Toàn tập Lượng giác

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Định nghĩa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđqAM = β với 0 2≤ β ≤ π Đặt k2 ,k Zα = β+ π ∈ Ta định nghĩa: sin OKα = cos OHα = sintg cos αα = α với cos 0α ≠ coscot g sin αα = α với sin 0α ≠ II. Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trị ( )o0 0 ( )o306π ( )o454π ( )o603π ( )o902π sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 tgα 0 3 3 1 3 || cot gα || 3 1 3 3 0 III. Hệ thức cơ bản 2 2sin cos 1α + α = 2 2 11 tg cos + α = α với ( )k k Z2 πα ≠ + π ∈ 2 2 1t cot g sin + = α với ( )k k Zα ≠ π ∈ IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a. Đối nhau: α và −α ( )sin sin−α = − α ( )cos cos−α = α ( ) ( )tg tg−α = − α ( ) ( )cot g cot g−α = − α MATHVN.COM www.MATHVN.com b. Bù nhau: α và π − α ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tg tg cot g cot g π −α = α π−α = − α π−α = − α π−α = − α c. Sai nhau π : và α π + α ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos tg t g cot g cot g π+ α = − α π+α = − α π+α = α π+α = α d. Phụ nhau: α và 2 π −α sin cos 2 cos sin 2 tg cot g 2 cot g tg 2 π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞− α = α⎜ ⎟⎝ ⎠ e.Sai nhau 2 π : và α 2 π + α sin cos 2 cos sin 2 tg cot g 2 cot g tg 2 π⎛ ⎞+ α = α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞+ α = − α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞+ α = − α⎜ ⎟⎝ ⎠ π⎛ ⎞+ α = − α⎜ ⎟⎝ ⎠ MATHVN.COM www.MATHVN.com f. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + π = − ∈ + π = − ∈ + π = ∈ + π = k k sin x k 1 sin x,k Z cos x k 1 cosx,k Z tg x k tgx,k Z cot g x k cot gx V. Công thức cộng ( ) ( ) ( ) sin a b sinacosb sin bcosa cos a b cosacosb sinasin b tga tgbtg a b 1 tgatgb ± = ± ± = ±± = ∓ ∓ VI. Công thức nhân đôi = = − = − = = − −= 2 2 2 2 2 2 sin2a 2sinacosa cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1 2tgatg2a 1 tg a cot g a 1cot g2a 2cot ga − VII. Công thức nhân ba: 3 3 sin3a 3sina 4sin a cos3a 4cos a 3cosa = − = − VIII. Công thức hạ bậc: ( ) ( ) 2 2 2 1sin a 1 cos2a 2 1cos a 1 cos2a 2 1 cos2atg a 1 cos2a = − = + −= + IX. Công thức chia đôi Đặt at tg 2 = (với ) a k2≠ π + π MATHVN.COM www.MATHVN.com 22 2 2 2tsina 1 t 1 tcosa 1 t 2ttga 1 t = + −= + = − X. Công thức biến đổi tổng thành tích ( ) ( ) a b a bcosa cosb 2cos cos 2 2 a b a bcosa cosb 2sin sin 2 2 a b a bsina sin b 2cos sin 2 2 a b a bsina sin b 2cos sin 2 2 sin a b tga tgb cosacosb sin b a cot ga cot gb sina.sin b + −+ = + −− = − + −+ = + −− = ±± = ±± = XI. Công thức biển đổi tích thành tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1cosa.cosb cos a b cos a b 2 1sina.sin b cos a b cos a b 2 1sina.cosb sin a b sin a b 2 = ⎡ + + −⎣ ⎦ − ⎤ = ⎡ + − −⎣ ⎦⎤ = ⎡ + + − ⎤⎣ ⎦ Bài 1: Chứng minh 4 4 6 6 sin a cos a 1 2 sin a cos a 1 3 + − =+ − Ta có: ( )24 4 2 2 2 2 2sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+ − = + − − = − 2 Và: ( )( ) ( ) 6 6 2 2 4 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1 sin a cos a sin acos a 1 1 2sin acos a sin acos a 1 3sin acos a + − = + − + = + − − = − − − = − − MATHVN.COM www.MATHVN.com Do đó: 4 4 2 2 6 6 2 2 sin a cos a 1 2sin acos a 2 sin a cos a 1 3sin acos a 3 + − −= =+ − − Bài 2: Rút gọn biểu thức ( )2 2 1 cosx1 cosxA 1 sin x sin x ⎡ ⎤−+= = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Tính