Tuyển tập 300 bất đẳng thức

Tuyển tập 300 Bất Đẳng Thức Hay Nguyễn Việt Anh Ngày 16 tháng 7 năm 2005 1 Từ Các Diễn Đàn Toán Học Trên Thế Giới 1. Posted by StRyKeR Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn x+ y + z = 1. Chứng minh rằng : xny + ynz + znx ≤ n n (n+ 1)n+1 2. Posted by manlio Cho x1, x2, . . . , xn là các sổ thực dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng : (x1 + x2 + . . .+ xn + 1) 2 ≥ 4(x21 + x22 + ....+ x2n) 3. Posted by manlio Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực dương. Chứng minh rằng : 1 x1 + 2 x1 + x2 + . . .+ n x1 + x2 + . . .+ xn ≤ ( 1 x1 + 1 x2 + . . .+ 1 xn ) 4. Posted by hxtung Tìm hằng số k, k′ tốt nhất sao cho k ≤ v v + w + w w + x + x x+ y + y y + z + z z + v ≤ k′ với mọi số thực v, w, x, y, z 5. Posted by pcalin Chứng minh với x, y, z > 0 bất đẳng thức sau đúng:√ (x+ y + z) (1 x + 1 y + 1 z ) ≥ 1 + √ 1 + √ (x2 + y2 + z2) ( 1 x2 + 1 y2 + 1 z2 ) 6. Posted by Mitzah Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi tam giác ABC bc cosA+ ca cosB + ab cosC a sinA+ b sinB + c sinC ≥ 2r 7. Posted by georg Chứng minh rằng (1 2 )n−1 ≤ x2n + (1− x2)n ≤ 1 trong đó n > 1 2 8. Posted by Maverick Tam giác ABC thỏa mãn sinA sinB sinC = 1 3 . Chứng minh khi đó ta có : p3 + Sr + abc > 4R2p 9. Posted by Lagrangia Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thỏa mãn a+ c = 2b và đặt A = ax+ by + cz az + by + cx B = ay + bz + cx ax+ bz + cy C = az + by + cx ay + bz + cx Chứng minh rằng maxA,B,C ≥ 1 10. Posted by vineet Chứng minh bất đẳng thức sau cho a, b, c > 0 : (2a+ b+ c)2 2a2 + (b+ c)2 + (a+ 2b+ c)2 2b2 + (c+ a)2 + (a+ b+ 2c)2 2c2 + (a+ b)2 ≤ 8 11. Posted by treegoner Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:( tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 ) ( √ cothA cothB + √ cothB cothC + √ cothC cothA) ≤ 3 12. Posted by DusT Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 2R r ≤ E1 E2 trong đó E1 = 1 sinA + 1 sinB + 1 sinC E2 = sinA+ sinB + sinC 3 13. Posted by Reyes Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng√ a3 a3 + (b+ c)3 + √ b3 b3 + (c+ a)3 + √ c3 c3 + (a+ b)3 ≤ 1 14. Posted by Maverick Cho a, b, c, d > 0 ,đặt E = 4 √ abcd. Chứng minh rằng a+ d2 b + c+ a2 d + b+ c2 a + d+ b2 c ≥ 4(1 + E) 15. Posted by Alexander Khrabrov Cho 0 ≤ bk ≤ 1 với mọi k và a1 ≥ a2 ≥ . . . an ≥ an+1 = 0 Chứng minh rằng n∑ k=1 akbk ≤ [ Pn i=1 bi ] +1∑ k=1 ak 16. Posted by Lagrangia Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng cosA+ cosB + cosC < sinA+ sinB + sinC 17. Posted by galois Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có bất đẳng thức cos (A−B 2 ) + cos (B − C 2 ) + cos (C − A 2 ) ≥ sin (3A 2 ) + sin (3B 2 ) + sin (3C 2 ) 18. Posted by Valentin Vornicu Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 9. Chứng minh rằng 2(a+ b+ c)− abc ≤ 10 19. Posted by Michael Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng a2 b2 + 1 + b2 c2 + 1 + c2 a2 + 1 ≥ 3 2 4 20. Posted by hxtung Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực nằm trong [0, 1 2 ]. Chứng minh rằng( 1 x1 − 1 )( 1 x1 − 1 ) . . . ( 1 x1 − 1 ) ≥ ( n x1 + x2 + . . .