Tài liệu luyện thi: Giải tích - Phần 1

§1 HÀM SỐ ------------ Ⓐ Lý thuyết: I. Định nghĩa hàm số: ① Định nghĩa: Cho hai tập hợp X, Y R (X, Y ). Hàm số đi từ tập X vào tập Y là một qui tắc cho tương ứng với mỗi giá trị x X với một giá trị duy nhất y Î Y. ▪ được gọi là biến số hay đối số. ▪ là giá trị của hàm số tại 0 . ▪ X được gọi là tập xác định của hàm số. ② Tập xác định của hàm số: Nếu hàm số được cho bởi công thức mà không nói rõ tập xác định thì tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của làm cho tất cả các phép toán có mặt trong biểu thức đồng thời có nghĩa. . ③ Tập giá trị của hàm số: Cho hàm số có tập xác định là D. Tập giá trị của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của với D. T = { / } hay T = { R / phương trình có nghiệm trong D} ④ Đồ thị của hàm số: Giả sử hàm số có tập xác định là D. Trong mặt phẳng Oxy, đồ thị (C) của hàm số là tập hợp tất cả các điểm với D. (C) = (C) Û và thỏa mãn biểu thức . II. Các tính chất của hàm số: ➊ Hàm số chẵn - hàm số lẻ: Cho hàm số có tập xác định là D. ⓐ Hàm số được gọi là hàm số chẵn Û ⓑ Hàm số được gọi là hàm số lẻ Û F Chú ý: Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. ➋ Tính đơn điệu: Cho hàm số xác định trên K (K là khoảng, đoạn, nửa khoảng). ▪ Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu ▪ Hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu III. Hàm số hợp: Cho hàm số và hàm số . Hàm số được gọi là hàm số hợp của các hàm số và (theo thứ tự đó). VD: Hàm số là hàm số dạng . Hàm số là hàm số dạng . Ⓑ Các dạng toán: F Để tìm tập xác định của hàm số ta tìm tập hợp tất cả các giá trị của làm cho tất cả các biểu thức có mặt trong có nghĩa. F Để tìm tập giá trị của hàm số ta tìm tập hợp các giá trị của để phương trình có nghiệm thuộc tập xác định của . ▪ Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: ⓐ ⓑ ▪ Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của các hàm số: ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ Bài tập: Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số: i) ii) iii) §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ − HÀM SỐ LIÊN TỤC −−−−−−−−−− Ⓐ Lý thuyết: ① Một số định lý: ⓐ Giả sử . Khi đó ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ; (với có nghĩa) → Định lý vẫn đúng khi thay bởi hoặc . ⓑ Giả sử ta có ⓒ ⓓ Bài toán cơ bản về giới hạn dạng : Cho hai đa thức trong đó m, n là các số nguyên dương. Hãy tìm các giới hạn: và F Giải: Tính . Có ba trường hợp xảy ra: n > m: Khi đó Do nên ta có n = m: Bằng cách tương tự ta có n < m: ② Tính chất của hàm số liên tục: Nếu hàm số liên tục trên và thì phương trình có ít nhất một nghiệm trên . Ⓑ Các dạng toán: ① Tìm các giới hạn: ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ ② Tìm giới hạn: với a là một số nguyên dương. (đổi biến) ③ Tìm giới hạn ④ Tìm các giới hạn: ⓐ ⓑ ⑤ Tìm các giới hạn: ⓐ ⓒ ⓓ ⓔ ⑥ Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm phân biệt. Bài tập: ① Tìm các giới hạn sau: ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ ② Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng . §3 TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ −−−−−−−−−− Ⓐ Lý thuyết: ① Điều kiện đủ mở rộng để hàm số đơn điệu: ▪ Nếu (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số tăng (đồng biến) trên I. ▪ Nếu (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số giảm (nghịch biến) trên I. ▪ Cho hàm số tăng trên . Nếu liên tục trên thì tăng trên . ▪ Cho hàm số giảm trên . Nếu liên tục trên thì giảm trên . ● Điểm tới hạn: Cho hàm số xác định trên khoảng và ; điểm được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại không xác định hoặc . Ü Chú ý: Các điểm tới hạn chia tập xác định của hàm số thành những khoảng trong đó đạo hàm giữ nguyên một dấu. ② Cực trị: ▪ Điều kiện cần: Nếu hàm số có đạo hàm tại và đạt cực trị tại thì ta có ▪ Điều kiện đủ 1: đổi dấu khi đi qua . + Từ âm sang dương → cực tiểu. + Từ dương sang âm → cực đại. ▪ Điều kiện đủ 2: * → là điểm cực đại. * → là điểm cực tiểu. Ⓑ Các dạng toán: 1. Xét chiều biến thiên của hàm số: ð Ví dụ: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: ⓐ ⓑ ⓒ ⓓ 2. Xác định điều kiện để hàm số tăng (giảm) trên các khoảng: F Muốn xác định điều kiện để hàm số tăng (giảm) trên , ta thực hiện theo các bước sau: ① Tìm điều kiện để hàm số xác định trên . ② Tìm đạo hàm của hàm số. ③ Tìm điều kiện để . (Chú ý dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm). Điều kiện cần tìm là giao của các điều kiện ở ① và ③ . ðVí dụ : ⓐ Định m để hàm số tăng trên R. ⓑ Định m để các hàm số sau tăng trên mỗi khoảng xác định của chúng: i) . ii) . ⓒ Cho hàm số . Tìm m để hàm số tăng trên . Bài tập: ① Tìm m để hàm số đồng biến trên . ② Tìm m để hàm số giảm trong từng khoảng xác định của nó. 3. Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức: F Để chứng minh một bất đẳng thức, ta biến đổi BĐT về dạng sau đó ta cần chứng tỏ là hàm số tăng trên . Nếu bất đẳng thức được biến đổi về dạng () thì ta cần chứng tỏ hàm số giảm trên . ð Ví dụ: ⓐ Chứng minh rằng nếu thì . ⓑ Chứng minh rằng nếu thì . ⓒ Chứng minh rằng Bài tập: ① Chứng minh rằng . ② Chứng minh rằng: 4. Sử dụng đạo hàm để giải phương trình -hệ phương trình: ▪ Tính chất 01: Nếu hàm số tăng (hoặc giảm) trên thì . ▪ Tính chất 02: Nếu hàm số tăng (hoặc giảm) trên thì phương trình có không quá một nghiệm trong . ð Ví dụ: ⓐ Giải phương trình . ⓑ Tìm các nghiệm âm của phương trình . ⓒ Tìm các cặp số là nghiệm của hệ phương trình: . Bài tập: ① Giải phương trình . ② Giải phương trình . ③ Giải hệ phương trình . ④Giải hệ phương trình: . ⑤ Giải hệ . 5. Cực trị của hàm đa thức: ● Hàm số ▪ ▪ Hàm số có cực trị Û pt có hai nghiệm phân biệt Û ▪ Nếu là nghiệm của pt thì để tính ta làm như sau: + Chia cho ® . + Khi đó , do nên ; tương tự F Tọa độ hai điểm cực trị thỏa mãn phương trình đường thẳng nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là . ð Ví dụ 1: Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm . ð Ví dụ 2: Cho hàm số Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị. (Đề thi ĐH khối B năm 2002). ð Ví dụ 3: Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa . ð Ví dụ 4: Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Bài tập: ① Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. (ĐH khối B − 2007) ② Cho hàm số . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. (ĐH khối A − 2002) ③ Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều. 6. Cực trị hàm phân thức: ▪ Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác . ▪ Với hàm phân thức nếu x1 là điểm cực trị của hàm số thì ta có thể tính giá trị cực trị theo công thức và phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là . ð Ví dụ 1: Cho hàm số ⓐ Xác định để hàm số có cực đại và cực tiểu. ⓑ Khi hàm số có cực đại và cực tiểu . CMR: ð Ví dụ 2: Cho hàm số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông. (ĐH khối A − 2007) ð Ví dụ 3: Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m hàm số có hai cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là một hằng số không phụ thuộc vào m. Bài tập: ① Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng . (ĐH khối B − 2005). ② Gọi là đồ thị của hàm số . Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đến tiệm cận xiên của bằng . ③ Cho hàm số . Tìm m để hàm số có hai cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10. ④ Cho hàm số . Gọi yCĐ và yCT là các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số. Tìm m để |yCĐ − yCT| = 4. ⑤ Cho hàm số . Tìm m để |yCĐ − yCT| < 12. ⑥ Cho hàm số . Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số nằm hai phía của trục Ox. §4 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Ⓐ Lý thuyết: 1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) có tập xác định là D. ▪ Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f trên tập D nếu: i.) f(x) M, x D. ii.) x0 D: f(x0) = M. ▪ Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của f trên tập D nếu: i.) f(x) m, x D. ii.) x0 D: f(x0) = m. 2. Các phương pháp: ① Sử dụng đạo hàm: a) Lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó để kết luận. b) Nếu tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn thì ta có thể thực hiện như sau: + Tìm đạo hàm . + Tìm các điểm tới hạn của trên đoạn . + Tính các giá trị + Số lớn nhất trong các số là GTLN cần tìm. Số nhỏ nhất trong các số là GTNN cần tìm. ② Tìm tập giá trị: Để tìm GTLN−GTNN của hàm số trên tập D ta có thể tìm tập giá trị của trên D Þ GTLN−GTNN. ③ Sử dụng bất đẳng thức: ▪ Bước 1: Xác lập bất đẳng thức dạng M ( m) với m, M là hằng số. ▪ Bước 2: Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào. ▪ Bước 3: Kết luận. F Để xác lập bất đẳng thức ta có thể sử dụng: + Bất đẳng thức Cô−si: Với hai số không âm a, b ta có: Với ba số không âm a, b, c ta có: + Các hằng đẳng thức: . + Phương pháp tam thức bậc hai: + Các bất đẳng thức tam giác, véctơ: . 