Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác

Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 1 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang Tóm tắt các công thức lƣợng giác 1. Mối liên hệ giữa độ và radian. 060' 1 , 01 180 rad   2. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.  GT 00 (0) 030 ( ) 6  045 ( ) 4  060 ( ) 3  090 ( ) 2  sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 tan 0 3 3 1 3 kxđ cot kxđ 3 1 3 3 0 3. Các đẳng thức lượng giác cơ bản. 4. Các cung có liên quan đặc biệt. Hai cung đối nhau :  và  sin( ) sin cos( ) os tan( ) tan cot( ) cot c                    Hai cung bù nhau :  và (  ) sin( ) sin cos( ) os tan( ) tan cot( ) cot c                        Hai cung phụ nhau :  và ( ) 2   sin( ) os ;cos( ) sin 2 2 tan( ) cot ;cot( ) tan 2 2 c                     Hai cung hơn kém  :  và   sin( ) sin cos( ) os tan( ) tan cot( ) cot c                       2 2 2 2 2 2 sin sin cos 1 tan cos cos cot tan .cot 1 sin 1 1 1 tan 1 cot cos sin x x x x x x x x x x x x x x          Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 2 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang 5. Các công thức lượng giác. 6. Các hàm số lượng giác cơ bản. a) siny x , có tập xác định D R Công thức cộng sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin os( ) cos cos sin a sin os( ) cos cos sin a sin tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan a b a b a b a b a b a b c a b a b b c a b a sb b a b a b a b a b a b a b                     Công thức nhân đôi sin 2 2sin cosa a a 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a      2 1 cos 2sin 2 a a   , 2 1 cos 2 cos 2 a a   Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 a b a b a b    1 s s [cos( ) cos( )] 2 ina inb a b a b    1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 a b a b a b    Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b     cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b      s sin 2sin cos 2 2 a b a b ina b     sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b     Công thức nhân ba 3 3 sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos x x x x x x     Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 3 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang 8 6 4 2 2 4 6 8 10 5 5 10 f x( ) = sin x( ) b) cosy x , có tập xác định D R 8 6 4 2 2 4 6 8 10 5 5 10 f x( ) = cos x( ) c) tany x , có tập xác định \ , 2 D R k k Z          8 6 4 2 2 4 6 8 10 5 5 10 g x( ) = tan x( ) d) coty x , có tập xác định  \ ,D R k k Z   Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 4 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang 6 4 2 2 4 6 8 10 10 5 5 10 h x( ) = 1 tan x( ) Chú ý: , 1 sin 1 , 1 cos 1 x R x x R x           CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN Có 4 phương trình lượng giác cơ bản là : sinx m ,cosx m , tanx m ,cotx m I.Phƣơng trình: sinx m (1) Khi 1m   hoặc 1m   (1) vô nghiệm Khi 1 1m    (1) luôn có nghiệm Ta có : sinx sinm   ( Với 2 3 1 , , 2 2 2 m            ,  - radian) Chú ý 1: Nếu ( - độ) Ta có : Chú ý 2: Khi pt