Bài giảng môn toán lớp 7 - Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

Ban Toán - 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC         2 2 2 2 a sin sin 0 0 acos os 0 0 atan tan 0 0 acot cot 0 0 u b u c a u bc u c a u b u c a u b u c a                 Cách giải: Đặt sint u hay cost u với 1t  tant u (điều kiện 2 u k    ) cott u (điều kiện u k ) Các phương trình trên trở thành: 2 0at bt c   Giải phương trình tìm được t , so với điều kiện để nhận nghiệm t . Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u Ví dụ 1: Giải phương trình:   1 1 2sin3 2cos3 * sinx cos x x x    Điều kiện: sin2x 0 Lúc đó:     1 1 * 2 sin3 os3 sinx cos x c x x        3 3 1 1 2 3 sinx cos 4 sin os sinx cos x x c x x            2 2 sinx cos 2 sin3 os3 3 4 sin sin x cos os sinx cos x x c x x x c x x            1 sinx cos 2 8sinx cos 0 sinx cos x x x              2 sinx cos 4sin 2 2 0 sin 2 x x x           2 t anx 1 sinx cos 0 1 sin 2 1 sin 24sin 2 2sin 2 2 0 2 x x xx x              (nhận so với điều kiện) 4 4 2 2 2 ( ) 12 2 2 76 7 12 2 2 6 x k x k x k x k k Z x k x k x k                                                Ban Toán - 2 Ví dụ 6: Giải phương trình:     2cos 2sin 3 2 2cos 1 1 * 1 sin 2 x x x x      Điều kiện: sin 2 1 4 x x m        Lúc đó:   2* 2sin cos 3 2 cos 2cos 1 1 sin 2x x x x x      22cos 3 2 cos 2 0x x    1 2cos 4 2 2 4 '2 ( )cos 2( ) 4 x kx x k x k lx l                      Ví dụ 2: Giải phương trình:   3 3 1 cos . os . os sinx.sin .sin * 2 2 2 2 2 x x x x x c c   Ta có:       1 1 1 * cos os2 cos sin os2 cos 2 2 2 x c x x x c x x                         2 2 2 1 1 1 * cos os2 cos sin os2 cos 2 2 2 cos . os2 os s inx. os2 s inx.cos 1 os2 . cos s inx 1 os sin x cos os2 . cos s inx s inx cos s inx cos s inx os2 s inx 0 ** cos s inx 1 2sin s inx 0 cos s in x c x x x c x x x c x c x c x x c x x c x x c x x x x c x x x x                                  2 x 2sin s inx 1 0 4t anx 1 s inx 1 2 2 1 5s inx 2 22 6 6 x x k x k k Z x k x k                                           Cách khác:  ** t anx 1 os2 sinx os 2 c x c x             Ví dụ 3: Giải phương trình:  34cos 3 2 sin 2 8cos *x x x  Ban Toán - 3       3 2 2 2 * 4cos 6 2 sin cos 8cos 0 cos 2cos 3 2 sin 4 0 cos 2 1 sin 3 2 sin 4 0 cos 0 2sin 3 2 sin 2 0 x x x x x x x x x x x x x                       Ta có:   cos 0 2 1 sinx 2 42 3sinx 2( ) 2 4 x k x x k k Z l x k                             Ví dụ 4: Giải phương trình:   os 2 os 2 4sin 2 2 1 sinx * 4 4 c x c x x                                  2 2 2 * 2cos 2 . os 4sin 2 2 1 s inx 4 2 1 2sin 4 2 s inx 2 2 0 2 2 sin 4 2 s inx 2 0 s inx 2( ) 2sin 2 2 1 s inx 2 0 1 s inx 2 5 2 2 6 6 x c x x x l x x k x k k Z                                         Ví dụ 10: Giải phương trình:    2 23cot 2 2 sin 2 3 2 cos *x x x   Điều kiện: sinx 0 cos 1x    Chia hai vế  * cho 2sin x ta được:     2 4 2 os os * 3 2 2 2 3 2 sin sin c x c x x x     và sinx 0 Đặt 2 os sin c x t x  ta được phương trình:  23 2 3 2 2 2 0 2 2 3 t t t t          Với 2 3 t  ta có: 2 os 2 sin 3 c x x  Ban Toán - 4     2 2 3cos 2 1 os 2cos 3cos 2 0 cos 2( ) 21 3cos ( / ) 2 x c x x x x l x k k Z x t m                      Với 2t  ta có: 