Bài giảng lớp 10 môn Đại số - Bài tập, bất đẳng thức (Tiếp)

BÀI TẬP, BẤT ĐẲNG THỨCGV: Trương Mạnh Hùng Lớp: 10A1TRƯỜNG THPT BÌNH LIÊU Những vấn đề chính Dùng định nghĩa Dùng phép biến đổi tương đương Dùng bđt Cauchy(Cô - si) Ứng dụng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất1432 Dùng định nghĩa - KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A - B > 0 . - L­u ý : A2 ≥ 0 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y ra khi A = 0 .Ví dụ 1:Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z)Giải: Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 ≥ 0 víi mäi x (y - 1)2 ≥ 0 víi mäi y (z - 1)2 ≥ 0 víi mäi z => H ≥ 0 víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) víi mäi x, y, z . DÊu b»ng x¶y ra x = y = z = 1. Dùng định nghĩaBài tập1. Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc :Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) 2. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc :   Dùng định nghĩaBài tậpXÐt hiÖu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) = ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 Do ( )2 ≥ 0 víi mäi a, b Do( )2 ≥ 0 víi mäi a, c Do ( )2 ≥ 0 víi mäi a, d Do ( )2 ≥ 0 víi mäi a, e => H ≥ 0 víi mäi a, b, c, d, e DÊu '' = '' x¶y ra b = c = d = e = Dùng định nghĩaBài tậpXÐt hiÖu : H = = = . Víi mäi a, b .  DÊu '' = '' x¶y ra khi a = b . Dùng biến đổi tương đươngMột số đẳng thức thường dùng- KiÕn thøc : BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t­¬ng ®­¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®­îc chøng minh lµ ®óng .(A+B)2=A2+2AB+B2(A-B)2=A2-2AB+B2(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 Dùng biến đổi tương đươngChó ý c¸c TÝnh chÊt sau: x2  0 , xRx2+y2+z2 0,x,y, z R. DÊu ‘=‘ xảy ra khi x=y=z=0. x.y> 0  x vµ y cïng dÊu. Dùng biến đổi tương đươngVí dụ 1. Cho a> b>0. CMR: 1/a 0 (b-a)/ab>0 (1’)V× a>b>0b-a0. Do ®ã (1’) ®óng . VËy (1) ®óng. Dùng biến đổi tương đươngBài tập Dùng BĐT CauchyB§T C«siCho 2 sè kh«ng ©mB§T C«siCho 3 sè kh«ng ©mDÊu ‘=‘ xảy ra khi a=bDÊu ‘=‘ xảy ra khi a=b=c Dùng BĐT CauchyVí dụ 2 Cho a,b d­¬ng, CMR: a) a/b+b/a 2. b) (a+b)(ab+1) 4abÁp dụng bđt cô- si cho hai số không âm a/b và b/a ta có Dùng BĐT CauchyVí dụ 2b. CM: (a+b)(ab+1) 4abÁp dông B§T C«si cho 2 sè kh«ng ©m, ta cã:Nh©n theo vÕ (1) vµ (2), ta ®­îc: (a+b)(ab+1)4ab (®pcm).DÊu ‘=‘ x¶y ra  {a=b vµ ab=1} a=b=1 Dùng BĐT CauchyBài tập Dùng BĐT CauchyBất đẳng thức cô - siDấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Hệ quả Ứng dụng tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhấtKhái niệmXét hàm số y = f(x), với tập xác định D.a. M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) b. M là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) Ứng dụng tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhấtVí dụ 3Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với x>0.Do x>0 nên ta có:Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số với x>0 là Ứng dụng tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhấtBài tậpTìm giá trị nhỏ nhất của hàm sốVới 0 < x <1.Ta cóĐẳng thức xảy ra khi chi khiVậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4 khi Củng cố