sinx m ( có , 1 1m   và m - không đặc biệt) (*) Có hai cách để giải Cách 1 : Đặt m = sin (*) 2 sinx sin , 2 x k k Z x k                Cách 2 : Ta có: sinx m arcsin 2 , arcsin 2 x m k k Z x m k           sinx sin 2 2 x k x k             , k Z 0 0 0 0 0 0 .360 sin sin , 180 .360 x k x k Z x k               Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 5 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang Chú ý 3: Các trường hợp đặc biệt. II.Phƣơng trình: cosx m (2) Khi 1m   hoặc 1m   (2) vô nghiệm Khi 1 1m    (2) luôn có nghiệm Ta có : osx osc m c   ( Với 2 3 1 , , 2 2 2 m            ,  - radian) Chú ý 1: Nếu ( - độ) Ta có : Chú ý 2: Khi pt osxc m ( có , 1 1m   và m- không đặc biệt) (*) Có hai cách để giải Cách 1 : Đặt m = cos (*) 2 osx os , 2 x k c c k Z x k               Cách 2 : Ta có: osxc m arc osm 2 , arc osm 2 x c k k Z x c k          Chú ý 3: Các trường hợp đặc biệt. cosx osc  2 2 x k x k            , k Z 0 0 0 0 0 .360 os os , .360 x k c x c k Z x k             sinx 1 2 , 2 x k k Z       sinx 1 2 , 2 x k k Z         sinx 0 ,x k k Z    cos 1 2 ,x x k k Z    cos 1 2 ,x x k k Z       0 , 2 cox x k k Z       Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 6 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang III.Phƣơng trình: tan x m (3) (3) luôn có nghiệm với mọi m Ta có : tanx tanm   ( Với 3 3, 3 m           ,  - radian) Chú ý 1: Nếu ( - độ) Ta có : Chú ý 2: Khi pt tan x m ( có m - không đặc biệt) (*) Có hai cách để giải Cách 1 : Đặt m = tan (*) tanx tan ,x k k Z     Cách 2 : Ta có: tanx m arctan ,x m k k Z    Chú ý 3: Các trường hợp đặc biệt. III.Phƣơng trình: cot x m (4) (4) luôn có nghiệm với mọi m Ta có : cotx cotm   ( Với 3 3, 3 m           ,  - radian) Chú ý 1: Nếu ( - độ) Ta có : Chú ý 2: Khi pt cotx m ( có m - không đặc biệt) (*) Có hai cách để giải Cách 1 : Đặt m = cot (*) cotx cot ,x k k Z     Cách 2 : tanx tan ,x k k Z     0tanx tan 0 0.180 ,x k k Z    0cotx cot 0 0.180 ,x k k Z    cotx cot ,x k k Z     tanx 1 , 4 x k k Z       tan x 1 , 4 x k k Z         tanx 0 ,x k k Z    Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 7 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang Ta có: cotx m arccot ,x m k k Z    Chú ý 3: Các trường hợp đặc biệt. Ghi chú : Trong các công thức trên x, có thể được mở rộng ra cho một biểu thức. Bài tập Bài 1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau : a. 2 sin 2 x  b. 0 1 sin(3 50 ) 2 x    c. 2 sin( ) 4 2 x     d. 3 sin(2 5) 7 x    e. sin5 sin(3 ) 3 x x    f.sin( ) 1 3 x   g. 0sin(75 ) 0x  h. 0sin(3 20 ) 1x   i.sin(7 2) 0x  j. 1 sin( 2 ) 4 2 x    k. 0 3 sin(5 2 ) 2 x    l. 3 sin( ) 3 2 x   Bài 2 : Giải các phƣơng trình sau : a. 0 2 cos(3 15 ) 2 x    b. 0cos(30 2 ) 1x  c. 3 cos(2 ) 6 2 x    d. 0 1 cos( 10 ) 2 x    e. 3 cos( ) 1 3 x    f. 3 cos(5 3) 2 x    g. 0 2 cos( 45 ) 2 x   h. 1 cos8 2 x  i. 0cos(2 90 ) 0x  j. cos( ) 0 2 3 x    k. 0cos( 70 ) 1x   l. 0 2 cos(135 3 ) 2 x  Bài 3. Giải các phƣơng trình sau : a. tan(3 ) 3 3 x    b. 0cot(2 45 ) 1x   c. 2 1 tan( ) 3 3 x    d. 0 3 tan(35 ) 3 x   e. cot( ) 3 6 x     e. 0tan(5 15 ) 0x  g. 0cot(225 3 ) 1x  h. tan( 3) 5x   i. cot(5 6) 0x  j. 1 cot(4 ) 6 3 x     k. 0tan( 60 ) 1x  l. cot3 2009x  Bài 4. Giải các phƣơng trình sau và tìm nghiệm trong khoảng đã chỉ ra ( nếu có ): a. sin 3 sin 7 x   b. 0tan 2 tan 25x  cotx 1 , 4 x k k Z       cot x 1 , 4 x k k Z         cotx 0 , 2 x k k Z       Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 8 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang c. 1 sin 2 x   , với 0 x   d.sin(2 ) sin( ) 5 5 x x      , với 2 x     e. 2 cos( 3) 2 x   , với ( ;0)x   f. 0tan( 30 ) 1x   , với 0 090 270x  g. os3 os2c x c x , với 0 x   h. 0 0tan(3 45 ) tan( 30 )x x   i. 03 tan(2 60 ) 3x   j. cot(3 ) cot( ) 4 3 x x      k. 2sin 2 3 0x  l. 2sin3 1 0x  , với [ ; ] 2 2 x     m. 0 0os(2 30 ) os58c x c  n. 3 tan5 1 0x  o. sin5 2 1 0x   p.sin3 0x  , với [ ; ] 2 x    q.5sin4 9 0x  r. cos 3 1 0x   Bài 5. Giải các phƣơng trình sau : a. 22.sin 1 0x  b. 3 sin 1 5 x  c. 24 os 3 0c x  d. 2 2 2 sin (5 ) os ( ) 0 5 4 x x c      e. sin6 cosx x f.sin 2 os3 0x c x  g. sin 2 2cos (1 sin ) 0x x x   h. 3 3 1 sin cos cos sin 4 x x x x  i. 4 4 1 sin cos ( ) 4 4 x x     j. (2cos 1)(sin 1) 0x x   k. (1 2sin )cos3 0x x  l. (2sin 2)(sin cos ) 0x x x   m. 2( 4 5)(2cos 3) 0x x x    n. cos sin 2 cos3x x x  o.sin cos 1x x  p. 2 2sin 2 cos 3 1x x  MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP A) Phƣơng trình bậc hai theo một hàm số lƣợng giác I.Định nghĩa Là phƣơng trình có một trong các dạng sau : 2 2 2 2 .sin .s inx 0 . os . osx 0 .tan .tan x 0 .cot .cot x 0 a x b c a c x b c c a x b c a x b c             ( 0a  ) II.Cách giải 1. Đối với các phƣơng trình bậc hai theo sin hoặc cos 2 2 .sin .s inx 0 . os . osx 0 a x b c a c x b c c       Đặt t = sinx hoặc t = cosx ; Điều kiện 1 1t   Khi đó ta được phương trình : 2. . 0a t b t c   (*) Giải (*) tìm t Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 9 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang Ứng với các giá trị t vừa tìm được , ta giải pt lượng giác cơ bản của sin hoặc cos để tìm x. Ví dụ : Giải phương trình : 2os 2cos 3 0c x x   (1) Giải Đặt osx;-1 t 1t c   (1)  2 1 2 3 0 3 t t t t         * Với t = 1 mà osxt c  cos 1 2 ,x x k k Z    Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm : 2 ,x k k Z  2. Đối với các phƣơng trình bậc hai theo tan hoặc cot 2 2 . tan .tan x 0 .cot .cot x 0 a x b c a x b c       Đặt t = tanx hoặc t = cotx ( không cần điều kiện của t) Khi đó ta được phương trình : 2. . 0a t b t c   (*) Giải (*) tìm t Ứng với các giá trị t vừa tìm được , ta giải pt lượng giác cơ bản của tan hoặc cot để tìm x. Ví dụ : Giải phương trình : 2tan tan 2 0x x   (2) Giải Đặt tan xt  (1)  2 1 2 0 2 t t t t         * Với t = 1 mà tan xt   tan 1 , 4 x x k k Z       * Với t = -2 mà tan xt   tan 2 arctan( 2) ,x x k k Z       Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm : , 4 x k k Z     ; arctan( 2) ,x k k Z    B) Phƣơng trình thuần nhất bậc nhất đối với sin và cos ( PT cổ điển) I. Pt có dạng : a.sinx + b.cosx = c (1) II. Cách giải : Điều kiện để pt có nghiệm là : 2 2 2 0a b c   Chia hai vế của pt (1) cho 2 