giá trị A nếu 1cosx 2 = − và x 2 π < < π Ta có: 2 2 2 1 cosx sin x 1 2cosx cos xA sin x sin x ⎛ ⎞+ + − += ⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 cosx1 cosxA . sin x sin x −+⇔ = ( )2 2 3 3 2 1 cos x 2sin x 2A sin x sin x sin x −⇔ = = = (với sinx 0≠ ) Ta có: 2 2 1 3sin x 1 cos x 1 4 4 = − = − = Do: x 2 π Vậy 3sin x 2 = Do đó 2 4 4A sin x 33 = = = 3 Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a. A = − 4 4 2 2 22cos x sin x sin xcos x 3sin x+ + b. 2 cot gx 1 tgx 1 cot gx 1 + − −B = + a. Ta có: 4 4 2 2A 2cos x sin x sin xcos x 3sin x= − + + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 24 2 2 2 2 4 2 4 2 4 A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x ⇔ = − − + − + − ⇔ = − − + + − + − 2 A 2⇔ = (không phụ thuộc x) b. Với điều kiện sinx.cosx 0,tgx 1≠ ≠ Ta có: 2 cot gxB tgx 1 cot gx 1 1+= +− − MATHVN.COM www.MATHVN.com 1 1 2 2tgxB 1tgx 1 tgx 1 1 tgx1 tgx + +⇔ = + = +− −− 1 tgx − ( )2 1 tgx 1 tgxB 1 tgx 1 tgx 1 − − −⇔ = = = −− − (không phụ thuộc vào x) Bài 4: Chứng minh ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1 cosa1 cosa cos b sin c1 cot g bcot g c cot ga 1 2sina sin a sin bsin c ⎡ ⎤−+ −− + − =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ − Ta có: * 2 2 2 2 2 2 cos b sin c cot g b.cot g c sin b.sin c − − 2 2 2 2 2 cotg b 1 cot g bcot g c sin c sin b = − − ( ) ( )2 2 2 2 2cot g b 1 cot g c 1 cot g b cot g bcot g c 1= + − + − = − (1) * ( )2 2 1 cosa1 cosa 1 2sina sin a ⎡ ⎤−+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )2 2 1 cosa1 cosa 1 2sina 1 cos a ⎡ ⎤−+= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 cosa 1 cosa1 2sina 1 cosa + −⎡ ⎤= −⎢ ⎥+⎣ ⎦ 1 cosa 2cosa. c 2sina 1 cosa += =+ ot ga (2) Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong. Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn. ABCΔ Tìm giá trị nhỏ nhất của P tgA.tgB.tgC= Ta có: A B C+ = π − Nên: ( )tg A B tgC+ = − tgA tgB tgC 1 tgA.tgB +⇔ =− − + tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC⇔ + = − + Vậy: P tgA.tgB.tgC tgA tgB tgC= = + MATHVN.COM www.MATHVN.com Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tg ta được A,tgB,tgC 3tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC+ + ≥ 3P 3 P⇔ ≥ 3 2P 3 P 3 3 ⇔ ≥ ⇔ ≥ Dấu “=” xảy ra = =⎧ π⎪⇔ ⇔ =⎨ π< <⎪⎩ tgA tgB tgC A B C 30 A,B,C 2 = = Do đó: MinP 3 3 A B C 3 π= ⇔ = = = Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a/ 8 4y 2sin x cos 2x= + b/ 4y sin x cos= − x a/ Ta có : 4 41 cos2xy 2 cos 2x 2 −⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ Đặt với thì t cos2x= 1 t 1− ≤ ≤ ( )4 41y 1 t 8 = − + t => ( )3 31y ' 1 t 4t 2 = − − + Ta có : Ù ( ) y ' 0= 3 31 t 8t− = ⇔ 1 t 2t− = ⇔ 1t 3 = Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; 1 1y 3 2 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 7 Do đó : và ∈ = \x y 3Max ∈ = \x 1yMin 27 b/ Do điều kiện : sin và co nên miền xác định x 0≥ s x 0≥ π⎡ ⎤= π + π⎢ ⎥⎣ ⎦D k2 , k22 với ∈ ]k Đặt t cos= x x với thì 0 t 1≤ ≤ 4 2 2t cos x 1 sin= = − Nên 4sin x 1 t= − Vậy 8 4y 1 t= − − t trên [ ]D' 0,1= Thì ( ) −= − < − 3 748 ty ' 1 0 2. 