Tài liệu luyện thi: Giải tích - Phần 2

§6 HÀM SỐ MŨ và HÀM SỐ LÔGARÍT -----o O o----- ☻ Tóm tắt lý thuyết: ◙ Hàm số mũ: ● Tính chất của lũy thừa: ▪ Về cơ số; khi xét lũy thừa : + xác định " a Î . + xác định khi a ≠ 0 + xác định khi a > 0. ▪ ▪ xác định khi . ▪ xác định "x Î . ▪ Tính chất: * . * ; * * . ● Hàm số mũ: ▪ Hàm số mũ y = ax có tập xác định là ; tập giá trị là ; liên tục trên . ▪ Khi a > 1 hàm số y = ax đồng biến trên . ▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = ax nghịch biến trên . ▪ a0 = 1 "a ¹ 0 , a1 = a , ax > 0, "x Î . ▪ Khi a > 1: ; . ▪ Khi 0 < a < 1: ; . ▪ a > b > 0: ax > bx Û x > 0 và ax < bx Û x < 0. (Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và để nhớ các tính chất ) ◙ Hàm số logarit: F Chú ý: Khi xét phải chú ý điều kiện ▪ Cho 0 0: logax = y Û a y = x. ▪ ( n > 0 ) ; ("m Î ); loga1 = 0 ; . ▪ loga(x1.x2) = logax1 + logax2 và = logax1 logax2 ( x1; x2 > 0 ). ▪ logaxa = a.logax và (x > 0). ▪ Đổi cơ số: hay logax = logab.logbx ▪ logab = và . ▪ Hàm số y = logax xác định và liên tục trên (0 ;+ ∞ ). ▪ Khi a > 1 hàm số y = logax đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ). ▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = logax nghịch biến trên ( 0; + ∞ ). ▪ Nếu a > 1: . ▪ Nếu 0 < a < 1: . (Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất ) ☻ Các dạng toán: 1. Chứng minh, tính, so sánh: * Ví dụ 1: Đơn giản biểu thức * Ví dụ 2: Không dùng máy tính và bảng số, hãy tính Từ đó hãy tìm hai số a, b để và * Ví dụ 3: Chứng minh * Ví dụ 4: Tìm tập xác định của hàm số . * Ví dụ 5: Tính: ⓐ ; ⓑ ⓒ * Ví dụ 6: ⓐ Cho tính . ⓑ Cho Tính theo a và b. ⓒ Cho Tính theo a, b và c. * Ví dụ 7: Biết log1227 = a , tính log616 theo a. * Ví dụ 8: Tính với x = 2009! = 1.2.3.42009. * Ví dụ 9: ⓐ Cho hàm số chứng minh rằng ⓑ Cho hàm số . Chứng minh ⓒ Cho hàm số Chứng minh 2. Phương trình và bất phương trình mũ: ▪ Phương trình ax = b có nghiệm Û b > 0. ▪ af(x) = ag(x) Û f(x) = g(x) (0 < a ¹ 1) ▪ Nếu a > 1 thì: af(x) > ag(x) Û f(x) > g(x). ▪ Nếu 0 ag(x) Û f(x) < g(x). ▪ af(x) = b Û f(x) = logab. ▪ af(x) 0) Û nếu a > 1; nếu 0 < a < 1. ▪ af(x) > b Û a) Phương pháp logarit hóa: Để làm cho ẩn số không nằm ở số mũ lũy thừa, ta có thể logarit hai vế theo cùng một cơ số. ▪ Ví dụ 1: Giải phương trình 2x + 3 = 5x ▪ Ví dụ 2: Giải phương trình . ▪ Ví dụ 3: Giải phương trình 7x + 7x + 1 + 7x + 2 = 5x + 5x + 1 + 5x + 2 . ▪ Ví dụ 4: Giải phương trình . b) Phương pháp đặt ẩn phụ: ▪ Ví dụ 1: Giải bất phương trình ≤ 0. ▪ Ví dụ 2: Giải pt: . ▪ Ví dụ 3: Giải bất phương trình . c) Phương pháp hàm số: ▪ Ví dụ: Giải phương trình : 3x + 4x = 5x. d) Bài tập làm thêm: 1) Giải bất phương trình . 2) Giải phương trình . 3) Giải phương trình : 4x = 2.14x + 3.49x Bài tập: ① Giải hệ phương trình: . ② Giải bất phương trình: . ③ Giải phương trình: . ④ Giải phương trình: . ⑤ Giải phương trình: 3. Phương trình, bất phương trình logarit: ▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. logab có nghĩa Û 0 0 . ▪ ( b > 0 ; 0 < a ¹ 1 ) .▪ loga b2k = 2k.loga|b| với k Î Z . ▪ loga x1 = loga x2 Û x1 = x2 . ▪ loga f(x) ≥ loga g(x) Û (a 1)(f(x) g(x)) ≥ 0 ▪ a) Phương pháp logarit hóa và đưa về cùng cơ số: ▪ Ví dụ 1: Giải phương trình: log2x + log3x + log4x = log10x. ▪ Ví dụ 2: Giải phương trình . ▪ Ví dụ 3 : Giải pt : logx(x + 6) = 3. b) Phương pháp biến đổi hoặc đặt ẩn phụ: ▪ Ví dụ 1: Giải phương trình . ▪ Ví dụ 2: Giải pt: log3(3x 1).log3(3x + 1 3) = 6. ▪ Ví dụ 3: Giải bất pt : . Bài tập: ① Cho phương trình . ② Giải bất phương trình: . ③ Giải bất phương trình: ④ Giải bất phương trình: . ⑤ Giải bất phương trình: . ⑥ Giải hệ: . ⑦ Giải bất phương trình: . ⑧ Giải phương trình: . ⑨ Giải hệ: ⑩ Giải phương trình . ⑪ Giải hệ phương trình: §7 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM. ① Khái niệm nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K F’(x)= f(x), . ▪ ▪ . ▪ ② Bảng các nguyên hàm: Cho k, b là các số thực ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ③ Một số phương pháp tìm nguyên hàm: ⓐ Phương pháp phân tích và sử dụng bảng nguyên hàm: F Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu các hàm số mà ta đã biết nguyên hàm. ð Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: ⓑ Phương pháp đổi biến số: Nếu mà dễ tìm thì ta thực hiện các bước sau: + Đặt . + Tìm . + . + Tìm . ð Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: . ⓒ Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: F ð Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau: ④ Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: Ⓐ Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ: ▪ Nếu bậc của P(x) > bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức P(x) cho Q(x). ▪ Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) ta phân tích Q(x) thành nhân tử sau đó ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức bẳng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp giá trị riêng. Ví dụ như: F Đối với ta chia ba trường hợp: i) Nếu tam thức có hai nghiệm thì ta sử dụng công thức (1) ở trên để phân tích. ii) Nếu tam thức có nghiệm kép thì Chú ý rằng 2ax+ b là đạo hàm của ax2+bx+c iii) Nếu tam thức vô nghiệm thì chọn k > 0 thì sau đó sử dụng PP đổi biến số với Với → đặt ð Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: Ⓑ Nguyên hàm của hàm số vô tỉ: ▪ → ▪ → đặt ▪ → đặt ▪ → đặt ▪ → đặt ▪ → dùng pp tích phân từng phần. ▪ → đặt ð Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau: Ⓒ Nguyên hàm của hàm số lượng giác: trong đó f(x) là hàm số lượng giác. Ta dùng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Như: ▪ Các công thức hạ bậc nâng cung, công thức nhân đôi, công thức biến đổi, ▪ ▪ ▪ ● Khi + (hàm lẻ đ/v sinx) F + (hàm lẻ đ/v cosx) F + (hàm chẵn theo sinx và cosx) F hoặc . ● Ngoài ra ta có thể đưa tích phân hàm số lượng giác về tích phân hàm số hữu tỉ bằng phép đặt , khi đó ð Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau: TÍCH PHÂN. F Định nghĩa: Cho hàm số liên tục trên K và thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F Các phương pháp túnh tích phân: Ta cần tính Để tính tích phân ta có thể phân tích f(x) thành tổng (hiệu) các hàm số có mặt trong bảng nguyên hàm sau đó dùng định nghĩa để tính. ⓐ Đổi biến số: Dạng 1: Nếu mà hàm số có nguyên hàm là G(t) dễ tìm hơn hàm số thì ta thực hiện theo các bước sau: Đặt , tính Đổi cận Khi đó ● Dạng 2: * Đặt * Đổi cận giải PT tìm ; * trong đó Dạng 2 thường gặp các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến hoặc ⓑ Tích phân từng phần: Sử dụng công thức ð Ví dụ và bài tập: Tính các tích phân sau: F Một số bài toán tích phân đặc biệt: ① Nếu là hàm số lẻ và liên tục trên thì: . ② Nếu là hàm chẵn và liên tục trên thì: . ③ Nếu là hàm số liên tục trên đoạn thì: ⓐ . ⓑ . ④ Nếu là hàm số chẵn và liên tục trên thì ▪ Ngoài ra ta còn có thể dùng tích phân liên kết để giải các bài toán về tích phân. ð Ví dụ và bài tập: Tính các tích phân sau: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN. Ⓐ Tính diện tích hình phẳng: ● Công thức: + Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường với các hàm số liên tục trên là: + Diện tích hình phẳng gới hạn bởi các đường ; với các hàm số liên tục trên là: F Để tính diện tích hình (H) cần xác định đủ phương trình 4 đường trong đó có 2 đương y= và hai đường x = Ⓑ Tính thể tích vật thể: ● Công thức: ▪ Vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a, x = b; có diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm x (a < x < b) là S(x) có thể tích được tính theo công thức: ▪ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi hình (H) giới hạn bởi các đường , trục hoành, x = a, x =b quay quanh trục Ox là: ▪ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi hình (H) giới hạn bởi các đường , trục hoành, y = a, y =b quay quanh trục Oy là: ð Ví dụ và bài tập: ① Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1) . 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) (ĐH k.A − 2002) 14) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): và hai tiếp tuyến của (P) tại các điểm A(1; 2), B(4;5). 15) Cho parabol (P): và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm A, B sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất. ② Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0, x = 3, biết rằng thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x < 3) là một hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài là x và . ③ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) b) c) d) e) f) . g) ④ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Oy mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) b) CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH TRONG CÁC NĂM QUA −−−−−−−− ▪ Khối B − 2002: Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường: ▪ Khối A−2003: ▪ Khối B − 2003: ▪ Khối D − 2003: I= ▪ Khối A − 2004: I = ▪ Khối B − 2004: I = ▪ Khối D − 2004: I = ▪ Khối A − 2005: I = ▪ Khối B − 2005: I = ▪ Khối D − 2005: I = ▪ Khối A − 2006: I = ▪ Khối B − 2006: I = ▪ Khối D − 2006: I = ▪ Khối A − 2007: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường ▪ Khối B − 2007: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường . Tính của thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. ▪ Khối D − 2007: ▪ Khối A − 2008: ▪ Khối B − 2008:. ▪ Khối A − 2009: Tính tích phân: ▪ Khối B − 2009: Tính tích phân: ▪ Khối D − 2009: