Báo cáo Chuyên đề một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học 7

NHIệT LIệT chào mừng các thầy, cô GIáO Về Dự HộI THảO MÔN TOáN BậC thcs Người trình bày: Lưu Tuấn Nghĩa Trường THCS Hải HậuHải Hưng ngày 25 tháng 11 năm 2009Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuLưu Tuấn Nghĩa THCS Hải Hậubáo cáo chuyên đềmột số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học 7Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuĐổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. lí do Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuVấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán. Trong khi tỡm phương pháp giải toán hỡnh học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thỡ việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thỡ mới tỡm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp.Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vỡ việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hỡnh cơ bản và các bài toán dựng hỡnh cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tỡm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vỡ sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? Gặp phải tỡnh huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vỡ các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hỡnh học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy tỡm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn.Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải Hậu Các giải pháp thực hiệnBài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.Bài toán 3: Dựng tia phân giác của góc xAy cho trước.Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.II - Cơ sở thực tế Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau. Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau. Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình hình học lớp 7.I - Cơ sở lý luận của việc vẽ thêm yếu tố phụA. một số vấn đề cơ bảnVì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ( hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo một cách gồm các bước sau:Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuIII. một số phương pháp vẽ yêú tố phụLưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuIII. một số phương pháp vẽ yêú tố phụCách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuIII. một số phương pháp vẽ yêú tố phụBài toán 1: Cho hình vẽ: Biết Ax // By. Biết .Tính ?400CyxBAKẻ Cz // Ax ( Cz nằm trong góc ACB)  Cz // ByTừ Cz // Ax  Từ Cz // By  Cách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuBài toán 1: Cho hình vẽ: Biết Ax // By. Biết .Tính Cách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. 1EDABxyC400?Vẽ AE  By  AE  Ax. Gọi giao điểm của AE và BC là D.III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụLưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuBài toán 1: Cho hình vẽ: Biết Ax // By. Biết .Tính D?700400CyxBAGọi giao điểm của AC và By là D. Từ Ax // By Tam giác CDB có góc ACB là góc ngoài tại C Cách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụCách 2. vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc nối hai điểm có sẵn trong hình Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuBài toán 1: Cho hình vẽ: Biết Ax // By. Biết .Tính ?700400CyxBACách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Cách 2. vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc nối hai điểm có sẵn trong hình Ax // By III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụLưu Tuấn Nghĩa THCS Hải Hậu700ABxyCD400?Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuBài toán 2. Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. Chứng minh:  AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)BACDCách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Cách 2. vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc nối hai điểm có sẵn trong hình III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụLưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuCDBABài toán 3. Trên hình bên cho biết: AB = DB, AC = DC. Chứng minh rằng:  ABC =  DBC ( c.c.c) Cách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Cách 2. vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc nối hai điểm có sẵn trong hình III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụLưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuCDBABài toán 3. Trên hình bên cho biết: AB = DB, AC = DC. Chứng minh rằng: Bài toán 2. Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. Chứng minh: AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)DCBACách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Cách 2. vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc nối hai điểm có sẵn trong hình III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụBài toán 3. Trên hình bên cho biết: AB = DB, AC = DC. Chứng minh rằng: DCBALưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuIII. một số phương pháp vẽ yêú tố phụCách 3. Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một gócBài toán 4. Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh  ABM =  ACM ( c- c - c)  ( 2 góc tương ứng)Vẽ trung điểm M của BC. Nối A với M ABM =  ACM ( c- c - c)  AB = AC ( 2 cạnh tương ứng)MCBACách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Cách 2. vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc nối hai điểm có sẵn trong hình MLưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuCách 3. Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một gócXét bài toán ngược. Cho tam giác ABC có . Chứng minh AB = AC ABM =  ACM ( g - c - g)  AB = AC ( 2 cạnh tương ứng)Vẽ AM là phân giác góc AABCMIII. một số phương pháp vẽ yêú tố phụCách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Cách 2. vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc nối hai điểm có sẵn trong hình Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuABCMMCBADCBADCBACDBALưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuIII. một số phương pháp vẽ yêú tố phụCách 4. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.Bài toán 5. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng MN // BC và NMCBAPhân tích bài toán: M và N là trung điểm của AB và AC, yêu cầu chứng minh MN // BC và Hướng suy nghĩ: Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.MN rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Dễ nhận thấy rằng yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho N là trung điểm của MD.Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuCách 4: trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.Bài toán 5. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng MN // BC và DNMCBA*  NMA =  NDC ( c- g – c) * BMC =  DCM ( c- g- c)III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụLưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuCách 4. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.Bài toán 6. Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh ? ( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2 )MCBAD1III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụLưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuCách 5: Phương pháp “ tam giác đều ”Bài toán 7: Cho tam giác ABC cân tại A, . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng . 1) Phân tích bài toán: Bài cho ABC cân tại A, = 200 ; AD = BC ( D AB). Yêu cầu chứng minh: .Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 -200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng. DABC( Thí dụ 18/ 123 – BT NC và một số CĐ toán 7 – Tg Bùi Văn Tuyên)III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụCách 3. Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một gócCách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Cách 2. vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc nối hai điểm có sẵn trong hình Cách 4. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuBài toán 7: Cho tam giác ABC cân tại A, . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng . MAB =  MAC ( c - c - c)   CAD = ACM ( c -g -c )Vậy 1) Phân tích bài toán: Bài cho ABC cân tại A, = 200 ; AD = BC ( D AB). Yêu cầu chứng minh: .DABCMVẽ tam giác đều BMC nằm trong tam giác ABC III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụCách 5: Phương pháp “ tam giác đều ”Cách 3. Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một gócCách 1. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Cách 2. vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng hoặc nối hai điểm có sẵn trong hình Cách 4. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải Hậu Vẽ  EAD đều nằm ngoài tam giác ABC, tạo ra Khi đó  EAC =  CBA (c.g.c) Từ đó CE = CA và Do đó  CAD =  CED ( c -c -c )VậyCách 2CBADELưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuDECBAVẽ tam giác đều EAC nằm ngoài tam giác ABC, tạo raKhi đó  DAE =  CBA (c.g.c) Từ đó:và DE = ACSuy ra  DEC cân tại E có góc ở đỉnh . Do đó góc ở đáy Từ đó có: VậyCách 3Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuVẽ  đều ABE ( E, C nằm cùng phía đối với AB )EABCD1Từ đó:  CBE =  DAC (c.g.c)  AEC cân tại A lại có góc ở đỉnhTừ đó: Cách 4Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuC.Kết luận Trên đây là những kinh nghiệm của tôi khi hướng dẫn các em giải bài tập hình học đòi hỏi phải vẽ thêm các yếu tố phụ. Việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho các em giải toán dễ dàng hơn, song việc vẽ thêm yếu tố phụ quả là khó khăn, phức tạp đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, có trí tưởng tượng phong phú và óc sáng tạo linh hoạt, trên tinh thần phải nắm được kiến thức cơ bản và khai thác triệt để giả thiết bài toán cho. Tôi mới chỉ đưa ra 2 dạng toán là chứng minh, tính số đo góc mà đã thấy việc vẽ thêm yếu tố phụ rất phong phú, đa dạng, thiếu nó thì việc giải toán gặp nhiều khó khăn. Thông qua chuyên đề này tôi mong muốn đựợc đóng góp một phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán. Vì điều kiện thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi không tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự đóng góp bổ sung của các cấp lãnh đạo và của các bạn bè đồng nghiệp để kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ hơn trong giảng dạy.Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuXin chân thành cảm ơn và kính chúc sức khoẻ các thầy giáo, cô giáo!Lưu Tuấn Nghĩa THCS Hải HậuCách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụCách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một gócCách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.Cách 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. Cách 5: Phương pháp “ tam giác đều ”Bài toán 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, . Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân. HMB =  ABC ( c -g -c)  Từ đó có  OMB cân tại M lại có góc đáy  góc ở đỉnh . Từ đó:Do đó MOB = MOC (c-g-c)  OB = OC   OBC cân tại O150CABOMHLưu Tuấn Nghĩa THCS Hải Hậu