2a b ta được : 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b      (*) (nhận) ( loại) Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 10 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang Đặt : sin = 2 2 a a b , cos = 2 2 b a b (*)  cosx. cos + sinx. sin = 2 2 c a b  cos( x -  ) = 2 2 c a b = cos   cos( ) cosx     2 2 x k x k                2 2 x k x k              Ví dụ : Giải phương trình : 3sin 5cos 2x x  (*) Giải Nhận thấy : 2 2 23 ( 5) 2 30 0      Phương trình đã cho có nghiệm Chia 2 vế của (*) cho 2 2 34a b  (*) 3 5 2 sin cos 34 34 34 x x  Đặt 3 sin 34  , 5 cos 34    2 sin sin cos cos 34 x x    2 cos cos sin sin cos 34 x x      cos( ) cosx     2 2 x k x k                2 , 2 x k k Z x k              Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm là : 2x k     , 2x k     , k Z C) Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos I.Định nghĩa Pt có dạng : a.sin 2 x + b.sinx.cosx + c.cos 2 x = d . (2) II. Cách giải : Cách 1 * Xét cosx = 0 2 x k      sin2x = 1 (2)  a = d (*) + Nếu (*) đúng thì 2 x k    là nghiệm của (2) + Nếu (*) không đúng thì 2 x k    không là nghiệm của (2) * Xét cosx  0 Chia hai vế của pt (2) cho cos2x ta đưa pt (2) về dạng : A.tan 2x + B.tanx + C = 0 .Đến đây ta giải pt bậc hai theo tan . Cách 2 Ta có : a.sin 2 x + b.sinx.cosx + c.cos 2 x = d (*) Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 11 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang Dùng các công thức : 2.sin .cos sin 2x x x , 2 2 1 cos 2 1 cos 2 cos ,sin 2 2 x x x x     Đưa (*) về dạng : .sin 2 os2A x Bc x C  Đến đây ta giải phương trình thuần nhất bậc nhất đối với sin và cos Ví dụ : Giải phương trình : 2 23sin 8sin cos 4cos 0x x x x   Giải Ta có : 2 23sin 8sin cos 4cos 0x x x x    1 2 1 cos 2 3( ) 4.2sin cos 4( ) 0 2 2 co x x x x       8sin 2 cos2 7x x   ( 1 ) Nhận thấy : 2 2 28 1 ( 7) 16 0      (1) có nghiệm Chia 2 vế của (1) cho 65 (*) 8 1 7 sin 2 cos 2 65 65 65 x x    Đặt 8 sin 65  , 1 cos 65   7 sin sin cos cos 65 x x      7 cos 2 cos sin 2 sin cos 65 x x        cos(2 ) cosx     2 2 2 2 x k x k                2 , 2 x k k Z x k               Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm : 2 x k       , 2 x k       , k Z Bài 1 . Giải các phương trình sau : a. 22sin sin 1 0x x   b. 2cos 4cos 5 0x x   c. 23tan tan 4 0x x   d. 2cot cot 2 0x x   e. 2sin 2 x –(2 + 3 )sinx + 3 = 0 f. 2sin2x + 4sinx = 3cos2x g. 2sin 2 (x + 3  ) + 5cos(x + 3  ) = -1 h. tg 2 2x = 3tg2x - 2 i. 23cos 3 5cos3 2 0x x   j. 23tan 2 3 tan 3 0x x   k. 22sin 2 sin 2 0 2 2 x x    l. 26cos 2 5sin 2 2 0x x   m. 23cos 6 8sin3 cos3 4 0x x x   n. 2sin 2cos 2 0 2 2 x x    o. 28cos 2sin 7 0x x   p. 22tan 5 3tan 1 0x x   q. tan 2cot 1 0x x   r. 2cos2x + cosx = 1 Bài 2. Giải các phƣơng trình sau : Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 12 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang a. 2sin 3cos 1x x  b.sin 3 cos 2x x  c. 7sin3 3cos3 4x x  d. cos 2sin 2x x  e. 3 cos3x + sin3x = 2 f. 5cos2x – 12sin2x = 13 g. 2sinx – 5cosx = 4 h. 2sinx + cosx = 1 2 + 2 i. 3sinx + 5cosx = 4 2 k.2sin2x.cos2x + 3 cos4x = 2 l. 3 sin3x – cos3x - 2 = 0 m.sin 3 2 x + cos 3 2 x = 6 2 n. 3 sin 2 x - 2 cos 2 x = - 5 o. sinx + cosx = 1 2 + 3 Bài 3. Giải các phƣơng trình sau : a.3sin 2 x + 8sinx.cosx + 4cos 2 x = 0 b. 4sin 2 x + 3 3 sin2x – 2cos2x = 4 c.cos 2 x - 3 sin2x = 1 + sin 2 x d.sin 2 x = 3sinx.cosx – 1 e.2sin 2 x + 3cos 2 x = 5sinx.cosx f.8sin 2 x + 6cos 2 x = 13sin2x g.9sin 2 x – 15sin2x + 25 cos2x = 25 h. 2 2 1 sin sin 2 2 os 2 x x c x   i. 2 22sin sin cos 3cos 0x x x x   j. 2 23sin 4sin cos 5cos 2x x x x   Dạng tổng hợp bài tập về phƣơng trình lƣợng giác Bài 4 : Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau : Các công thức thường sử dụng : 1) sin3x + sin5x = sin4x 2) sin(x + 45 0 ) .cos(x + 15 0 ) = 1 2 3) cos(x + 70 0 ).cos(x + 10 0 ) = 1 2 4 ) cos cos5 cos2 cos4x x x x 5) cos5 sin 4 cos3 sin 2x x x x 6)sin 2 sin 4 sin6x x x  7)sin sin 2 cos cos2x x x x   8) sin sin 2 sin3 3. cos cos 2 cos3 x x x x x x 9)sin sin 2 sin3 cos cos2 cos3x x x x x x     10) sin5x.cos6x +sinx = sin7x.cos4x 11) cos3 cos4 cos5 0x x x   12)sin7 sin3 cos5 .x x x 13) 2 2cos sin sin3 cos4 .x x x x 14) 2 3 cos 2 cos 2sin . 2 x x x 15) cos cos2 1 sin sin 2 .x x x x 16) cos5 cos cos4x x x 17) cos tan3 sin5 .x x x 18) cos3 cos5 sin .x x x 19) cos7 sin8 cos3 sin 2 .x x x x Bài 5 : Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau : 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 a b a b a b    1 s s [cos( ) cos( )] 2 ina inb a b a b    1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 a b a b a b    cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b     cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b      s sin 2sin cos 2 2 a b a b ina b     sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b     Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 13 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang Các công thức thường sử dụng : Bài tập 1) sinx.sin2x.sin3x = 1 4 sin4x 2) 1 – 16sin2x .cos22x .cos2x = 3 4 3) sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x 4) sin 3 x cosx – cos3x sinx = 1 4 5) sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x = 2 6) sin 2 x + sin 2 2x = sin 2 3x + sin 2 4x 7) 2 sin 2 x + 1 = cosx 8) 3sin 4 x + 5cos 4 x – 3 = 0 9) 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2.x x x x 10) 4sin cos cos2 1.x x x 11) 2 2 2sin cos 2 cos 3 .x x x 12) 2 2 1 sin 2 sin . 2 x x 13) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 .x x x x 14) 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2.x x x x Bài 6 : Cho phương trình : (m + 2)sinx – 2mcosx = 2m +2 a. Gpt với m = -2 b. Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 7: Cho pt : msin 2 x – 3sinx.cosx - m- 1= 0 a. Gpt với m = 1 b.Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 8 : Cho pt : 2sin 2 x + sinx.cosx – cos2x + m = 0 a. Gpt với m = 1 b. Tìm m để pt có nghiệm Bài 9: Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau : 1) sin 2 x - 3 cos 2 x = -2 2) 2sin3x.cos3x + 3 cos6x = 1 3) 3 cos sin 2.x x 4) cos3 sin3 1.x x 5) 2cos sin 2x x  6)sin5 cos5 1x x   7) 2sinx – 5cosx = 4 8) 3 cos2x + sin2x = 2 9)3 2cos 2sin 2 0x x   10) 2 2cos 2sin cos 5sin 2x x x x   11) 2 23cos 2sin 2 sin 1x x x   12) 2cos 3sin 2 3x x  13) 2 4 1 sin cos 4 x x   14) 2 22sin sin cos cos 3x x x x   15) 5 cos 2 4cos 0 2 x x   16) 2 2 1 sin sin 2cos 2 2 2 x x x   Bài 10 : Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau : 1) 6 6 1 sin cos sin 4 0 2 x x x   2) 6 6 2sin cos 4cos 2x x x  3) 4 4 2 1 sin cos cos 2 2 x x x   4) sin8x + cos8x = 17 16 cos 2 2x sin 2 2sin cos .x x x 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin .x x x x x 2 1 cos 2sin . 2 x x , 2 1 cos 2 cos . 2 x x Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 14 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang 5) sin 6 x + cos 6 x = 1 4 sin 2 2x 6)4(sin 4 x + cos 4 x) + 3 sin4x = 2 7) sin 4 x + cos 4 x = sin2x - 2 1 8) sin 4 x + cos 4 x = cos4x 9) 6 6 2 13 cos sin cos 2 8 x x x  10) 6 6 8 8sin cos 2(sin cos )x x x x   11) 6 62(sin cos ) sin cos 0 2 2sin x x x x x     12) 4 44(sin cos ) sin 4 2 0x x x    13) 3 3sin cos cos2x x x  14) 3 3sin cos cos 2 2cos sin x x x x x    Bài 11: Giải các phƣơng trình sau : 1). 3(cosx + sinx) + 2sin2x + 3 = 0 2). (1 + 2 )(sinx + cosx) – 2sinx.cosx - 1- 2 = 0 3). sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x 4). sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x + sin 2 4x = 2 5).sin2x = 12(sinx + cosx – 1) 6).3(sinx + cosx) = 2 sin2x 7) .sinx + cosx – 2sinx.cosx = 1 8).cosx + 1 cos x + sinx + 1 sin x = 10 3 9). sin cosx x + 4sin2x = 1 10).3sin2x + cosx = 11 13 .cos3x Bài 12 :Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau : 1) sin 3 x + 2cosx – 2 + sin2x = 0 2) 2sin3x – cos2x + cosx = 0 3) 2sin 3 x + cos2x = sinx 4) tgx + tg2x – tg3x = 0 5) tg 3 (x - 4  ) = tgx – 1 6) 8cos3(x + 3  ) = cos3x 7) 1 cos . 2sin x x - sin 2 . 1 cos x x = 0 8) 3 – 4cos2x = sinx(2sinx + 1) 9) 1 cos 4 sin 4 . 2sin 2 1 cos 4 x x x x 10) cos 3 x - sin 3 x = sinx – cosx 11) tg 2 x = 1 cos . 1 sin x x 12) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx 13) (1 2sin )cos 3 (1 2sin )(1 sin ) x x x x     14) 2 3cos cos sin 0x x x   15)sin 3 cos 2sin( ) 3 x x x     16) 4 1 3 7 4cos cos 2 cos 4 cos 2 4 2 x x x x    17) 2 2 1 tan cot 3 sin 2 x x x    18) 5 3 22sin 2sin cos cos2 sin 0x x x x x    19) 2 2 1 8 1 2cos cos ( ) sin 2 3cos( ) sin 3 3 2 3 x x x x x         20) 2 2 2 2 sin sin 2 2 sin 2 sin x x x x   21) 1 1 7 4sin( ) 3sin 4 sin( ) 2 x x x       22) 3 3sin cos cos 2 tan( ) tan( ) 4 4 x x x x x       Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 15 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang 23)sin(3 ) sin 2 .sin( ) 4 4 x x x      24) 2cos cos2 cos3 5 7cos2x x x x  25) 2 2 2 2sin sin 3 cos cos 3x x x x   26) 6 6 8 8sin cos 2(sin cos )x x x x   27) 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin3 6 2 cos 1 0x x x x    28) 8 8 17 sin cos 32 x x  29) 3 2cos cos 2sin 2 0x x x    30) 2 2tan .sin 2sin 3(cos2 sin cos )x x x x x x   31) 1 1 2sin3 2cos3 sin cos x x x x    32) 4(sin3 cos2 ) 5(sin 1)x x x   33) 3sin 4sin cos 0x x x   34)sin(3 ) sin 2 .sin( ) 4 4 x x x      35) 3 3 3sin .cos3 