2 os 2 sin c x x   2 2cos 2 sin cos 2 1 osx x x c x       22 os cos 2 0 cos 2( ) 21 4cos ( / ) 2 c x x x l x k k Z x t m                    Ví dụ 5: Giải phương trình:   2 24sin 2 6sin 9 3cos 2 0 * cos x x x x     Điều kiện: cos 0x  Lúc đó:   2 2* 4sin 2 6sin 9 3cos2 0x x x           2 2 2 2 4 1 os 2 3 1 os2 9 3cos 2 0 4cos 2 6cos 2 2 0 os2 1 cos 0( )2cos 1 1 1 11 os2 cos ( /2cos 1 2 22 2 2 2 3 3 c x c x x x x c x x lx c x x t mx x k x k k Z                                             Ví dụ 6: Cho   1 2 sinx sin3 sin5 3 5 f x x x   . Giải phương trình:  ' 0f x  Ta có:  ' 0 cos os3 2cos5 0f x x c x x               3 2 2 2 cos os5 os3 cos5 0 2cos3 cos 2 2cos 4 cos 0 4cos 3cos os2 2cos 2 1 cos 0 4cos 3 os2 2cos 2 1 cos 0 x c x c x x x x x x x x c x x x x c x x x                       22 1 os2 3 os2 2cos 2 1 0 cos 0 c x c x x x           Ban Toán - 5 2 1 174cos 2 os2 1 0 os2 8 cos 0 cos 0 x c x c x x x           1 17 os2 os 8 2 1 17 os2 os 8 2 cos 0 2 c x c x k c x c x k x x k                                  Ví dụ 13: Giải phương trình:  8 8 2 17 sin os cos 2 * 16 x c x s x  Ta có:   2 8 8 4 4 4 4sin os sin os 2sin . osx c x x c x x c x      2 2 2 2 2 2 41sin os 2sin . os sin 2 8 x c x x c x x        2 2 4 2 4 1 1 1 sin 2 sin 2 2 8 1 1 sin 2 sin 2 8 x x x x            Do đó:    2 4 2 1 * 16 1 sin 2 sin 2 17 1 sin 2 8 x x x                 4 2 2 2 2sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1( ) 1 1 1 os41 2 2sin 2 2 os4 0 2 1 , 8 x x x l c x x c x x k k Z                      Ví dụ 14: Giải phương trình:  3 5 sin 5cos .sin * 2 2 x x x Nhận xét thấy: os 0 2 cos 1 2 x c x k x        Thay vào  * ta được: 5 sin 5 5sin 2 2 x k k                   , không thỏa mãn k Do os 2 x c không là nghiệm của  * nên: Ban Toán - 6   2 5 * sin . os 5cos .sin . os 2 2 2 2 x x x x c x c  và os 0 2 x c    3 3 3 2 3 1 5 sin 3 sin 2 os .s inx 2 2 3sin 4sin 2sin cos 5cos .s inx os 0 2 3 4sin 2cos 5cos s inx=0 x x c x x x x x x x c x x x                    3 2 2 os 0 2 5cos 4cos 2cos 1 0 sin 0 2 cos 1 cos 1 5cos cos 1 0 sin 0 2 x c x x x x x x x x x                          cos 1 cos 1 2 21 21 cos os 210 1 21 cos os 10 x x x k x k k Z x c x k x c                                 Ví dụ 15: Giải phương trình:    2sin 2 cot tan 2 4cos *x x x x  Điều kiện: os2 0 os2 0 sinx 0 os2 1 c x c x c x         Ta có: cos sin 2 cot tan 2 sinx os2 x x x x c x    os2 .cos sin 2 .s inx s inx. os2 cos s inx. os2 c x x x c x x c x    Lúc đó:   2 cos * 2sin .cos 4cos sinx. os2 x x x x c x        Ban Toán - 7       2 2cos 2cos os2 os2 1 2cos 2 os2 1 os2 1 os2 1 0 ( / )1 1 2cos 2 os2 2 2 2 2 2 2 3 6 x x c x c x x c x c x c x t m x c x x k x k k Z x k x k                                         Ví dụ 16: Giải phương trình:  2 6 8 2cos 1 3cos * 5 5 x x   Ta có:   2 12 4 * 1 os 1 3 2cos 1 5 5 x x c                 3 2 4 4 4 2 4cos 3cos 3 2cos 1 5 5 5 x x x          Đặt   4 cos 1 5 x t t  . Ta có phương trình:    3 2 3 2 2 4 3 2 6 3 4 6 3 5 0 1 4 2 5 0 1 1 21 1 21 ( ) 4 4 t t t t t t t t t t t t l                       Vậy:    4 4 5 cos 1 2 5 5 2 x x k k x k Z         4 1 21 cos os 5 4 x c     với  0 2     4 2 5 5 5 , 4 2 x l l x l