1 t [ )∀ ∈t 0; 1 Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy : ( )∈ = =x Dmax y y 0 1, ( )∈ = = −x Dmin y y 1 1 MATHVN.COM www.MATHVN.com Bài 7: Cho hàm số 4 4y sin x cos x 2msin x cos= + − x Tìm giá trị m để y xác định với mọi x Xét 4 4f (x) sin x cos x 2msin x cos x= + − ( ) ( )22 2 2f x sin x cos x msin 2x 2sin x cos x= + − − 2 ( ) 21f x 1 sin 2x msin2x 2 = − − Đặt : với t sin 2x= [ ]t 1,∈ − 1 y xác định x∀ ⇔ ( )f x 0 x R≥ ∀ ∈ ⇔ 211 t [ ]mt 2 − − ≥ 0 t 1,1−∀ ∈ ⇔ ( ) 2g t t 2mt 2 0= + − ≤ [ ]t 1,1− t ∀ ∈ Do ∀ nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t2' m 2 0Δ = + > m 1, t2 Lúc đó t t1 t2 g(t) + 0 - 0 Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ 1 2t 1 1≤ − < ≤ ⇔ ⇔ ( )( ) 1g 1 0 1g 1 0 − ≤⎧⎪⎨ ≤⎪⎩ 2m 1 0 2m 1 0 − − ≤⎧⎨ − ≤⎩ ⇔ 1m 2 1m 2 −⎧ ≥⎪⎪⎨⎪ ≤⎪⎩ ⇔ 1 1m 2 2 − ≤ ≤ Cách khác : g t ( ) 2t 2mt 2 0= + − ≤ [ ]t 1,∀ ∈ − 1 { } [ , ] max ( ) max ( ), ( ) t g t g g ∈ − ⇔ ≤ ⇔ − ≤ 11 0 1 1 0 { }max ), )m m⇔ − − − + ≤2 1 2 1 0⇔ 1m 2 1m 2 −⎧ ≥⎪⎪⎨ ⎪ ≤⎪⎩ m⇔− ≤ ≤1 1 2 2 Bài 8 : Chứng minh 4 4 4 43 5 7A sin sin sin sin 16 16 16 16 2 π π π π= + + + 3= Ta có : 7sin sin cos 16 2 16 16 π π π π⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ π π π⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 5 5sin cos cos 16 2 16 16 π3 MATHVN.COM www.MATHVN.com Mặt khác : ( )24 4 2 2 2sin cos sin cos 2sin cosα + α = α + α − α α2 2 21 2sin cos= − α α 211 sin 2 2 = − α Do đó : 4 4 4 47 3A sin sin sin sin 16 16 16 16 π π π π= + + + 5 4 4 4 43 3sin cos sin cos 16 16 16 16 π π π⎛ ⎞ ⎛= + + +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ π ⎞⎟⎠ 2 21 11 sin 1 sin 2 8 2 8 3π π⎛ ⎞ ⎛= − + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ 2 21 32 sin sin 2 8 8 π π⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 212 sin cos 2 8 8 π π⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠ π π=⎝ ⎠ 3do sin cos 8 8 ⎛ ⎞⎜ ⎟ 1 32 2 2 = − = Bài 9 : Chứng minh : o o o o16sin10 .sin 30 .sin50 .sin70 1= Ta có : o o A cos10 1A cos10 cos10 = = o (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o ⇔ ( )o oo1 1 oA 8sin 20 cos 40 .cos 202cos10 ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⇔ ( )0 oo1 oA 4 sin 20 cos20 .cos40cos10= ⇔ ( )o oo1A 2sin 40 cos40cos10= ⇔ o o o o 1 cos10A sin 80 1 cos10 cos10 = = = Bài 10 : Cho ABCΔ . Chứng minh : A B B C C Atg tg tg tg tg tg 1 2 2 2 2 2 2 + + = Ta có : A B C 2 2 + π= − 2 Vậy : A B Ctg cot g 2 2 + = ⇔ A Btg tg 12 2 A B C1 tg .tg tg 2 2 2 + = − ⇔ A B C Atg tg tg 1 tg tg 2 2 2 2 ⎡ ⎤+ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ B 2 MATHVN.COM www.MATHVN.com ⇔ A C B C A Btg tg tg tg tg tg 1 2 2 2 2 2 2 + + = Bài 11 : Chứng minh : ( )π π π π+ + + =8 4tg 2tg tg cot g * 8 16 32 32 Ta có : (*) ⇔ 8 cot g tg 2tg 4tg 32 32 16 8 π π π= − − − π Mà : 2 2cosa sina cos a sin acot ga tga sina cosa sina cosa −− = − = cos2a 2cot g2a1 sin2a 2 = = Do đó : (*) ⇔ cot g tg 2tg 4tg 8 32 32 16 8 π π π π⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦ = ⇔ 2cot g 2tg 4tg 8 16 16 8 π π π⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎣ ⎦ = ⇔ 4cot g 4tg 8 8 8 π π− = ⇔ 8cot g 8 4 π = (hiển nhiên đúng) Bài :12 : Chứng minh : a/ 2 2 22 2cos x cos x cos x 3 3 π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 2 + + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b/ 1 1 1 1 cot gx cot g16x sin2x sin4x sin8x sin16x + + + = − a/ Ta có : 2 2 22 2cos x cos x cos x 3 3 π π⎛ ⎞ ⎛+ + + −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ ( )1 1 4 1 41 cos2x 1 cos 2x 1 cos 2x 2 2 3 2 3 ⎡ π ⎤ ⎡ π ⎤⎛ ⎞ ⎛= + + + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎞⎟⎢ ⎥ ⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎥⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 1 4 4cos2x cos 2x cos 2x 2 2 3 3 ⎡ π⎛ ⎞ ⎛= + + + + −⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦ π ⎤⎞⎟⎠ 3 1 4cos2x 2cos2x cos 2 2 3 π⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 3 1 1cos2x 2cos2x 2 2 2 ⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 3 2 = b/ Ta có : cosa cosb sin bcosa sina cosbcot ga cot gb sina sin b sinasin b −− = − = MATHVN.COM www.MATHVN.com ( )sin b a sina sin b −= Do đó : ( ) ( )sin 2x x 1cot gx cot g2x 1 sin xsin2x sin2x −− = = ( ) ( )sin 4x 2x 1cot g2x cot g4x 2 sin2xsin4x sin4x −− = = ( ) ( )sin 8x 4x 1cot g4x cot g8x 3 sin4xsin8x sin8x −− = = ( ) ( )sin 16x 8x 1cot g8x cot g16x 4 sin16xsin8x sin16x −− = = Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được 1 1 1 1cot gx cot g16x sin2x sin4x sin8x sin16x − = + + + Bài 13 : Chứng minh : + =3 0 2 08sin 18 8sin 18 1 Ta có: sin180 = cos720 ⇔ sin180 = 2cos2360 - 1 ⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1 ⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1 ⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 ) ⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0 ⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – 1 = 0 (do 0 < sin180 < 1) Cách khác : Chia 2 vế của (1) cho ( sin180 – 1 ) ta có ( 1 ) ⇔ 8sin2180 ( sin180 + 1 ) – 1 = 0 Bài 14 : Chứng minh : a/ ( )4 4 1sin x cos x 3 cos4x 4 + = + b/ ( )1sin6x cos6x 5 3cos4x 8 + = + c/ ( )8 8 1sin x cos x 35 28cos4x cos8x 64 + = + + a/ Ta có: ( )24 4 2 2 2sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x+ = + − 2 221 sin 2 4 = − x ( )11 1 cos4 4 = − − x 3 1 cos4x 4 4 = + b/ Ta có : sin6x + cos6x ( ) ( )2 2 4 2 2 4sin x cos x sin x sin x cos x cos x= + − + MATHVN.COM www.MATHVN.com ( )4 4 21sin x cos x sin 2x4= + − (3 1 1cos4x 1 cos4x 4 4 8 ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ) ( do kết quả câu a ) 3 5cos4x 8 8 = + c/ Ta có : ( )+ = + −28 8 4 4 4sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x4 ( )= + −2 41 23 cos4x sin 2x 16 16 ( ) ( )⎡ ⎤= + + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 21 1 19 6cos4x cos 4x 1 cos4x 16 8 2 ( ) ( )29 3 1 1cos4x 1 cos8x 1 2cos4x cos 4x16 8 32 32= + + + − − + ( )= + + + − +9 3 1 1 1cos4x cos8x cos4x 1 cos8x 16 8 32 16 64 35 7 1cos4x cos8x 64 16 64 = + + Bài 15 : Chứng minh : 3 3sin3x.sin x cos3x.cos x cos 2x+ = 3 Cách 1: Ta có : s 3 3 3in3x.sin x cos3x.cos x cos 2x+ =( ) ( )3 3 3 33sin x 4sin x sin x 4 cos x 3cos x cos x= − + − 4 6 63sin x 4sin x 4cos x 3cos x= − + − 4 ( ) ( )4 4 6 63 sin x cos x 4 sin x cos x= − − − ( ) ( )2 2 2 23 sin x cos x sin x cos x= − + ( ) ( )2 2 4 2 2 44 sin x cos x sin x sin x cos x cos x− − + + 2 23cos2x 4 cos2x 1 sin x cos x⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ 213cos2x 4 cos2x 1 sin 2x 4 ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠ 21cos2x 3 4 1 sin 2x 4 ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ( )2cos2x 1 sin 2x= − 3cos 2x= Cách 2 : Ta có : si 3 3n3x.sin x cos3x.cos x+ 3sin x sin3x 3cos x cos3xsin3x cos3x 4 4 − +⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ ( ) ( )2 23 1sin3xsin x cos3xcos x cos 3x sin 3x4 4= + + − MATHVN.COM www.MATHVN.com ( )3 1cos 3x x cos6x 4 4 = − + ( )1 3cos2x cos3.2x 4 = + ( )= + −31 3cos2x 4cos 2x 3cos2x4 ( bỏ dòng này cũng được) 3cos 2x= Bài 16 : Chứng minh : o o o o o 3 1cos12 cos18 4 cos15 .cos21 cos24 2 ++ − = − Ta có : ( )o o o ocos12 cos18 4 cos15 cos21 cos24+ − o ( )o o o o2cos15 cos3 2cos15 cos45 cos3= − + o o o o o o o2cos15 cos3 2cos15 cos45 2cos15 cos3= − − o o2cos15 cos45= − ( )o ocos60 cos30= − + 3 1 2 += − Bài 17 : Tính 2 o 2 oP sin 50 sin 70 cos50 cos70= + − o Ta có : ( ) ( ) ( )= − + − − +o o o1 1 1P 1 cos100 1 cos140 cos120 cos202 2 2 o ( )o o1 1 1P 1 cos100 cos140 cos202 2 2⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠o ( )o o 1 1P 1 cos120 cos20 cos204 2= − + − o o o5 1 1 5P cos20 cos20 4 2 2 4 = + − = Bài 18 : Chứng minh : o o o o 8 3tg30 tg40 tg50 tg60 cos20 3 + + + = o Áp dụng : ( )sin a btga tgb cosa cos b ++ = Ta có : ( ) ( )o o o otg50 tg40 tg30 tg60+ + + o o o o o sin90 sin90 cos50 cos40 cos30 cos60 = + o o o o 1 1 1sin40 cos40 cos30 2 = + o o 2 2 sin80 cos30 = + o o 1 12 cos10 cos30 ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ MATHVN.COM www.MATHVN.com o o o o cos30 cos102 cos10 cos30 ⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎝ ⎠ p o o o cos20 cos104 cos10 cos30 = o8 3 cos20 3 = Bài 19 : Cho ABCΔ , Chứng minh : a/ A B CsinA sinB sinC 4cos cos cos 2 2 + + = 2 b/ A B CsocA cosB cosC 1 4sin sin sin 2 2 + + = + 2 c/ sin 2A sin 2B sin 2C 4sin A sinBsinC+ + = d/ 2 2 2cos A cos B cos C 2cosA cosBcosC+ + = − e/ tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + = f/ cot g A.cot gB cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1+ + = g/ + + =A B C A Bcot g cot g cot g cot g .cot g .cot g 2 2 2 2 2 C 2 a/ Ta có : ( )A B A BsinA sinB sinC 2sin cos sin A B 2 2 + −+ + = + + A B A B A B2sin cos cos 2 2 2 + − +⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ + π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ C A B A B C4cos cos cos do 2 2 2 2 2 2 − b/ Ta có : ( )A B A BcosA cosB cosC 2cos cos cos A B 2 2 + −+ + = − + 2A B A B A B2cos cos 2cos 1 2 2 2 + − +⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠− A B A B A B2cos cos cos 1 2 2 2 + − +⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ + A B A B4cos sin sin 1 2 2 2 + ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠ C A B4sin sin sin 1 2 2 2 = + c/ ( ) ( )sin2A sin2B sin2C 2sin A B cos A B 2sinCcosC+ = + − + = − +2sinCcos(A B) 2sinCcosC = − −2sinC[cos(A B) cos(A B) ]+ 2 = − −4sinCsinAsin( B) = 4sinCsin A sinB d/ + +2 2cos A cos B cos C ( ) 211 cos2A cos2B cos C 2 = + + + MATHVN.COM www.MATHVN.com ( ) ( ) 21 cos A B cos A B cos C= + + − + ( )1 cosC cos A B cosC= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ do ( )( )cos A B cosC+ = − ( ) ( )1 cosC cos A B cos A B= − − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ 1 2cosC.cosA.cosB= − e/ Do nên ta có a b C+ = π − ( )tg A B tgC+ = − ⇔ tgA tgB tgC 1 tgAtgB + = −− ⇔ tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ = − + ⇔ tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + = f/ Ta có : cotg(A+B) = - cotgC ⇔ 1 tgAtgB cot gC tgA tgB − = −+ ⇔ cot gA cot gB 1 cot gC cot gB cot gA − = −+ (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB) ⇔ cot gA cot gB 1 cot gCcot gB cot gA cot gC− = − − ⇔ cot gA cot gB cot gBcot gC cot gA cot gC 1+ + = g/ Ta có : A B Ctg cot g 2 2 + = ⇔ A Btg tg C2 2 cot gA B 21 