Một số cách giải các dạng Toán hình học giải tích

Một số cách giải các bài toán trong HHGT GV: Nguyễn Thanh Trung Page 1 2/2/2010 MỘT SỐ CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN HHGT I.Toán tìm tọa độ vectơ,cùng phương,đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích tứ diện a) Tìm tọa độ vectơ thỏa diều kiện cho trước  B A B A B AAB (x x ,y y ,z z )           2 2 2B A B A B AAB AB x x y y z z         1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b            1 1 2 2 3 3a.b a .b a .b a .b      31 2 1 2 3 aa a a / /b a k.b a b 0 b b b                 1 1 2 2 3 3a b a.b 0 a .b a .b a .b 0            2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a [a,b] , , b b b b b b          b) M là trung điểm AB : A B A B A B x +x y +y z +z M , , 2 2 2       c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC : A B C A B C A B C x +x +x y +y +y z +z +z G ; ; 3 3 3       d) Chứng minh 2 vectơ cùng phương,4 điểm không đồng phẳng Chứng minh ba điểm A , B, C thẳng hàng Cách giải: Chứng minh hai vectơ ,AB AC   cùng phương.  [  AC,AB ] ≠ 0  Chứng minh 4 điểm A, B ,C , D không đồng phẳng. Cách giải 1: Ba vectơ , ,AB AC AD    đồng phẳng  , . 0AB AC AD       Ba vectơ , ,AB AC AD    không đồng phẳng  ,AC . 0AB AD       Cách giải 2: Nếu ta đã có phương trình mp qua ba điểm (ví dụ (ABC) thì ta thay toạ độ D vào pt mp(ABC) ,nếu D mp(ABC) thì 4 điểm không đồng phẳng. e) Chứng minh A,B,C là 3 đỉnh của tam giác ABC  [  AC,AB ] ≠ 0  f)Tìm toạ độ đỉnh D của hbh ABCD ABCD laø hbh  DCAB  Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD Một số cách giải các bài toán trong HHGT GV: Nguyễn Thanh Trung Page 2 2/2/2010 1V S .AHBCD3   3VAH SBCD  g)Tính diện tích tam giác , diện tích hình bình hành, thể tích tứ diện, thể tích hình hộp Cách giải: Dùng công thức 1 , 2ABC S AB AC       ; bhhS  [AB,AC]      1 , . 6ABCD V AB AC AD       ; . ' ' ' ' , .       ABCD A B C DV AB AC AD ; II.Toán liên quan mặt cầu a) Xác định tâm, tính bán kính của mặt cầu,phương trình mặt cầu. Cách giải: + Nếu mặt cầu (S) có dạng : (x – a )2 + (y – b )2 +( z – c )2 = R2 (1) Thì tâm là I( a , b , c ) ; bán kính là R + Nếu mặt cầu (S)có dạng: x2 + y2 +z2- 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2) Thì tâm I(a , b , c ); Bán kính 2 2 2 0    R a b c d + Đôi khi ta viết dạng: x2 + y2 +z2+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2) Thì tâm là I(-A , -B ,-C); Bán kính 2 2 2 0    R A B C D b)Lập phương trình mặt cầu Cách giải1 + Tìm tâm I(a,b.c) và tính bán kính R + Phương trình mặt cầu là (S):(x – a )2 + (y – b )2 +( z – c )2 = R2 Cách giải 2 + Gọi (S) có dạng x2 + y2 +z2+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (*) + Từ giả thiết lập một hê gồm 4 phương trình 4 ẩn A ,B , C , D + Giải hệ tìm A ,B ,C ,D . Thay vào (*) ta được kết quả. c) Viết pt mp tiếp diện, vị trí tương đối mp và mặt cầu. Lập phương trình mp tiếp diện của mặt cầu (S). Cách giải + Tìm toạ độ tâm I (a,b,c) và tính bán kinh R của (S) + Viết phương trình tiếp diện (P) dạng : Ax + By + Cz + D = 0 (*) + Dùng điều kiện :(P) tiếp xúc (S) ( , ) d I P R + Giải tìm các hệ số chưa có . Thay vào (*). Xác định vị trí tưong đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) Cách giải: + Tìm tâm I(a,b,c) và bán kính R của (S) + Tính d(I, (P) ) Nếu d > R : (P) không cắt (S) + Nếu d = R : (P) tiếp xúc (S) .Mp (P) gọi là mp tiếp diện tại hình chiếu của tâm xuống mp(P). + Nếu d < R : (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn có pt PTMC(S) PTMP(P)    d) Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu Cách giải + Tìm tâm I(a,b,c) và bán kính R của mặt cầu (S) + Tâm H của đường tròn là hình chiếu của I trên (P). Một số cách giải các bài toán trong HHGT GV: Nguyễn Thanh Trung Page 3 2/2/2010 + Bán