ π⎨ ⎨π + =⎪ ⎪+ = ⎩⎪⎩ x y x y kk x yx y ( ) 2 6 2 6 π⎧ = + π⎪⎪⇔ ∈⎨ π⎪ = − π⎪⎩ x k k Z y k Cách 2: Hệ đã cho 3 3 3 1sin sin 1 cos sin 13 2 2 3 3 sin 1 2 3 3 2 2 6 2 6 π π⎧ ⎧= − = −⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨π⎛ ⎞⎪ ⎪+ − = + =⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎩⎩ π⎧ π⎧= − = −⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨π π π⎛ ⎞⎪ ⎪+ = + = + π⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎩⎝ ⎠⎩ π⎧ = + π⎪⎪⇔ ∈⎨ π⎪ = − π⎪⎩ y x y x x x x x y x y x x x k x k k y k Bài 175: Giải hệ phương trình: sin x sin y 2 (1) cos x cos y 2 (2) ⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩ Cách 1: Hệ đã cho x y x y2sin cos 2 (1) 2 2 x y x y2cos cos 2 (2) 2 2 + −⎧ =⎪⎪⇔ ⎨ + −⎪ =⎪⎩ Lấy (1) chia cho (2) ta được: +⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ x y x ytg 1 (do cos 0 2 2 − = không là nghiệm của (1) và (2) ) 2 4 2 2 2 2 + π⇔ = + π π π⇔ + = + π⇔ = − + π x y k x y k y x k thay vào (1) ta được: sin x sin x k2 2 2 π⎛ ⎞+ − + π =⎜ ⎟⎝ ⎠ sin x cosx 2⇔ + = 2 cos 2 4 2 , 4 π⎛ ⎞⇔ −⎜ ⎟⎝ ⎠ π⇔ − = π ∈ = x x h h Do đó: hệ đã cho ( ) 2 , 4 2 , , 4 π⎧ = + π ∈⎪⎪⇔ ⎨ π⎪ = + − π ∈⎪⎩ x h h y k h k h Cách 2: Ta có A B A C B C D A C B D = + =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= − =⎩ ⎩ D+ − Hệ đã cho ( ) ( ) ( ) ( ) ⎧ − + − =⎪⇔ ⎨ + + − =⎪⎩ ⎧ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⇔ ⎨ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ sin x cos x sin y cos y 0 sin x cos x sin y cos y 2 2 2 sin x 2 sin y 0 4 4 2 sin x 2 sin y 2 2 4 4 sin sin 0 4 4 sin sin 0 4 4 sin 1 4 sin sin 2 4 4 sin 1 4 2 4 2 2 4 2 sin sin 0 4 4 x y x y x x y y x k y h x y ⎧ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎧ π π ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ π⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⇔ ⇔ + =⎨ ⎨ ⎜ ⎟π π ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎩ + =⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎧ π π+ = + π⎪⎪ π π⎪⇔ + = + π⎨⎪⎪ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ π⎧ = + π⎪⎪⇔ ⎨ π⎪ = + π ∈⎪⎩ x k2 4 y h2 , h, k 4 Z Bài 176: Giải hệ phương trình: − − =⎧⎪⎨ + = −⎪⎩ tgx tgy tgxtgy 1 (1) cos 2y 3 cos 2x 1 (2) Ta có: tgx tgy 1 tgxtgy− = + ( ) 2 1 tgxtgy 0 tg x y 1 tgx tgy 0 1 tgxtgy 0 1 tg x 0 (VN) ⎧ + =− =⎧⎪ ⎪⇔ ∨ − =⎨ ⎨+ ≠⎪⎩ ⎪ + =⎩ (x y k k Z 4 π⇔ − = + π ∈ ) , với x, y k 2 π≠ + π x y k 4 π⇔ = + + π, với x, y k 2 π≠ + π Thay vào (2) ta được: cos2y 3 cos 2y k2 1 2 π⎛ ⎞+ + + π = −⎜ ⎟⎝ ⎠ cos 2 3 s 2 1 3 1 1s 2 cos 2 sin 2 2 2 2 6 y in y in y y y ⇔ − = − π⎛ ⎞⇔ − = ⇔ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 2 = ( )52 2 2 2 6 6 6 6 y h hay y h h