+ xn − 1 )n 21. Posted by hxtung Cho a, b, c là các số thực và n là số tự nhiên. Chứng minh rằng 1 a+ b + 1 a+ 2b + · · ·+ 1 a+ nb < n√ a(a+ b) 22. Posted by hxtung Chứng minh rằng với các số thực dương x1x2 . . . xn thỏa mãn x1x2 . . . xn = 1 bất đẳng thức sau xảy ra 1 n− 1 + x1 + 1 n− 1 + x2 + · · ·+ 1 n− 1 + xn ≤ 1 23. Posted by Mitzah Chứng minh rằng √ 2n+ 1− √ 2n+ √ 2n− 1− · · · − √ 2 + 1 > √ 2n+ 1 2 24. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực nằm trong [−1, 1]. Chứng minh rằng 1 (1− x)(1− y)(1− z) + 1 (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≥ 2 25. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ y + z = 3. Chứng minh rằng √ x+ √ y + √ z ≥ xy + yz + zx 26. Posted by keira-khtn Chứng minh rằng 2x2 2x2 + (y + z)2 + 2y2 2y2 + (z + x)2 + 2z2 2z2 + (x+ y)2 ≤ 1 5 27. Posted by georg Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng mambmc ≥ rarbrc 28. Posted by alekk Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y ta có bất đẳng thức sau xy + yx > 1 29. Posted by billzhao Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sin 2A+ sin 2B + sin 2C ≤ sinA+ sinB + sinC 30. Posted by hxtung Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ y + z + 2 = xyz. Chứng minh rằng 5(x+ y + z) + 18 ≥ 8(√xy +√yz +√zx) 31. Posted by Mitzah Chứng minh bất dẳng thức sau cho mọi số dương a, b, c a a+ 2b+ c + b b+ 2c+ a + c c+ 2a+ b ≤ 1 32. Posted by Lagrangia Cho x1, x2, x3, x4, x5 > 0. Chứng minh rằng (x1 + x2 + x3 + x4 + x5) 2 ≥ 4(x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1) 33. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 3(a+ b+ c) ≥ ab+ bc+ ca+ 2 Chứng minh rằng a3 + bc 2 + b3 + ca 3 + c3 + ab 5 ≥ √ abc( √ a+ √ b+ √ c) 3 6 34. Posted by hxtung Với các số thực không âm a, b, c, d ta đặt S = a+ b+ c+ d T = ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd R = abc+ abd+ acd+ bcd H = abcd Chứng minh rằng S 4 ≥ √ T 6 ≥ 3 √ R 4 ≥ 4 √ H 35. Posted by Maverick Chứng minh trong mọi tam giác ta có bất đẳng thức a(hb + hc) + b(hc + ha) + c(ha + hb) ≥ 12S 36. Posted by Lagrangia Cho a, b, c, d là các cạnh của một tứ giác lồi. Chứng minh rằng 3 √ S ≤ p+ 4 √ abcd 37. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a3 + b3 c + b3 + c3 a + c3 + a3 b ≥ 2 3 ( √ ab+ √ bc+ √ ca)2 38. Posted by hxtung Cho các số thực x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn và thỏa mãn (x1) k + (x2) k + · · ·+ (xn)k ≥ 0 với mọi số nguyên dương k. Đặt d = max |x1|, . . . , |xn| Chứng minh rằng x1 = d và (x− x1)(x− x2) · · · (x− xn) ≤ xn − dn với mọi số thực x ≥ d 7 39. Posted by hxtung Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1. Chứng minh rằng abc+ bcd+ cda+ dab ≤ 1 + 176abcd 27 40. Posted by keira-khtn Với x1, x2, . . . , xn và y1, y2, . . . , yn là các số thực dương. Chứng minh rằng∑ min (xixj, yiyj) ≤ ∑ min (xiyj, xjyi) 41. Posted by hxtung Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+ b+ c ≥ 6. Chứng minh rằng√ a2 + 1 b+ c + √ b2 + 1 c+ a + √ c2 + 1 a+ b ≥ 3 √ 17 2 42. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức√ (a2b+ b2c+ c2a)(ab2 + bc2 + ca2) ≥ abc+ 3 √ (a3 + abc)(b3 + abc)(c3 + abc) 43. Posted by Myth Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng√ x+ 3 √ y + 4 √ z ≥ 32√xyz 44. Posted by Maverick Cho a, b > 0.Đặt A = ( √ a+ √ b)2 B = a+ 3 √ a2b+ 3 √ ab2 + b 4 C = a+ √ ab+ b 3 Chứng minh rằng A ≤ B ≤ C 8 45. Posted by hxtung Cho x, y, z là cá số thực dương. Chứng minh rằng 3(x2 − x+ 1)(y2 − y + 1)(z2 − z + 1) ≥ (xyz)2 + xyz + 1 46. Posted by hxtung Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi số thực a, b, c (a+ b− c)2(b+ c− a)2(c+ a− b)2 ≥ (a2 + b2 − c2)(b2 + c2 − a2)(c2 + a2 − b2) 47. Posted by Lagrangia Cho tam giác ABC thỏa mãn  ≤ B̂ ≤ Ĉ ≤ pi 2 và B̂ ≥ pi 3 . Chứng minh rằng mb ≥ ha 48. Posted by alekk Cho a, b, c là các số thực nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≤ a2b+ b2c+ c2a+ 1 49. Posted by alekk Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng √ b+ c( √ a+ b+ √ a+ c) ≥ b+ c 2 + √ ab+ √ ac 50. Posted by Arne Chứng minh bất đẳng thức cosec pi 2 + cosec pi 4 + · · ·+ cosec pi 2n−1 ≤ cosec pi 2n luôn đúng với mọi số nguyên dương n. Trong đó cosec(x) = 1 sinx với x 6= kpi 51. Posted by Lagrangia Cho a, b, c > 0 và n là số tự nhiên lớn hơn 2. Chứng minh rằng n− 1 2 (an + bn) + cn ≥ nabc ( a+ b 2 )n−3 9 52. Posted by Maverick Cho các số thự dương x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng x1 x1x2 x2 · · ·xnxn ≥ (x1 + x2 + · · ·+ xn n )x1+x2+···+xn 53. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng a c + b a + c b ≥ a+ b+ c 54. Posted by hxtung Cho dãy số x1, x2, . . . , xn thỏa mãn x1 + x2 + · · ·+ xk ≤ √ k với mọi số k nguyên dương nhỏ bằng n. Chứng minh rằng x21 + x 2 2 + · · ·+ x2n ≥ 1 4 ( 1 + 1 2 + · · ·+ 1 n ) 55. Posted by Maverick Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+ bc+ ca = 1. Chứng minh rằng a√ 1 + a2 + b√ 1 + b2 + c√ 1 + c2 ≤ 3 2 56. Posted by Maverick Cho các số dương a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn. Chứng minh rằng( a1 + a2 + · · ·+ an b1 + b2 + · · ·+ bn )b1+b2+···+bn ≥ ( a1 b1 )b1 (a2 b2 )b2 · · · ( an bn )bn 57. Posted by alekk Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x3 x2 + y2 + y3 y2 + z2 + z3 z2 + x2 ≥ x+ y + z 2 10 58. Posted by Cho các số a1, a2, . . . , an−1 > 0 thỏa mãn a1 + a2 + · · ·+ an = 1 và b1, b2, . . . , bn là các số thực. Chứng minh bất đẳng thức b21 + b22 a1 + · · ·+ b 2 n an−1 ≥ 2b1(b2 + · · ·+ bn) 59. Posted by manlio Chứng minh rằng với các số thực dương a1, a2, . . . , an ta có bất đẳng thức( 1 + a21 a2 )( 1 + a22 a3 ) · · · ( 1 + an1 a1 ) ≥ (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an) 60. Posted by Moubinool Chứng minh rằng a3 x + b3 y + c3 z ≥ (a+ b+ c) 3 3(x+ y + z) với mọi số thực dương a, b, c, x, y, z 61. Posted by cezar lupu Cho hàm số f : R→ R thỏa mãn f(x) + f(y) ≤ 2− |x− y| với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng f(x) ≤ 1 với mọi số thực x. 62. Posted by hxtung Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực nằm trong khoảng ( 0, pi 2 ) sao cho tan x1 + tanx2 + · · ·+ tan xn ≤ n Chứng minh rằng sin x1 sin x2 · · · sin xn ≤ 1√ 2n 63. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 1 + ab2 c3 + 1 + bc2 a3 + 1 + ca2 b3 ≥ 18 a3 + b3 + c3 11 64. Posted by Maverick Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0. Chứng minh rằng a2 − b2 c + b2 − c2 a + c2 − a2 b ≥ 3a− 4b+ c 65. Posted by Maverick Cho x, y, z ≥ 1. Chứng minh rằng xx 2+2yzyy 2+2zxzz 2+2xy ≥ (xyz)xy+yz+zx 66. Posted by Maverick Cho các số thực a1, a2, · · · , an nằm trong khoảng ( 0, 1 2 ) và thỏa a1 + a2 + · · ·+ an = 1 Chứng minh rằng ( 1 a1 − 1 )( 1 a2 − 1 ) · · · ( 1 an − 1 ) ≥ (n2 − 1)n 67. Posted by hxtung Chứng minh rằng với mọi số thực dương a1, a2, · · · , an ta có bất đẳng thức a1 a2 + a3 + a2 a3 + a4 + · · ·+ an a1 + a2 > n 4 68. Posted by Maverick Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab+ bc+ cd+ da = 1. Chứng minh rằng a3 b+ c+ d + b3 a+ c+ d + c3 a+ b+ d + d3 a+ b+ c ≥ 1 3 69. Posted by hxtung Cho tam giác ABC. Đặt x = r R , y = a+ b+ c 2R Chứng minh rằng y ≥ √x( √ 6 + √ 2− x) 12 70. Posted by Maverick Cho x, y, z > 0 thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng x3 (1 + y)(1 + z) + y3 (1 + z)(1 + x) + z3 (1 + x)(1 + y) ≥ 3 4 71. Posted by Arne Cho a1, a2, a3, a4, a5 là các số thực có tổng bình phương bằng 1. Chứng minh rằng min (ai − aj) ≤ 1 10 72. Posted by Lagrangia Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng 1 sin A 2 + 1 sin B 2 + 1 sin C 2 ≥ 2 ( 1 cos A−B 4 + 1 cos B−C 4 + 1 cos C−A 4 ) 73. Posted by Maverick Cho các số thực dương x1, x2, . . . , xn. Chứng minh rằng∑ xixj(x 2 i + x 2 j) ≤ ( ∑ xi) 4 8 74. Posted by hxtung Chứng minh rằng a21 + ( a1 + a2 2 )2 + · · ·+ ( a1 + a2 + · · ·+ an n )2 ≤ 4(a21 + a22 + · · ·+ a2n) 75. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a bc + b ca + c ab ≥ 2 a + 2 b − 2 c 76. Posted byorl Cho k, n là các số nguyên dương thỏa 1 < k ≤ n và x1, x2, . . . , xk là k số nguyên dương có tổng bằng tích 13 (a) Chứng minh rằng xn−11 + x n−1 2 + · · ·+ xn−1n ≥ kn (b) Điều kiện cần và đủ nào của các sốk, n và x1, x2, . . . , xn để xảy ra đẳng thức xn−11 + x n−1 2 + · · ·+ xn−1n = kn 77. Posted by hxtung Cho các số a1, a2, . . . , an và b1, b2, . . . , bn là các số thực dương nằm trong khoảng [1001, 2002]. Giả sử rằng a21 + a 2 2 + · · ·+ a2n = b21 + b22 + · · ·+ b2n Chứng minh rằng a31 b1 + a32 b2 + · · ·+ a 3 n bn ≤ 17 10 (a21 + a 2 2 + · · ·+ a2n) 78. Posted by Maverick Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x x+ √ (x+ y)(x+ z) + y y + √ y + x)(y + z) + z x+ √ (z + x)(z + y) ≤ 1 79. Posted by Charlie Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab + ac + ad + bc + bd + cd = 6. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + 2abcd ≥ 6 80. Posted by Charlie Cho các số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng 9(a2 + bc)(b2 + ca)(c2 + ab) ≤ 8(a3 + b3 + c3)2 81. Posted by hxtung Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng (a) sin A 2 + sin B 2 + sin C 2 ≥ sin 4 3 ( 1 + sin A 2 sin B 2 sin C 2 ) (b) cos A 2 + cos B 2 + cos C 2 ≥ cos 4 √ 3 3 ( 1 + sin A 2 sin B 2 sin C 2 ) 14 82. Posted by orl Dãy số an được định nghĩa như sau ? a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1 ? an+2 + an+1 = 2(an+1 + an) (a) Chứng minh rằng tất cả các phần tử của dãy đều là số chính phương (b) Tìm công thức tường minh cho dãy 83. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 2(a+ b) 3a+ 6b+ 9c + 6(b+ c) 5a+ 2b+ 3c + 3(c+ a) 2a+ 8b+ 6c 84. Posted by Maverick Cho a, b, c ≤ 1 và thỏa mãn 1 a + 1 b + 1 c = 2 Chứng minh rằng √ a+ b+ c ≥ √a− 1 +√b− 1 +√c− 1 85. Posted by Bottema Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 1. Chứng minh rằng a+ b+ c+ 1 abc ≤ 3 + 3 √ 9 86. Posted by manlio Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn 3 √ 3(d+ 1) ≥ a+ b+ c. Chứng minh rằng (b+ cd)2 a + (c+ ad)2 b + (a+ bd)2 c ≥ abc 87. Posted by bugzpodder Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+ y + z = 1. Chứng minh rằng yx2 + zy2 + xz2 ≤ 4 27 15 88. Posted by hxtung Chứng minh rằng 2 ≤ (1− x2)2 + (1− y2)2 + (1− z2)2 ≤ (1 + x)(1 + y)(1 + z) với các số không âm x, y, z có tổng bằng 1 89. Posted by Maverick Cho các số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng x(1− y2)(1− z2) + y(1− z2)(1− x2) + z(1− x2)(1− y2) ≤ 4 √ 3 9 90. Posted by hxtung Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c 1 a(b+ 1) + 1 b(c+ 1) + 1 c(a+ 1) ≤ 3 1 + abc) 91. Posted by Gil Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì y + z x + z + x y + x+ y z ≥ 4 ( x y + z + y z + x + z x+ y ) 92. Posted by hxtung Chứng minh rằng với các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + xyz = 4. Chứng minh rằng x+ y + z ≥ xy + yz + zx 93. Posted by Maverick Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a b + b c + c a ≥ 2ab b2 + ca + 2bc c2 + ab + 2ca a2 + bc 94. Posted by Vialli Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c a2 + bc b+ c + b2 + ca c+ a + c2 + ab a+ b ≥ a+ b+ c 16 95. Posted by Maverick Xác định giá trị của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương x, y, z 2(x3 + y3 + z3) + 3(3k + 1)xyz ≥ (1 + k)(x+ y + z)(xy + yz + zx) 96. Posted by Mitzah Chứng minh rằng với a, b, c ≤ 0 ta có a4 + b4 + c4 + abc(a+ b+ c) ≥ 2 3 (ab+ bc+ ca)2 97. Posted by manlio Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 1 b(a+ b) + 1 c(b+ c) + 1 a(c+ a) ≥ 27 2(a+ b+ c)2 98. Posted by manlio Cho a, b, c ≥ −1. Chứng minh rằng 1 + a2 1 + b+ c2 + 1 + b2 1 + c+ a2 + 1 + c2 1 + a+ b2 ≥ 2 99. Posted by manlio Nếu a, b, c là các số thực dương hãy chứng minh a2 + 2bc b2 + c2 + b2 + 2ca c2 + a2 + c2 + 2ab a2 + b2 ≥ 3 100. Posted by dreammath Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3(a+ √ ab+ 3 √ abc) ≤ ( 8 + 2 √ ab a+ b )( a · a+ b 2 · a+ b+ c 3 ) 101. Posted by Maverick Cho các số thực x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn và y1 ≤ y2 ≤ . . . ≤ yn. Giả sử rằng z1, z2, . . . , zn là một hoán vị của y1, y2, . . . , yn. Chứng minh rằng (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2 ≤ (x1 − z1)2 + (x2 − z2)2 + · · ·+ (xn − zn)2 17 102. Posted by manlio Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng ab+ bc+ ca ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 + 8abc 103. Posted by manlio Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1 và n là số nguyên dương. Chứng minh rằng ( 1 an )( 1 bn )( 1 cn ) ≥ (3n − 1)3 104. Posted by bugzpodder Giả sử rằng a, b, c là các số thực dương và abc = 1. Chứng minh rằng 1 (1 + a)(1 + b) + 1 (1 + b)(1 + c) + 1 (1 + c)(1 + a) ≤ 3 2 105. Posted by Myth Cho a, b, c, A,B,C > 0 và a+ A = b+B = c+ C = k. Chứng minh rằng aB + bC + cA ≤ k2 106. Posted by manlio Chứng minh rằng 1 1 a + 1 b + 1 1 c + 1 d ≤ 11 a+c + 1 b+d trong đó a, b, c, d > 0 107. Posted by manlio Cho ai(i = 1, 2, . . .) là các số thực dương. Gọi p, q, r, s là các số thực dương sao cho pr = qs. Chứng minh rằng( 1 a1 + 1 a2 + · · ·+ 1 ar )p (a1 + a2 + · · ·+ as)q ≥ np+q 108. Posted by manlio Cho các số thực a, b, c nằm trong khoảng ( 0, 1 2 ) và thỏa a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng√ a(1− 2a) + √ b(1− 2b) > √ c(1− 2c) 18 109. Posted by manlio Cho x, y, z là các số thực dương thỏa z = x+ y. Chứng minh rằng (x2 + y2 + z2)3 ≥ 54x2y2z2 110. Posted by manlio Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng xy + yz + zx ≤ 1 4 + 3xyz 111. Posted by Maverick Cho các số thực dương a1, a2, . . . , an có tổng nhỏ bằng 1. Chứng minh rằng nn+1a1a2 · · · an(1− a1 − a2 − ...− an) ≤ (1− a1)(1− a2) · · · (1− an)(a1 + a2 + · · ·+ an) 112. Posted by manlio Cho 0 < A1 < 1 và ak+1 = a 2 k với k = 1, 2, . . .. Chứng minh rằng (a1 − a2)a3 + (a2 − a3)a4 + · · ·+ (an − an+1)an+2 < 1 3 113. Posted by manlio Cho a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ a2n−1 ≥ 0 .Chứng minh rằng a21 − a22 + ...+ a22n−1 ≥ (a1 − a2 + ...+ a2n−1)2 114. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 và thỏa abc = 2 √ 2. Chứng minh rằng (a+ 1)(b+ 1)(c+ 1) ≥ 8(a− 1)(b− 1)(c− 1) 115. Posted by manlio Cho ai, bi(i = 1, 2, . . .) là các số thực thỏa mãn a1 ≥ a1 + a2 2 ≥ · · · ≥ a1 + a2 + · · ·+ an n b1 ≥ b1 + b2 2 ≥ · · · ≥ b1 + b2 + · · ·+ bn n Chứng minh rằng n(a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn) ≥ (a1 + a2 + · · ·+ an)(b1 + b2 + · · ·+ bn) 19 116. Posted by manlio Chứng minh rằng với mọi số thực a1, a2, . . . , an ta có bất đẳng thức (1− a1)(1− a2) · · · (1− an) + ( 1 + a1 + a2 + · · ·+ an n )n ≥ (1 + a1)(1 + a2) · · · (1 + an) + ( 1− a1 + a2 + · · ·+ an n )n 117. Posted by darij grinberg Cho a, b, c > 0. Chứng minh bất đẳng thức a+ b a+ c + b+ c b+ a + c+ a c+ a ≤ a b + b c + c a 118. Posted by pcalin Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng√ 2a a+ b + √ 2b b+ c + √ 2c c+ a ≤ 3 119. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực dương thỏa a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng 1 1 + a+ b + 1 1 + b+ c + 1 1 + c+ a ≤ 1 120. Posted by manlio Với ai, bi(i = 1, 2, . . . , n) là các số thực dương. Chứng minh rằng a1b1 a1 + b1 + a2b2 a2 + b2 + · · ·+ anbn an + bn ≤ (a1 + a2 + · · ·+ an)(b1 + b2 + · · ·+ bn) a1 + a2 + · · ·+ an + b1 + b2 + · · ·+ bn 121. Posted by Maverick Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng (a2 + ab+ b2)(b2 + bc+ c2)(c2 + ca+ a2) ≥ (ab+ bc+ ca)3 122. Posted by Arne Cho a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an. Chứng minh rằng a1a 4 2 + a2a 4 3 + · · ·+ ana41 ≥ a2a41 + a3a42 + · · ·+ a1a4n 20 123. Posted by manlio Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng a 1 + bc + b 1 + ac + c 1 + ab ≥ 1 124. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực và x = a2 + b2 + c2 .Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 ≤ x 3 2 + 3abc 125. Posted by manlio Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng(1 a + 1 b + 1 c )( 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c ) ≥ 9 1 + abc 126. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng a 1 + bc + b 1 + ca + c 1 + ab ≤ √ 2 127. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng (a+ b)(b+ c)(c+ a) ≤ (a+ b+ c 2 )6 128. Posted by manlio Cho a, b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng a4 + b4 (a+ b)4 + √ ab a+ b ≥ 5 8 129. Posted by manlio Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức ab c(c+ a) + bc a(a+ b) + ca b(b+ c) ≥ a c+ a + b a+ b + c b+ c 21 130. Posted by manlio Cho a1, .x2, x3, x4, x5, x6 là các số thực trong đoạn [ 0, 1 6 ] .Chứng minh rằng (x1 − x2)(x2 − x3)(x3 − x4)(x4 − x5)(x5 − x6)(x6 − x1) 131. Posted by manlio Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh bất đẳng thức 5(a2 + b2 + c2) ≤ 6(a3 + b3 + c3) + 1 132. Posted by manlio Cho a, b, c là độ dài 3 cạnhn của một tam giác. Chứng minh rằng 1 < a b+ c + bc a2 ≤ 1 + √ 2 2 133. Posted by liyi Dãy số an thỏa mãn ? a1 = 1 ? anan+1 = n Chứng minh rằng 1 a1 + 1 a2 + · · ·+ 1 an > 2 √ n− 1 134. Posted by liyi Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2. Chứng minh rằng∣∣xyz − (x+ y + z)∣∣ ≤ 2 135. Posted by manlio Cho a, b, c llà các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức a2 a2 + 2bc + b2 b2 + 2ca + c2 c2 + 2ab ≥ 1 136. Posted by manlio Giả sử a1, a2, . . . , a2n là tập hợp các số dương và b1, . . . , b2n là một hoán vị sắp thứ tự b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ b2n Chứng minh rằng b1b2 · · · bn + bn+1bn+2 · · · b2n ≥ a1a2 · · · an + an+1an+2 · · · a2n 22 137. Posted by Gil Cho a, b, c > 0. Đặt x = a+ 1 b y = b+ 1 c z = c+ 1 a Chứng minh rằng xy + yz + zx ≥ 2(x+ y + z) 138. Posted by manlio Cho n > 1 là số nguyên dưong ,a1, a2, . . . , an là các số thực dương và b1, b2, . . . , bn là các số thực dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng 1 a1 b1 + a2 b2 + · · ·+ an bn ( a1 1− b1 + a2 1− b2 + · · ·+ an 1− bn ) ≤ 1 a1 + a2 + · · ·+ an 139. Posted by manlio Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (1− b)(1− bc) b(1 + a) + (1− c)(1− ca) c(1 + b) + (1− a)(1− ab) a(1 + c) ≥ 0 140. Posted by Don ‘z[ ]rr[ ]z‘ Với m,n là các số nguyên dương đặt a = mm+1 + nn+1 mm + nn Chứng minh rằng am + an ≥ mm + nn 141. Posted by manlio Với a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức a− b a+ b + b− c b+ c + c− a c+ a < 1 16 142. Posted by manlio Cho các số thực dưong x, y, z thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 1. Chứng minh rằng (a) x2 + y2 + z2 ≥ x5 + y5 + z5 + 2(x+ y + z)x2y2z2 23 (b) 1 x2 + 1 y2 + 1 z2 ≥ x+ y + z + x 4 + y4 + z4 xyz 143. Posted by Gil Cho x, y là các số thực thỏa mãn 1 ≤ x2 − xy + y2 ≤ 2. Chứng minh rằng (a) 2 9 ≤ x4 + y4 ≤ 8 (b) x2n + y2n ≥ 2 3n với n ≥ 3 144. Posted by manlio Chứng minh rằng nếu (ca′ − ac′)2 < 4(ab′ − ba′)(c′b− b′c) thì ta có b2 − ac > 0 145. Posted by manlio Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng (a+ b− c)a(b+ c− a)b(a+ c− b)c ≤ aabbcc 146. Posted by vasc Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3. Chứng minh rằng x4y4 + y4z4 + z4x4 ≤ 3 147. Posted by RNecula Cho a, b, c nằm trong đoạn [0, 1]. Tìm hàng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng (1− a)(1− b)(1− c) ≤ k ( 1− a+ b+ c 3 ) 148. Posted by manlio Cho a1, a2, . . . , a2004 thỏa mãn 1 1 + a1 + 1 1 + a2 + · · ·+ 1 1 + a2004 > 1 Chứng minh rằng a1a2 · · · a2004 < 1 24 149. Posted by manlio Cho x1, x2, . . . , xn là các số thực dương có tổng nhỏ bằng 1 2 . Chứng minh rằng (1− x1)(1− x2) · · · (1− xn) ≥ 1 2 150. Posted by manlio Cho các số thực a1, a2, . . . , a1980 nằm trong khoảng [ 1− 1 1980 , 1+ 1 1980 ] . Chứng minh rằng (a1 + a2 + · · ·+ a1980) ( 1 a1 + 1 a2 + · · ·+ 1 a1980 ) ≤ 1980 4 19802 − 1 151. Posted by manlio Cho 0 ≤ a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn ≤ b. Chứng minh rằng (x1 + x2 + · · ·+ xn) ( 1 x1 + 1 x2 + · · ·+ 1 xn ) ≤ n 2(a+ b)2 4ab 152. Posted by manlio Cho a, b, x, y, z là các sôd thưvj dương . Chứng minh rằng x ay + bz + y az + bx + z ax+ by ≥ 3 a+ b 153. Posted by manlio Cho a1, a2, · · · , an là các số thực và đặt bk = a1 + a2 + · · ·+ ak k (k = 1, 2, . . . , n) C = (a1 − b1) + (a2 − b2) + · · ·+ (an − bn) D = (a1 − bn) + (a2 − bn−1) + · · ·+ (an − b1) Chứng minh rằng C ≤ D ≤ 2C 154. Posted by manlio Các số thực dương x, y thỏa mãn x3 + y3 = x− y. Chứng minh rằng x2 + y2 < 1 155. Posted by malio Cho các số 0 < x, y, z < 1. Chứng minh rằng 2(x3 + y3 + z3)− (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 25 156. Posted by Mitzah Tìm số thực dương n ≥ 2 sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a, b, c√ a+ √ b+ √ c ≥ (abc)1/n 157. Posted by manlio Cho a ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ A và b ≤ b1 ≤ b2 ≤ · · · ≤ bn ≤ B với a, b > 0. Chứng minh rằng 1 ≤ (a 2 1 + a 2 2 + · · ·+ a2n)(b21 + b22 + · · ·+ b2n) (a1b1 + · · ·+ anbn)2 ≤ 1 4 (√AB ab + √ ab AB )2 158. Posted by hxtung Cho các số thực x1, x2, . . . , xn thỏa mãn 1 x1 + 1 + 1 x2 + 1 + · · ·+ 1 xn + 1 = 1 Chứng minh rằng √ x1 + √ x2 + · · ·+√xn ≥ (n− 1) ( 1√ x1 + 1√ x2 + · · ·+ 1√ xn ) 159. Posted by manlio Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng a4 + b4 + 3 ≥ a+ b+ 3 (3ab+ 1 4 ) 4 3 160. Posted by Gil Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x+ y + z = 1 Chứng minh rằng x xy + 1 + y yz + 1 + z zx+ 1 ≥ 36xyz 13xyz + 1 161. Posted by Fedor Bakharev Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương x, y, z ta có x√ x+ y + y√ y + z + z√ z + x ≤ k · √x+ y + z 26 162. Posted by manlio Cho các số 0 < a, b, c < 1 2 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng 3 √ 3abc ≥ √1− 2a√1− 2b√1− 2