kính đường tròn là r = 2 2R IH Lúc đó phương trình đường tròn là : 2 2 2 2 2 2 (S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0 (P) : Ax By Cz D 0 (A B C 0)                 III.Toán tìm tọa độ vectơ,cùng phương,đồng phẳng,diện tích tam giác,thể tích tứ diện a)Tìm tọa độ vectơ thỏa diều kiện cho trước Cách giải: Dùng công thức tính tọa độ :u ma nb pc       Gọi ( , )u x y  . Từ giả thiết suy ra 2 phương trình 2 ẩn số x, y . Giải tìm x, y. b) Chứng minh 2 vectơ cùng phương,4 điểm không đồng phẳng Chứng minh ba điểm A , B, C thẳng hàng Cách giải: Chứng minh hai vectơ ,AB AC   cùng phương. Chứng minh 4 điểm A, B ,C , D không đồng phẳng. Cách giải 1: Ba vectơ , ,AB AC AD    đồng phẳng  , . 0AB AC AD       Ba vectơ , ,AB AC AD    không đồng phẳng  ,AC . 0AB AD       Cách giải 2: Nếu ta đã có phương trình mp qua ba điểm (ví dụ (ABC) thì ta thay toạ độ D vào pt mp(ABC) ,nếu D mp(ABC) thì 4 điểm không đồng phẳng. c) Tính diện tích tam giác , thể tích tứ diện, thể tích hình hộp Cách giải: Dùng công thức 1 , 2ABC S AB AC       ; 1 , . 6ABCD V AB AC AD       . ' ' ' ' , .       ABCD A B C DV AB AC AD VI.Toán tìm phương trình mặt phẳng ,vị trí tương đối hai mp a) Lập phương trình mặt phẳng (P) Cách giải: Tìm một điểm M(x0 , y0 , z0 ) và một VTPT  , ,n A B C  của (P)hoặc Tìm một điểm M(x0 , y0 , z0 ) và một cặp VTCP AB,AC   n [AB,AC] (A;B;C)    + Phương trình của (P) là A(x – x0) + B( y – y0) + C( z – z0) = 0 Hay Ax +By + Cz + D = 0 thay toạ độ M(x0 , y0 , z0 ) vào pt ta có D . Để tìm VTPT của (P) ta có thể dùng một trong các trường hợp sau: + Mặt phẳng (P) có cặp VTCP là ,a b   thì VTPT của (P) là ,P        n a b + Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì có VTPT bằng nhau : P  n = Q  n + Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau thì các VTPT của mp này là VTCP của mp kia : P  n = Q  a + Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) thì VTPT của (P) là VTCP của đường thẳng (d) : P  n = D  a Mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C. Một số cách giải các bài toán trong HHGT GV: Nguyễn Thanh Trung Page 4 2/2/2010  P quaA(hayB,C) (P) VTPT n [AB,AC]       Mặt phẳng (P) trung trực đoạn AB : M là trung điểm AB  P qua M (P) VTPT n AB     Mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C và  d  P d qua M (P) VTPT n a ((P) d)       Mặt phẳng (P) qua M và // : Ax + By + Cz + D = 0  P Q qua M (P) VTPT n n ((P) / /(Q)      Mặt phẳng (P) chứa d và // d’         / / d P / Pd P d d Ñieåm M choïn ñieåm M treân d Mp(P)chöùa d neân a a             Mp(P)song song d neân a a Vtpt n a ,a                         Mặt phẳng (P) qua 3 điểm M;N và  (Q)  P Q P P [ MN, ]Q  Mp(P)qua M,N neân MN a   Mp(P) mp (Q) neân n a       qua (P) VTPT n                      M (hay N) n Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua M Một số cách giải các bài toán trong HHGT GV: Nguyễn Thanh Trung Page 5 2/2/2010  d P P P P[ , ] Mp(P)chöùa d neân a a Mp(P)ñi quaMvaø A neân AM a qua (P) VTPT n a                A AM b) Phương trình đoạn chắn + Mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) có pt là : 1x y z a b c    + Trục 0x có VTCP là i  , i  cũng là VTPT của mp(yoz) + Pt (Oxy) là z = 0 ; Pt (Oxz) là y = 0 ; pt(Oyz) là x = 0. + Phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của hai mặt phẳng cắt nhau :Chùm mp           2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P : A x B y C z D 0,A +B +C 0 Q : A x B y C z D 0,A +B +C 0 m Ax By Cz D n A’x B’y C’z D’ 0 , m n 0                         c) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P) : Ax +By +Cz +D = 0 , (Q) : A’x + B’y +C’z +D’= 0 Cách giải: + (P) cắt (Q) ' ' ' ' ' ' A B A C B C A B A C B C       (VTPT (P), (Q) không cùng phương) ( ) //( ) ' ' ' ' ( ) ( ) ' ' ' ' A B C DP Q A B C D A