Zπ π π π⇔ − = + π − = + π ∈ , , 6 2 ( lọai)y h h hay y h hπ π⇔ = + π ∈ = + π ∈ Do đó: Hệ đã cho ( ) ( ) 5 6 , 6 x k h h k Z y h π⎧ = + + π⎪⎪⇔ ∈⎨ π⎪ = + π⎪⎩ Bài 177: Giải hệ phương trình 3 3 cos x cos x sin y 0 (1) sin x sin y cos x 0 (2) ⎧ − + =⎪⎨ − + =⎪⎩ Lấy (1) + (2) ta được: 3 3sin x cos x 0+ = 3 3 3 sin x cos x tg x 1 tgx 1 x k (k 4 ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − π⇔ = − + π ∈ Z) Thay vào (1) ta được: ( )3 2sin y cos x cos x cos x 1 cos x= − = − = =2 1cos x.sin x sin 2x sin x 2 π π⎛ ⎞ ⎛= − − +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ 1 sin sin k 2 2 4 ⎞π⎟⎠ π⎛ ⎞= − − + π⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 sin k 2 4 ⎧⎪⎪= ⎨⎪−⎪⎩ 2 (nếu k chẵn) 4 2 (nếu k lẻ) 4 Đặt 2sin 4 α = (với 0 2< α < π ) Vậy nghiệm hệ ( )π π⎧ ⎧= − + π ∈ = − + + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪∨⎨ ⎨= α + π ∈ = −α + π ∈⎡ ⎡⎪ ⎪⎢ ⎢⎪ ⎪= π − α + π ∈ = π + α + π ∈⎣ ⎣⎩ ⎩ x 2m , m x 2m 1 , m 4 4 y h2 , h y 2h , h y h2 , h y h2 , h II. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG Bài 178: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 1sin x.cos y 1 2 tgx.cotgy 1 2 ⎧ = −⎪⎨⎪ =⎩ Điều kiện: cos x.sin y 0≠ Cách 1: Hệ đã cho ( ) ( )1 1sin x y sin x y 2 2 sin x.cos y 1 0 cos x.sin y ⎧ + + − =⎡ ⎤⎣ ⎦⎪⎪⇔ ⎨⎪ − =⎪⎩ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − =⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩ − + + − =⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩ sin x y sin x y 1 sin x cos y sin y cos x 0 sin x y sin x y 1 sin x y 0 − ( ) ( ) + = −⎧⎪⇔ ⎨ − =⎪⎩ π⎧ + = − + π ∈⎪⇔ ⎨⎪ − = π ∈⎩ sin x y 1 sin x y 0 x y k2 , k 2 x y h , h ( ) ( ) π π⎧ = − + + ∈⎪⎪⇔ ⎨ π π⎪ = − + − ∈⎪⎩ ≠ x 2k h , k, h 4 2 y 2k h , k, h 4 2 (nhận do sin y cos x 0) Cách 2: ( ) sin x cos y2 1 cos xsin y ⇔ = ⇔ =sin x cos y cos x sin y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( 1sin cos 3 2 1cos sin 4 2 sin 1 3 4 sin 0 3 4 Thế 1 vào 2 ta được: x y x y x y x y ⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩ + = − +⎧⎪⇔ ⎨ − = −⎪⎩ ) ) 2 , 2 , x y k k x y h h π⎧ + = − + π ∈⎪⇔ ⎨⎪ − = π ∈⎩ ( ) ( ) ( ) 2 4 2 , 2 4 2 x k h h k Z y k h π π⎧ = − + +⎪⎪⇔ ∈⎨ π π⎪ = − + −⎪⎩ III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ Bài 179: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 3 1 3 2 3cotg cotg 2 3 tgx tgy x y ⎧ + =⎪⎪⎨ −⎪ + =⎪⎩ Đặt = =X tgx, Y tgy Hệ đã cho thành: 2 3 2 3X Y X Y 3 3 1 1 2 3 Y X 2 3 X Y 3 YX ⎧ ⎧+ = + =⎪ ⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ +⎪ ⎪+ = − = −⎪ ⎪⎩ ⎩ 3 2 2 3X Y2 3X Y 3 3 2 3XY 1 X X 1 0 3 X 3 3X 33Y Y 33 ⎧⎧ + =⎪+ =⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪= − − − =⎩ ⎪⎩ ⎧ ⎧= = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= −⎪ ⎪ =⎩ ⎩ Do đó: Hệ đã cho : tgx 3 3tgx 33tgy tgy 33 ⎧ ⎧= = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= −⎪ ⎪ =⎩ ⎩ , , 3 6 , , 6 3 π π⎧ ⎧= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨π π⎪ ⎪= − + π ∈ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩ x k k x k k y h h y h h Bài 180: Cho hệ phương trình: 1sin x sin y 2 cos2x cos2y m ⎧ + =⎪⎨⎪ + =⎩ a/ Giải hệ phương trình khi 1m 2 = − b/ Tìm m để hệ có nghiệm. Hệ đã cho ( ) ( )2 2 1sin x sin y 2 1 2sin x 1 2sin y m ⎧ + =⎪⇔ ⎨⎪ − + −⎩ = ( ) ⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨ −⎪ + =⎪⎩ ⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨⎪ + − = −⎪⎩ 2 2 2 1sin x sin y 2 2 msin x sin y 2 1sin x sin y 2 msin x sin y 2sin xsin y 1 2 ⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨⎪ − =⎪⎩ 1sin x sin y 2 1 m2sin xsin y 1 4 2 − ⎧ + =⎪⎪⇔ ⎨⎪ = − +⎪⎩ 1sin x sin y 2 3 msin xsin y 8 4 Đặt X sin x,Y sin y với X , Y 1= = ≤ thì X, Y là nghiệm của hệ phương trình ( )2 1 m 3t t 0 2 4 8 − + − = * a/ ( )= − 1Khim thì * thành : 2 − − = ⇔ − − = ⇔ = ∨ = − 2 2 1 1t t 0 2 2 2t t 1 0 1t 1 t 2 Vậy hệ đã cho sin x 1 1sin x 21sin y sin y 12 =⎧ ⎧ = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= −⎪ ⎪ =⎩ ⎩ 2 , ( 1) , 2 6 ( 1) , 2 , 6 2 π π⎧ ⎧= + π ∈ = − − + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨π π⎪ ⎪= − − + π ∈ = + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩ h h x k k x h h y h h y k k b/ Ta có : ( ) 2m 1* t 4 2 ⇔ = − + + 3t 8 Xét ( ) [ ]2 1 3y t t C trênD 1,1 2 8 = − + + = − thì: 1y ' 2t 2 = − + 1y ' 0 t 4 = ⇔ = Hệ đã cho có nghiệm ( ) [ ]* có 2 nghiệm trên -1,1⇔ ( ) md y 4 ⇔ = cắt (C) tại 2 điểm hoặc tiếp xúc [ ]trên -1,1 ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 1 m 7 8 4 16 1 7m 2 4 Cách khác 2( ) 8 4 3 2 0⇔ = − − + =ycbt f t t t m có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa 1 21 1⇔ − ≤ ≤ ≤t t / 28 16 0 (1) 1 2 0 ( 1) 9 2 0 11 1 2 4 ⎧Δ = − ≥⎪ = + ≥⎪⎪⇔ ⎨ − = + ≥⎪⎪− ≤ = ≤⎪⎩ m af m af m S 1 7 2 4 ⇔ − ≤ ≤m Bài 181: Cho hệ phương trình: 2 2 sin x mtgy m tg y msin x m ⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩ a/ Giải hệ khi m = -4 b/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm. Đặt X sin x= với X 1≤ Y tgy= Hệ thành: ( ) ( ) 2 2 X mY m 1 Y mX m 2 ⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩ Lấy (1) – (2) ta được: ( )2 2X Y m Y X 0− + − = ( ) ( )X Y X Y m 0 X Y Y m X ⇔ − + − = ⇔ = ∨ = − Hệ thành ( )22 = −= ⎧⎧ ⎪⎨ ⎨ + − =+ = ⎪⎩ ⎩ Y m XX Y hay X m m X mX mX m ( ) ( )2 2 2 X Y Y m X X mX m 0 * X mX m m 0 * * = = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨+ − = − + − =⎪ ⎪⎩ ⎩ a/Khi m = -4 ta được hệ ( ) ( ) 22 Y 4 XX Y X 4X 20 0 vô nghiệmX 4X 4 0 X 2 loạido X 1 Y 2 = − −= ⎧⎧ ⎪∨⎨ ⎨ + + =− + = ⎪⎩ ⎩ ⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ =⎪⎩ Vậy hệ đã cho vô nghiệm khi m = 4. b/ Ta có (*) 2X mX m 0 với X 1⇔ + − = ≤ ( ) ( ) 2 2 X m 1 X X m domkhông là nghiệmcủa * 1 X ⇔ = − ⇔ =− Xét [ ) ( ) 2 2 2 X X 2XZ trên 1,1 Z' 1 X 1 X − += − ⇒ =− − ; Z' 0 X 0 X 2= ⇔ = ∨ = Do đó hệ ( ) 2 X Y X 1 X mX m 0 ⎧ = ≤⎪⎨ + − =⎪⎩ có nghiệm m 0⇔ ≥ Xét (**): 2 2X mX m m 0− + − = Ta có ( )2 2 2m 4 m m 3m 4mΔ = − − = − + 40 0 m 3 Δ ≥ ⇔ ≤ ≤ Kết luận: Khi m thì (I) có nghiệm nên hệ đã cho có nghiệm 0≥ Khi < thì (I) vô nghiệm mà (**) cùng vô nghiệm m 0 Δ(do < 0) nên hệ đã cho vô nghiệm Do đó: Hệ có nghiệm m 0⇔ ≥ Cách khác Hệ có nghiệm (*)hay ⇔ = + − =2f (X) X mX m 0 (**) có nghiệm trên [-1,1] = − + − =2 2g(X) X mX m m 0 ( 1) (1) 0f f⇔ − ≤ 2 1 4 0 (1) 0 ( 1) 0 1 1 2 2 m m af hay af mS ⎧Δ = + ≥⎪ ≥⎪⎪⎨ − ≥⎪ −⎪− ≤ = ≤⎪⎩ hay ( 1) (1) 0g g− ≤ 2 2 2 2 3 4 ( 1) 1 0 ( 1) ( 1) 0 1 1 2 2 m m ag m hay ag m S m ⎧Δ = − + ≥⎪ 0− = + ≥⎪⎪⎨ = − ≥⎪⎪− ≤ = ≤⎪⎩ 1 2 0m⇔ − ≤ 2 1 4 0 1 2 0 2 2 m m hay m m ⎧Δ = + ≥⎪ − ≥⎨⎪− ≤ ≤⎩ hay m = 1 hay ≤ ≤ 40 m 3 m 0⇔ ≥ IV. HỆ KHÔNG MẪU MỰC Bài 182: Giải hệ phương trình: ⎧ π⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎪⎪ ⎝⎨ π⎛ ⎞⎪ + ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ tgx cotgx =2sin y + (1) 4 tgy cotgy =2sin x - (2) 4 ⎠ Cách 1: Ta có: 2 2sin cos sin cos 2tg cotg = cos sin sin cos sin2 α α α + αα + α + = =α α α α α Vậy hệ đã cho ⎧ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⇔ ⎨ π⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ 1 sin y (1) sin 2x 4 1 sin x (2) sin 2y 4 ⎧ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎪⎪ ⎝⇔ ⎨ π⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ 1 sin 2x sin y (1) 4 1 sin 2y.sin x (2) 4 ⎠ Ta có: (1) = =⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ∨π π⎨ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩ sin 2x 1 sin 2x 1 sin y 1 sin y 1 4 4 − π π⎧ ⎧= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨π π⎪ ⎪= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩ x k , k x k , k 4 4 3y h2 , h y h2 , h 4 4 Thay π⎧ = + π ∈⎪⎪⎨ π⎪ = + π ∈⎪⎩ x k , k 4 y h2 , h 4 vào (2) ta được sin2y.sin x sin .sin k 0 1 4 2 π π⎛ ⎞− = π = ≠⎜ ⎟⎝ ⎠ (loại) Thay −π⎧ = + π ∈⎪⎪⎨ π⎪ = − + π ∈⎪⎩ x k , k 4 3y h2 , h 4 vào (2) ta được π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− = − − + π⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3sin 2y.sin x sin sin k 4 2 2 ⎞⎟⎠ ⎧π⎛ ⎞= − + π = ⎨⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎩ 1 ( nếu k lẻ) sin k 2 