3. Chú ý: Một số sai lầm khi tiến hành giải bài toán tìm GTLN - GTNN: 1. Tìm GTNN của hàm số y = (x2 + 1)2 + 4. Nếu giải: Vì (x2 + 1)2 0 nên y 4. Vậy GTNN của y là 4. F Ở đây, kết luận như thế là sai. Trong định nghĩa chỉ có i.) được thỏa còn ii.) thì không: dấu đẳng thức không tồn tại vì phương trình (x2 + 1) = 0 vô nghệm. 2. Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm GTNN của T = . Một học sinh giải như sau: Vì x, y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta được: T = . Vậy GTNN của T là 2. F Sai lầm ở đây tương tự như câu 1. vì đẳng thức xảy ra khi (xy)2 = 1 xy = 1 x(1 − x) = 1 x2 − x + 1 = 1 vô nghiệm. 3. Cho x 6. Tìm GTNN của y = . Một học sinh giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: y = . mà x 6 y . Vậy GTNN của y là . F Sai lầm ở đây là dấu “=” của hai lần sử dụng bất đẳng thức không đồng thời xảy ra (x2 = và x = 6). 4. Tìm GTNN của y = sin2x − 6sinx + 5. Một học sinh giải: Đặt t = sinx thì y = f(t) = t2 − 6t + 5. Do đồ thị của f(t) là một parabol lõm nên f đạt GTNN tại đỉnh S(3;−4) khi t = 3. Vậy GTNN của y là − 4. F Sai lầm ở đây là do lúc đặt ẩn mới, học sinh đã để thiếu điều kiện t [−1;1]. Để ý rằng t = 3 sinx = 3 vô nghiệm. Ⓑ Các dạng toán: 1. Tìm GTLN − GTNN của hàm số: ð Ví dụ 1: ①Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . ②Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số . ③ Trong tam giác ABC, tìm GTNN của . ④ Cho . Tìm GTLN−GTNN của . → Sử dụng ⑤ Cho , tìm GTNN của → Đặt ; xét hàm số . 2. Ứng dụng GTLN − GTNN giải bài toán về đơn điệu: ð Ví dụ và bài tập: ① Cho hàm số . Tìm m để hàm số nghịch biến trên . ② Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên . ③ Xác định m để hàm số đồng biến trên . ④ Xác định m để hàm số nghịch biến trên . 3. Ứng dụng GTLN − GTNN để biện luận số nghiệm của phương trình và bất phương trình: y x O a b m m m µ Mệnh đề bổ sung: Giả sử hàm số liên tục trên D và đạt GTLN, GTNN trên miền D. Khi đó: ① Phương trình có nghiệm trên D Û ≤ m ≤ . ② Hệ có nghiệm Û m ≤ . ③ Bất phương trình nghiệm đúng với mọi Û m ≤ . ④ Hệ có nghiệm Û m ≥ . ⑤ Bất phương trình nghiệm đúng với mọi Û m ≥ . ð Ví dụ và bài tập: ① Tìm m để phương trình có nghiệm. ② Cho phương trình . Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. (ĐH khối B − 2004) ③ Cho phương trình . Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt. ④ Cho phương trình . Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. ⑤ Cho bất phương trình . Tìm m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi . ⑥ Cho bất phương trình . Tìm m để bất phương trình đã cho có nghiệm. ⑦ Cho bất phương trình . Tìm m để bất phương trình đã cho đúng với mọi x. §4 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ ● Đồ thị của hàm số: Đồ thị của hàm số trên tập D là tập hợp tất cả các điểm , của mặt phẳng tọa độ. ð Cho (C): ; M(x;y) thuộc (C) . ● Công thức chuyển tọa độ: Cho I(x0;y0) công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo là: ● Vài phép biến đổi đồ thị đơn giản: ð Đồ thị hàm số và đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục hoành. ð Biết đồ thị hàm số , suy ra được đồ thị hàm số như sau: + Vẽ thêm đồ thị hàm số (lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục hoành) + Xóa bỏ phần đồ thị của hai hàm số phía dưới trục hoành. ð Biết đồ thị hàm số , suy ra đồ thị hàm số như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị ứng với Bỏ phần đồ thị hàm số phần bên trái trục tung. + Lấy đối xứng phần vừa vẽ qua trục tung. ● Ví dụ và bài tập: ① C/ minh rằng đồ thị hàm số: nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. ② Cho hàm số ⓐ Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. ⓑ Vẽ đồ thị hàm số ⓒ Vẽ đồ thị hàm số ③ Cho hàm số ⓐ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. ⓑ Vẽ đồ thị hàm số −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− §5 CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. Giao điểm của hai đồ thị: ● Lý thuyết: Gọi là đồ thị của hai hàm số . Điểm là điểm chung của khi & chỉ khi tọa độ của điểm thỏa hai phương trình và , tức là hay là nghiệm của hệ phương trình: . Nên hệ phương trình (1) được gọi là hệ phương trình tọa độ giao điểm của. Khi đó là nghiệm của phương trình . Phương trình (2) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của . Số nghiệm của phương trình (2) là số điểm chung của . ● Các dạng toán: ① Số điểm chung của hai đường: Cho hai đường . Hãy tìm số giao điểm của hai đường . F Số điểm chung của là số nghiệm của phương trình . ð Ví dụ: Cho . Xác định m để và cắt nhau tại ba điểm phân biệt. ② Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình F(x,m)=0: F + Viết phương trình F(x,m)=0 lại dưới dạng: . + Vẽ (thường là đã được vẽ trong các câu trước); ((d) cùng phương với Ox). +Cho m thay đổi → (d) thay đổi → số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm của phương trình F(x,m)=0. (Chú ý đến cực trị của (C)). ð Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình . Bài tập: ① Gọi là đồ thị hàm số . Chứng minh rằng đường thẳng (d): y=2x + m luôn cắt tại hai điểm phân biệt M và N. Xác định m sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất. ②Gọi (dk) là đường thẳng đi qua điểm M(0;−1) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (dk) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt. ③ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: . ④ Với giá trị nào của m đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M, N phân biệt? Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m biến thiên. II. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG: ● Lý thuyết: F Hai đường cong tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm và nghiệm của hệ PT trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó. F là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị h.số tại điểm , trong đó . F Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là: hay . ● Các dạng toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm: (Biết tọa độ tiếp điểm) F Sử dụng phương trình tiếp tuyến là Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến là k: F Giải phương trình để tìm hoành độ tiếp điểm → → ptttt. Ü Chú ý: Cho hai đường thẳng ; ta có: và . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA): F Phương trình đường thẳng Δ đi qua có hệ số góc k là hay . Khi Δ tiếp xúc đồ thị hàm số để tìm hoành độ tiếp điểm và hệ số góc k ta giải hệ: thay (b) vào (a) → , thay vào (b) → k, thay vào (1) được pttt. ð Ví dụ: ① Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng và tiếp xúc với đồ thị hàm số . ② Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm . ③ Tìm các tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đi qua . ④ Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau. Hãy tìm tọa độ tiếp điểm. ⑤ Viết phương trình tiếp tuyến với tại điểm uốn của . Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn của là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của . ⑥ Cho , viết phương trình tiếp tuyến của biết rằng tiếp tuyến này vuông góc đường thẳng . ⑦ Cho hàm số có đồ thị là . Viết phương trình tiếp tuyến với biết rằng tiếp tuyến đi qua . Bài tập: ① Cho hàm số: y = (1) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = 1. b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x ② Cho hàm số: y = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số. ③ Cho hàm số: y = (1) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. ④ a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (1) b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. ⑤Cho hàm số: y = (1) có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). b) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. ⑥ a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 2x3 9x2 + 12x 4 b)Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: ⑦ Cho hàm số: y = a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C). ⑧ Cho đường cong. a) Tìm các tiếp tuyến của đi qua . b) Gọi là đường thẳng đi qua điểm . Khi cắt tại ba điểm . Hãy tìm tập hợp trung điểm của đoạn . ⑨ Cho hàm số a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số