Z              Ví dụ 17: Giải phương trình:  3tan t anx 1 * 4 x         Đặt 4 4 t x x t        Ban Toán - 8  * trở thành: 3 1 tan tan tan 1 1 4 1 tan t t t t            với cos 0 tan 1t t          3 3 4 3 2 2 2 tan tan 1 tan tan tan 2 tan tan tan tan 2 0 tan tan 1 tan 2 tan 2 0 tan 0 tan 1 4 t t t t t t t t t t t t t t k t k Z t t k                              Vậy  * 4 x k     hay ,x k k Z  . Ví dụ 18: Giải phương trình:   4 4 4sin 2 os 2 os 4 * tan tan 4 4 x c x c x x x                  Điều kiện: sin os 0 sin 2 0 4 4 2 sin os 0 sin 2 0 4 4 2 os2 0 sin 2 1 x c x x x c x x c x x                                                               Do: 1 t anx 1 t anx tan tan . 1 4 4 1 t anx 1 t anx x x                    Khi os2 0c x  thì:   4 4 4* sin 2 os 2 os 4x c x c x     2 2 4 2 4 2 4 4 2 2 2 2 1 2sin 2 cos 2 os 4 1 1 sin 4 os 4 2 1 1 1 os 4 os 4 2 2cos 2 os 4 1 0 os 4 1 1 sin 4 11 os 4 ( ) 2 sin 4 0 2sin 2 cos 2 0 x x c x x c x c x c x x c x c x x c x l x x x                             sin 2 0x  (do os2 0c x  ) Ban Toán - 9 2 , , . 2 x k k Z k x k Z         BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002) Tìm các nghiệm trên  0;2 của phương trình:   os3 sin3 5 sinx 3 os2 * 1 2sin 2 c x x c x x         Bài 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005) Giải phương trình:  2 2os 3 . os2 os 0 *c x c x c x  Bài 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005) Giải phương trình:  4 4 3 os sin os sin 3 0 * 4 4 2 c x x c x x                   Bài 4: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2004) Giải phương trình:   25sin 2 3 1 sinx (*)x tg x    Hướng dẫn giải Bài 1. Điều kiện: 1 2 2 sin x   Ta có:    3 3sin3 os3 3sin 4sin 4cos 3cosx c x x x x x            3 3 2 23 cos sinx 4 cos sin x cos sinx 3 4 os cos sin sinx x x c x x x x               cos sinx 1 2sin 2x x   Lúc đó:      2* 5 sinx cos sinx 3 2cos 1x x        (do 1 2 2 sin x   ) 2 1 cos 2cos 5cos 2 0 22 3 cos 2( ) x x x x k x l               (nhận do 3 1 sin 2 2 2 x     ) Do  0;2x  nên 5 3 3 x x      . Bài 2. Ta có:     1 os6 1 os2 * . os2 0 os6 . os2 1 0 ** 2 2 c x c x c x c x c x         Cách 1:    3 4 2** 4cos 2 3cos2 os2x-1=0 4cos 2 3cos 2 1 0x x c x x        2 2 os 2 1 sin 2 01 2os 2 ( ) 4 c x k x x k Z c x l              Ban Toán - 10 Cách 2:     1 ** os8 os4 1 0 os8 os4 2 0 2 c x c x c x c x         2 os4 0 2cos 4 os4 3 0 4 23 2os4 ( ) 2 c x k x c x x k x k Z c x l                  Cách 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực:   os6 os2 1 ** os6 os2 1 c x c x c x c x        Cách 4: os8 os4 2 0 os8 os4 2 os8 os4 1 os4 1c x c x c x c x c x c x c x           . Bài 3. Ta có:     2 2 2 2 2 1 3* sin os 2sin os sin 4 sin 2 0 2 2 2 x c x xc x x x                  2 1 1 3 1 sin 2 os4 sin 2 0 2 2 2 x c x x        2 2 1 1 1 1 sin 2 1 2sin 2 sin 2 0 2 2 2 2 x x x       2 sin 2 1 sin 2 sin 2 2 0 2 2 sin 2 2( ) 2 4 x x x x k x k k Z x l                    . Bài 4. Điều kiện: cos 0 sinx 1x     Khi đó:     2 2 sin * 5sin 2 3 1 sinx os x x c x       2 2 sin 5sin 2 3 1 sinx 1 sin x x x      23sin 5sin 2 1 sinx x x    22sin 3sin 2 0x x    1 sinx 2 s inx=-2(l)       5 2 2 6 6 x k x k k Z          