B C DP Q A B C D            V Tìm phương trình đường thẳng : a) Viết phương trình đường thẳng Cách giải 1 + Tìm một điểm M(x0 , y0 , x0 ) và một VTCP  , ,u a b c  + Phương trình tham số là : 0 0 0 x x at y y bt z z ct         + Phương trình chính tắc là : 0 0 0x x y y z z a b c      Một số cách giải các bài toán trong HHGT GV: Nguyễn Thanh Trung Page 6 2/2/2010 + Phương trình tổng quát là : 0 0 0 0         x x y y a b x x z z a c Cách giải 2: + Tìm giao của hai mặt phẳng phân biệt (P) : 1 1 1 1A x B y C z D 0    2 2 2 1 1 1A B C 0   (Q): 2 2 2 2A x B y C z D 0    2 2 2 2 2 2A B C 0   + Phương trình đường thẳng cần tìm là : 1 1 1 1 2 2 2 2 A x B y C z D 0 A x B y C z D 0          b) Viết phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) trên mp(P) Cách giải: + Lập phương trình mp(Q) chứa (d) và vuông góc (P). + Phương trình của (d’) là PTMP(P) PTMP(Q)    c) Tìm toạ độ M’ hình chiếu của M trên mp(P) Cách giải + Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc mp(P) + Giải hệ phương trình pt(d) pt(P)    ta được toạ độ điểm M’ d) Tìm toạ độ M’ hình chiếu của M trên đường thẳng ( d ). Cách giải + Lập phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với (P) + Toạ độ của M’ là nghiệm của hệ pt(d) pt(P)    e) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng M qua mp(P) Ccáh giải + Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên (P) + M’ đối xứng với M qua (P)  H là trung điểm của MM’  M' H M M' H M x =2x -x y =2y -y    + M’(xm,ym) là điểm phải tìm f) Tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua đ/ thẳng (d). Cách giải + Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên (d + M’ đối xứng M qua (d)  H là trung điểm MM’  ' ' 2 2 M H M M H M x x x y y y      Một số cách giải các bài toán trong HHGT GV: Nguyễn Thanh Trung Page 7 2/2/2010 g) Viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm M và vuông góc với 2 đường thẳng( 1d ) và ( 2d ) Cách giải: + Tìm VTCP 1 2d d ,   a a của ( 1d ) và ( 2d ) + (d ) là đường thẳng đi qua M và có VTCP là : 1 2d d d ,       a a a h) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt cả 2 đường thẳng (d’), (d”) Cách giải + Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và chứa (d’) + Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa (d’’) + (d) có phương trình tổng quát là (d) : PTMP(P) PTMP(Q)    i) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d1) cắt 2 đường thẳng(d2) và (d3) Cách giải: + Lập phương trình mp(P) song song (d1) và chứa (d2) + Lập phương trình mp(Q) song song (d1) và chứa (d3) + Đường thẳng (d) có pt tổng quát là PTMP(P) PTMP(Q)    k) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau.(d) và (d’) Cách giải 1: + Tìm các VTCP của (d) ,(d’) : , ' , 'u u n u u          + Lập pt mp(P) chứa (d) và có cặp VTCP là   ; un + Lập pt mp (Q) chứa (d’) và có cặp VTCP là   , u'n + Đường vuông góc chung có pt tổng quát là : PTMP(P) PTMP(Q)    Cách giải 2: + Tìm các VTCP của (d) ,(d’) : , 'u u   + Viết pt tham số của (d) , (d’) + Gọi M , M’là 2 điểm lần lượt thuộc (d) , (d’). Toạ độ M , M’ tính theo tham số t , t’ + MM’ là đường vuông góc chung MM'.u=0 MM'.u'=0         .Giải hệ tìm t và t’ + Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng MM’ l) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M , vuông góc đường thẳng (d1) và cắt (d2) Cách giải: + Lập phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc (d1) + Lập phương trình mp(Q) đi qua M và chứa (d2). Một số cách giải các bài toán trong HHGT GV: Nguyễn Thanh Trung Page 8 2/2/2010 + Đường thẳng (d) có phương trình là PTMP(P) PTMP(Q)    m) Viết pt đường thẳng (d) đi qua M vuông góc và cắt đường thẳng (d1) Cách giải: + Tìm toạ độ điểm M’ là hình chiếu vuông góc của M trên (d1) + Đường thẳng (d) chính là đường thẳng MM’.