đã cho có tọa độ nguyên. c) Chứng minh rằng, không có tiếp tuyến nào của đồ thị đi qua giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị . d) Dựa vào đồ thị hãy biện luận theo số nghiệm của phương trình: ⑩ Cho hàm số . a) Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm phân biệt . Tìm tập hợp trung điểm của đoạn . b) Tiếp tuyến tại điểm bất kỳ của cắt hai tiệm cận của tại . Chứng minh rằng là trung điểm của đoạn . ⑪ Cho hàm số có đồ thị là . a) Biện luận theo số cực trị của hàm số. b) Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn có độ dài bằng nhau. ⑫ Cho . ⓐ Tìm p.trình của tiếp tuyến với vuông góc với đ.thẳng ⓑ Chứng minh rằng trên không có 2 điểm mà tiếp tuyến với tại hai điểm này vuông góc với nhau. ⑬Cho hàm số có đồ thị là . Chứng minh rằng không tồn tại một tiếp tuyến nào của đi qua giao điểm hai đường tiệm cận của . ⑭ Tìm các điểm trên Oy sao cho từ mỗi điểm ấy ta vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến đường cong . −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH TRONG CÁC NĂM QUA −−−−−−−− ĐỀ THI NĂM 2002: Ⓐ KHỐI A: (ĐH : 2,5 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Cho hàm số: (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi . 2. Tìm k để phương trình: có ba nghiệm phân biệt. 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Ⓑ KHỐI B: (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,5 điểm) Cho hàm số: (1) (m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 . 2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. Ⓓ KHỐI D:( ĐH : 3 điểm ; CĐ : 4 điểm ). Cho hàm số: (1) ( m là tham số ). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = −1. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. 3. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x . ĐỀ THI NĂM 2003: Ⓐ KHỐI A: (2 điểm) Cho hàm số (1) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. Ⓑ KHỐI B: (2 điểm). Cho hàm số (m là tham số). 1) Tìm để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2. Ⓓ KHỐI D: (2 điểm). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2) Tìm để đường thẳng cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. ĐỀ THI NĂM 2004: Ⓐ KHỐI A: (2 điểm) Cho hàm số (1). 1) Khảo sát hàm số (1). 2) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1. Ⓑ KHỐI B: (2 điểm) Cho hàm số (1) có đồ thị (C). 1) Khảo sát hàm số (1). 2) Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng Δ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Ⓓ KHỐI D: (2 điểm) Cho hàm số (1) với m là tham số. 1) Khảo sát hàm số (1) khi m = 2. 2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. ĐỀ THI NĂM 2005: Ⓐ KHỐI A: (2 điểm) Gọi là đồ thị của hàm số (m là tham số) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi 2) Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đến tiệm cận xiên của bằng . ⒹKHỐI D: (2 điểm) Gọi là đồ thị của hàm số m là tham số. 1) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2. 2) Gọi M là điểm thuộc có hoành độ bằng −1. Tìm m để tiếp tuyến với tại M song song với đường thẳng . ĐỀ THI NĂM 2006: Ⓐ KHỐI A: (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . 2. Tìm m để p.trình sau có 6 nghiệm phân biệt: . Ⓓ KHỐI D: (2 điểm) Cho hàm số . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. ĐỀ THI NĂM 2007: Ⓐ KHỐI A: (2 điểm) Cho hàm số (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m =−1. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. Ⓑ KHỐI B: (2 điểm) Cho hàm số: (1), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O. Ⓓ KHỐI D: (2 điểm)Cho hàm số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng . ĐỀ THI NĂM 2008: Ⓐ KHỐI A: (2 điểm) Cho hàm số (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450. Ⓑ KHỐI B: (2 điểm) Cho hàm số . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(−1;−9). ĐỀ THI NĂM 2009: Ⓐ KHỐI A: Cho hàm số . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ . Ⓑ KHỐI B: Cho hàm số (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Với các giá trị nào của m phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ? Ⓓ KHỐI D: Cho hàm số có đồ thị là (Cm). m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0 2. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−