cos .sin3 sin 4x x x x x  36)1 tan .tan 2 cos3x x x  37) 2 2 2 3 1 4cos .cos .cos 2 2 4 x x x  38) 22 4sin 2cos2 (1 2sin )x x x   39) 3 32sin sin 2cos cos cos2x x x x x    40) 4 4sin cos 1 2sin 2 2 x x x   41) 1 2 tan cot 2 2sin 2 sin 2 x x x x    42) 6tan 5cot3 tan 2x x x  43) 1 2(cos sin ) tan cot 2 cot 1 x x x x x     44) 4cos 2cos2 cos4 1x x x   45) 2 1 cos 2 1 cot 2 sin 2 x x x    46) 21 2sin 3 2 sin sin 2 1 2sin cos 1 x x x x x      47) 1 1 2 cos sin 2 sin 4x x x   48) 2 2 1 1 sin sin 0 sin sin x x x x     49) 2 2 2 2(1 cos ) (1 cos ) 1 sintan .sin tan 4(1 sin ) 2 x x x x x x x         50) cos3 4cos2 3 4 0x x cox    51) sin .cot 5 1 cos9 x x x  52) 5 7 sin(2 ) 3cos( ) 1 2sin 2 2 x x x        53) 2 4 cos cos 3 x x  54) 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x  55) 2 2 21 sin 4 cos 6 sin(10 ) 2 x x x     56) 2 2 17 sin 2 cos 8 sin( 10 ) 2 x x x     57) 632cos 1 cos6x x  58)1 cos cos2 cos3 0x x x    59) 4sin 2 3cos2 3(4sin 1)x x x   60) cos cos3 2cos5 0x x x   61) sin 3 sin 5 3 5 x x  62) 2 3cos10 2cos 4 6cos3 cos cos 8cos cos 3x x x x x x x    63) 2 3cos sin cos 0x x x   64) 3 3cos sin sin 2 sin cosx x x x x    65) 32sin cos2 sin 0x x x   66)sin3 sin sin 2 0x x x   67) 2 3sin cos sin 0x x x   68) 2(2sin 1)(2cos2 2sin 1) 3 4cosx x x x     69) 2sin (1 cos ) 1 cos cosx x x x    70) cos cos2 cos3 cos4 0x x x x    Tài liệu phụ đạo HS yếu kém lớp 11 phần phương trình lượng giác - 16 - Biên soạn Ths Phan Thạch Đa – THPT Long Mỹ - Hậu Giang 71) ( ) 2 1 )3cos1)(2cos1(cos1  xxx 72) 2 2 sin( ).cos 1 12 x x   73) ) 2 sin(2 cossin 2sin cot 2 1     x xx x x 73) ( )2 2 2 1 cos cos sin +1 3 3 2 x x x                 73) xx xx 2sin 2 1 cos2) 2 cos 2 (sin3 33  75) 2 2 2009 cos 2 2 2 sin 4 4cos sin 4sin cos x x x x x x            76) 3 34sin x.c 3x 4cos x.sin3x 3 3c 4x 3os os   ) Cho phương trình 3 3cos sinx x m  (1) a) Giải phương trình khi m=-1 b) Tìm m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm ; 4 4 x         78) 1 2(cos sin ) tan cot 2 cot 1 x x x x x     79) 2sin 2x 4sin x 1 0. 6          80) ( )2cos2 cos 2 tan 1 2x x x   81) 1 1 sin 2x sin x 2cot 2x 2sin x sin 2x     82) tan tan .sin3 sinx +sin2x 6 3 x x x                83)9sin 6cos 3sin 2 os2 8x x x c x    84) 2tan 2 cot 8cosx x x  85) cos2x 2sin x 1 2sin xcos2x 0    86) 2 sin 2 1 3 cos 4 1 22 xx  87) (1 2sin x)cosx 3 (1 2sin x)(1 sin x)     88) Tìm nghiệm ( ;3 ) 2 x    của phương trình: 9 11 sin(2 ) cos( ) 1 2sin 2 2 x x x        89) ( )22cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x    90) 22 3 cos2 sin 2 4cos 3x x x   91) os3 2 os2 1 2sin sin 2c x c x x x   92) 2 2cot 8cos 3sin 2x x x  93) 2 1 sin 8cos x x   94)Tìm tham số m để pt: 4 42(sin os ) cos4 4sin cos 0x c x x x x m     có ít nhất một nghiệm thuộc 7 3 [ ; ] 12 4   95) 1 sin 1 cos 1x x    96) 2 3 4 2sin 2 2 3 2(cot 1) cos sin 2 x x x x      97) 2 cos 1 2(1 sin )(tan 1) sin cos x x x x x      98) 3 3 5 5sin cos 2(sin cos )x x x x   99) 2 2 ( 3 2)cos 2sin ( ) 2 4 1 4sin 1 2 x x x       100) 2 2 cos 2 1 3 7 tan( ) 3cot ( ) cos 2 2 x x x x        101) 2 2 3 4sin 3 cos 2 1 2cos (