tg tg 2 2 + = − ⇔ A Bcot g cot g C2 2 cot gA B 2cot g .cot g 1 2 2 + = − (nhân tử và mẫu cho cotg A 2 .cotg B 2 ) ⇔ A B A B Ccot g cot g cot g cot g cot g cot g 2 2 2 2 2 + = − C 2 ⇔ A B C A Bcot g cot g cot g cot g .cot g .cot g 2 2 2 2 2 + + = C 2 Bài 20 : Cho ABCΔ . Chứng minh : cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0 Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1) = 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C = - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C = - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0 MATHVN.COM www.MATHVN.com Bài 21 : Cho ABCΔ . Chứng minh : cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 3A 3B 3C4sin sin sin 2 2 2 Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C 23 32cos (A B)cos (A B) 1 2sin 2 2 = + − + − 3C 2 Mà : A B C+ = π − nên ( )3 3A B 2 2 + = π − 3C 2 => ( )3 3cos A B cos 2 2 π⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 3C 2 3Ccos 2 2 π⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠ 3Csin 2 = − Do đó : cos3A + cos3B + cos3C ( ) 23 A B3C 3C2sin cos 2sin 1 2 2 2 −= − − + ( )3 A B3C 3C2sin cos sin 1 2 2 2 −⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( )3 A B3C 32sin cos cos A B 1 2 2 2 −⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ −= +3C 3A 3B4sin sin sin( ) 1 2 2 2 3C 3A 3B4sin sin sin 1 2 2 2 = − + Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh : sinA sinB sinC A B Ctg tg cot g cosA cosB cosC 1 2 2 2 + − =+ − + Ta có : 2 A B A B C C2sin cos 2sin cossinA sinB sinC 2 2 2 A B A B CcosA cosB cosC 1 2cos cos 2sin 2 2 2 2 + − −+ − = + −+ − + + C A B C A B A2cos cos sin cos cosC2 2 2 2 2cot g . B A B AC A B C 2 cos cos2sin cos sin 2 22 2 2 −⎡ ⎤ B − +− −⎢ ⎥⎣ ⎦= = − +−⎡ ⎤ ++⎢ ⎥⎣ ⎦ A B2sin .sin C 2 2cot g . A B2 2cos .cos 2 2 ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠= MATHVN.COM www.MATHVN.com C A Bcot g .tg .tg 2 2 2 = Bài 23 : Cho ABCΔ . Chứng minh : A B C B C A C A Bsin cos cos sin cos cos sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + ( )A B C A B B C A Csin sin sin tg tg tg tg tg tg * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + Ta có : A B C 2 2 2 + π= − vậy A B Ctg cot g 2 2 2 ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ⇔ A Btg tg 12 2 A B C1 tg tg tg 2 2 2 + = − ⇔ A B C Atg tg tg 1 tg tg 2 2 2 2 ⎡ ⎤+ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ B 2 ⇔ ( )A C B C A Btg tg tg tg tg tg 1 1 2 2 2 2 2 2 + + = Do đó : (*) Ù A B C B C A C Asin cos cos sin cos cos sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + B A B Csin sin sin 1 2 2 2 = + (do (1)) ⇔ A B C B C A B C C Bsin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡− + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎤ =⎥⎦ ⇔ A B C A B Csin cos cos sin 1 2 2 2 2 + ++ = ⇔ A B Csin 1 2 + + = π⇔ sin 1 2 = ( hiển nhiên đúng) Bài 24 : Chứng minh : ( )A B C 3 cosA cosB cosCtg tg tg * 2 2 2 sinA sinB sinC + + ++ + = + + Ta có : 2A B A B CcosA cosB cosC 3 2cos cos 1 2sin 3 2 2 2 + − ⎡ ⎤+ + + = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ 2C A B2sin cos 4 2sin 2 2 C 2 −= + − C A B C2sin cos sin 4 2 2 2 −⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦ C A B A B2sin cos cos 4 2 2 2 − +⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦ C A B4sin sin .sin 4 2 2 2 = + (1) MATHVN.COM