Bài giảng môn Toán học lớp 11 - Bài 2: Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng

Mặt cầu (S) và mp(P) có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới mp(P) bằng bán kính của nó. mp(P) vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.* Đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi và chỉ khi có một Mặt cầu (S) và đường thẳng a có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đường thẳng a bằng bán Đường thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.kính của mặt cầu.trong các điều kiện sau:một trong các điều kiện sau:Kiểm tra kiến thức cũP3. Các tính chất của tiếp tuyếnĐịnh lý 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A.CM: a  A; a  OA  Có vô số tiếp tuyến với (S) tại A Các tiếp tuyến này nằm trên mp(P):mp(P)  A, (P)  OAĐ2.Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳngAOa mp(P) là tiếp diện của (S) tại A. a là tiếp tuyến của S(O;R) tại A* Đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) khi và chỉ khi có một Mặt cầu (S) và đường thẳng a có một điểm chung duy nhất. Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới đường thẳng a bằng bán Đường thẳng a vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.kính của mặt cầu.trong các điều kiện sau: Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và đi qua điểm tiếp xúc.Định lý 2: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(0;R) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu (S). Độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau.Khi (P) thay đổi vẫn đi qua AO thì có vô số tiếp tuyến với (S) kẻ từ A.XétAMO:AM2 = AO2 - OM2 = d2 - R2Cm: Đặt OA = d  d > RGọi (P) là mặt phẳng tuỳ ý đi qua AO; mp(P)  S(O;R) = C(O;R).Vì A nằm ngoài (S) nên A nằm ngoài (C).Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AM và AM’ với (C), M’M(C)PA0Vậy các đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau.đó là 2 tiếp tuyến của (S).Ví dụ. Cho mặt cầu S(O ; a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại điểm B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CDa) Tính AB.b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.Giải:a) Ta có AB tiếp xúc với mặt cầu tại B nên ABOB:b) Gọi H là hình chiếu của O lên CD ta có:Vậy khoảng cách từ O đến CD là HBAODCOC=OD=a, nên tam giác OCD cân tại O, do đó H là trung điểm của CD. CHÀO MỪNG QUí THẦY Cễ ĐẾN DỰ GIỜ1/23ABMPIOBài 5 . Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M là một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt tại mp(P) tại A và B. Chứng minh rằngVì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại I nên AI và BI là hai tiếp tuyến với mặt cầu. Giải:Vì AM và AI là hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ điểm A nên:AM = AI. Tương tự ta có BM = BI. Hai tam giác AMB và AIB bằng nhau (c, c, c).(S)  (P) = (S)  (P) = {H}(S)  (P) = C(H; r)PRHM0PHM0RPM0RHd > Rd = Rd R d = R d < R( S) ∩  = ỉ ( S ) ∩  = { H } ( S ) ∩  = { A, B}Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng O AOAOAPOAVị trí điểm ASố lượng tiếp tuyếnHình ảnhTiếp tuyến của đường tròn (C)1A (C)2A ngoài (C)Vô sốA (S)Vô sốA ngoài (S)Tiếp tuyến của mặt cầu (S)Xin chân thành cảm ơnTrần Thanh Hồng