1 (nếu k chẵn) Do đó hệ có nghiệm ( ) ( ) π⎧ = − + + π⎪⎪ ∈ •⎨ π⎪ = − + π⎪⎩ x 2m 1 4 m,h Z 3y h2 4 Cách 2: Do bất đẳng thức Cauchy tgx cotgx 2+ ≥ dấu = xảy ra 1tgx cotgx tgx= tgx ⇔ = ⇔ tgx 1⇔ = ± Do đó: tgx+cotgx 2 2sin y 4 π⎛ ⎞≥ ≥ +⎜ ⎟⎝ ⎠ Dấu = tại (1) chỉ xảy ra khi = = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ∨π π⎨ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩ π π⎧ ⎧= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨π π⎪ ⎪= + π ∈ = − + π ∈⎪ ⎪⎩ ⎩ tgx 1 tgx 1 sin y 1 sin y 1 4 4 x k , k x k , k 4 4(I) (II) 3y h2 , h y h2 , h 4 4 thay (I) vào (2): π⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠tgy cotgy=2sin x - 4 ta thấy không thỏa 2 2sink 0= π = thay (II) vào (2) ta thấy π⎛ ⎞= − + π⎜ ⎟⎝ ⎠2 2sin k2 chỉ thỏa khi k lẻ Vậy: hệ đã cho ( )π⎧ = − + + π⎪⎪⇔ ∈⎨ π⎪ = − + π⎪⎩ x 2m 1 4 , m, h 3y 2h 4 Bài 183: Cho hệ phương trình: ( ) 2 x y m (1) 2 cos2x cos2y 1 4 cos m 0 (2) − =⎧⎪⎨ + − − =⎪⎩ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. Hệ đã cho ( ) ( ) 2 x y m 4cos x y cos x y 1 4 cos m − =⎧⎪⇔ ⎨ + − = +⎪⎩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − =⎧⎪⇔ ⎨− + + + =⎪⎩ − =⎧⎪⇔ ⎨ − + + − +⎪⎩ − =⎧⎪⇔ ⎨ − + + + =⎪⎩ 2 2 2 2 2 x y m 4 cos x y cos m 4 cos m 1 0 x y m [2 cos m cos x y ] 1 cos x y 0 x y m [2 cos m cos x y ] sin x y 0 = ( ) ( ) ⎧ − =⎪⇔ + =⎨⎪ + =⎩ x y m cos x y 2cos m sin x y 0 − =⎧⎪⇔ + = π ∈⎨⎪ π =⎩ x y m x y k , k cos(k ) 2 cos m Do đó hệ có nghiệm π π⇔ = ± + π ∨ = ± + π ∈ 2m h2 m h2 , h 3 3 BÀI TẬP 1. Giải các hệ phương trình sau: a/ 2 2 sin x sin y 2 tgx tgy tgxtgy 1 f / 3sin2y 2 cos4xsin x sin y 2 + = + + =⎧ ⎧⎨ ⎨ − =+ = ⎩⎩ ⎧⎧ = − − =⎪⎪⎪ ⎪⎨ ⎨⎪ ⎪= + =⎪ ⎪⎩ ⎩ 1 3sin x sin y sin x sin 2y2 2b / g / 1 1cos x cos y cos x cos 2y2 2 ( ) ( ) 2 2 cos x y 2cos x y2 cos x 1 cos y c / h / 3cos x.cos y2 sin x sin y 4 1 sin x 7cos ysin x cos y d / k /4 5sin y cos x 63tgx tgy tgx tgy 1sin x cos x cos y e / l / x ytg tg 2cos x sin xsin y 2 2 + = −⎧⎧ = +⎪ ⎪⎨ ⎨ ==⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎧ == ⎧⎪⎨ ⎨ = −⎩⎪ =⎩ + =⎧⎧ =⎪ ⎪⎨ ⎨ + ==⎪⎩ ⎪⎩ 2.Cho hệ phương trình: 2 cos x cos y m 1 sin xsin y 4m 2m = +⎧⎨ = +⎩ a/ Giải hệ khi 1m 4 = − b/ Tìm m để hệ có nghiệm ⎛ ⎞− ≤ ≤ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 1ĐS m hay m=0 4 4 3. Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất: ( ) ⎧ + =⎪⎨ + = + +⎪⎩ 2 2 2 y tg x 1 y 1 ax a sin x ĐS a=2 4. Tìm m để các hệ sau đây có nghiệm. 3 2 3 cos x mcos y sin x cos y ma / b / sin y cos x msin x mcos y ⎧ = ⎧ =⎪⎨ ⎨ ==⎪ ⎩⎩ ( )≤ ≤ĐS 1 m 2 ⎛ ⎞+≤ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1- 5 1 5ĐS m 2 2 Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi đại học Vĩnh Viễn