www.MATHVN.com A B A BsinA sinB sinC 2sin cos sinC 2 2 + −+ + = + C A B C2cos cos 2sin cos 2 2 2 C 2 −= + C A B A B2cos cos cos 2 2 2 − +⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ C A4cos cos cos 2 2 = B 2 (2) Từ (1) và (2) ta có : (*) ⇔ A B C A B Csin sin sin sin sin sin 1 2 2 2 2 2 2 A B C A B Ccos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 + + + = ⇔ A B C B A C C A Bsin cos cos sin cos cos sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎦ A B Csin sin sin 1 2 2 2 = + ⇔ A B C B C A B C C Bsin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡− + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎤ =⎥⎦ ⇔ A B C A B Csin .cos cos sin 1 2 2 2 2 + ++ = ⇔ A B Csin 1 2 + +⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇔ sin 1 2 π = ( hiển nhiên đúng) Bài 25 : Cho ABCΔ . Chứng minh: A B Csin sin sin 2 2 2 2B C C A A Bcos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 + + = Cách 1 : A B A A B Bsin sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 B C C A A B Ccos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 + + =Ta có : A B Asin cos1 sinA sinB 2 2 B A B C A B C2 cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 + − += = −⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= = A BC A B coscos .cos 22 2 A B C Acos .cos .cos cos cos 2 2 2 2 B 2 MATHVN.COM www.MATHVN.com Do đó : Vế trái A B C A B Acos sin cos cos2 2 2 A B A B A Bcos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 −⎛ ⎞ B 2 − ++⎜ ⎟⎝ ⎠= + = A B2cos cos 2 2 2A Bcos cos 2 2 = = Cách 2 : Ta có vế trái B C A C A Bcos cos cos 2 2 B C C A A Bcos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 + + + = + + 2 2 B C B C A C A Ccos cos sin sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 2 2 B C C Acos cos cos cos 2 2 2 2 − − = + 2 A B Acos cos sin sin 2 2 2 A Bcos cos 2 2 − + B 2 B C A C A B3 tg tg tg tg tg tg 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ Mà : A B B C A Btg tg tg tg tg tg 1 2 2 2 2 2 2 + + = (đã chứng minh tại bài 10 ) Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2 Bài 26 : Cho ABCΔ . Có A Bcot g ,cot g ,cot g 2 2 C 2 theo tứ tự tạo cấp số cộng. Chứng minh A Ccot g .cot g 3 2 2 = Ta có : A Bcot g ,cot g ,cot g 2 2 C 2 là cấp số cộng ⇔ A C Bcot g cot g 2cot g 2 2 + = 2 ⇔ + = A C Bsin 2cos 2 2 A C Bsin sin sin 2 2 2 MATHVN.COM www.MATHVN.com ⇔ B Bcos 2cos 2 2 A C Bsin sin sin 2 2 2 = ⇔ = + 1 2 A C Asin sin cos 2 2 2 C (do 0<B<π nên Bcos 0 2 > ) ⇔ A C A Ccos cos sin sin 2 2 2 2 2A Csin .sin 2 2 − = ⇔ A Ccot g cot g 3 2 2 = Bài 27 : Cho ABCΔ . Chứng minh : 1 1 1 1 A B C A B Ctg tg tg cot g cot g cot g sin A sinB sinC 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤+ + = + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ Ta có : A B C A Bcot g cot g cot g cot g .cot g .cot g 2 2 2 2 2 + + = C 2 (Xem chứng minh bài 19g ) Mặt khác : sin cos 2tg cot g cos sin sin2 α αα + α = + =α α α Do đó : 1 A B C A B Ctg tg tg cotg cotg cotg 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 A B C 1 A B Ctg tg tg cotg cotg cotg 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡= + + + + + ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 A A 1 B B 1 C Ctg cot g tg cot g tg cot g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= + + + + + ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 1 1 sinA sinB sinC = + + BÀI TẬP 1. Chứng minh : a/ 2 1cos cos 5 5 π π− = 2 b/ o o o o cos15 sin15 3 cos15 sin15 + =− c/ 2 4 6cos cos cos 7 7 7 π π π+ + = 1 2 − 3 d/ + =3 3sin 2xsin6x cos 2x.cos6x cos 4x e/ o o o otg20 .tg40 .tg60 .tg80 3= f/ π π π π+ + + =2 5 8 3tg tg tg tg cos 6 9 18 3 3 π 9 g/ 7 2 3 4 5 6 7cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos 15 15 15 15 15 15 15 2 π π π π π π π = 1 MATHVN.COM www.MATHVN.com h/ tgx.tg x .tg x tg3x 3 3 π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ k/ o o o otg20 tg40 3tg20 .tg40 3+ + = e/ o o o 3sin20 .sin40 .sin80 8 = m/ o o o otg5 .tg55 .tg65 .tg75 1= 2. Chứng minh rằng nếu ( ) ( ) ( ) sin x 2sin x y x y 2k 1 k z 2 = +⎧⎪⎨ π+ ≠ + ∈⎪⎩ thì sin( ) cos ytg x y y + = − 2 3. Cho ABCΔ có 3 góc đều nhọn và A B C≥ ≥ a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b/ Đặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q Chứng minh (p-1)(q-1)≥ 4 4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x : a/ ( ) ( )4 2 4 2 2 2A sin x 1 sin x cos x 1 cos x 5sin x cos x 1= + + + + + b/ ( ) ( )8 8 6 6B 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x 6sin x= − + − + 4 c/ ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2C cos x a sin x b 2cos x a sin x b sin a b= − + − − − − − ) 5. Cho ABCΔ , chứng minh : a/ cosC cosBcot gB cot gC sinBcosA sinCcosA + = + b/ 3 3 3 A B C 3A 3B 3sin A sin B sin C 3cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 + + = + C c/ A B C B A CsinA sinB sinC cos .cos cos .cos 2 2 2 2 − −+ + = + C Acos .cos 2 2 B−+ d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1 e/ 2 2 2cos A cos B cos C 1 2cosA cosBcosC+ + = − f/ sin3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của : a/ 1 1y sin x cos x = + với 0 x 2 π< < b/ π= + +9y 4x sin x x với 0 x< < ∞ c/ 2y 2sin x 4sin x cos x 5= + + 7. Tìm giá trị lớn nhất của : a/ y sin x cos x cos x sin x= + b/ y = sinx + 3sin2x c/ 2y cos x 2 cos x= + − MATHVN.COM www.MATHVN.com Chương 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN = + π⎡= ⇔ ⎢ = π − + π⎣ u v k2 sin u sin v u v k2 cosu cosv u v k2= ⇔ = ± + π π⎧ ≠ + π⎪= ⇔ ⎨⎪ = + π⎩ u k tgu tgv 2 u v k ' ( )k,k ' Z∈ u k cot gu cot gv u v k ' ≠ π⎧= ⇔ ⎨ = + π⎩ Đặc biệt : sinu 0 u k= ⇔ = π π= ⇔ = + πcosu 0 u k 2 (sinu 1 u k2 k Z 2 π= ⇔ = + π ∈ ) cosu 1 u k2= ⇔ = π ( )k Z∈ sinu 1 u k2 2 π= − ⇔ = − + π cosu 1 u k2= − ⇔ = π + π Chú ý : sin u 0 cosu 1≠ ⇔ ≠ ± cosu 0 sinu 1≠ ⇔ ≠ ± Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002) [ ]x 0,14∈ nghiệm đúng phương trình Tìm ( )cos3x 4 cos2x 3cos x 4 0 *− + − = Ta có (*) : ⇔ ( ) ( )3 24 cos x 3cos x 4 2cos x 1 3cos x 4 0− − − + − = ⇔ 3 24 cos x 8cos x 0− = ⇔ ( )24 cos x cos x 2 0− = ⇔ ( )= =cos x 0hay cos x 2 loại vì cos x 1≤ ⇔ ( )x k k 2 π= + π ∈ Z Ta có : [ ]x 0,14 0 k 1 2 4π∈ ⇔ ≤ + π ≤ ⇔ k 14 2 2 π π− ≤ π ≤ − ⇔ 1 14 10,5 k 3,9 2 2 − = − ≤ ≤ − ≈π Mà nên k Z∈ { }k 0,1,2,3∈ . Do đó : 3 5 7x , , , 2 2 2 2 π π π π⎧ ⎫∈ ⎨ ⎬⎩ ⎭ Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004) Giải phương trình : ( ) ( ) ( )2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *− + = − Ta có (*) ⇔ ( ) ( ) ( )− + =2cos x 1 2sin x cos x sin x 2cos x 1− MATHVN.COM www.MATHVN.com ⇔ ( ) ( )2cos x 1 2sin x cos x sin x 0− + −⎡ ⎤⎣ ⎦ = ) ⇔ ( ) (2cos x 1 sin x cos x 0− + = ⇔ 1cos x sin x cos x 2 = ∨ = − ⇔ cos x cos tgx 1 tg 3