Đề thi chọn học sinh giỏi Bến Tre năm học 2011 – 201 môn: Toán (vòng 1) lớp 12

x2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0 Cho đa giác b  y c  nh đ  u ABCDEFG. Ch  ng minh:  AB =  AC +  AD . www.VNMATH.com Đ thi H  c sinh gi  i t nh B  n Tre 2011-2012 Môn: TOÁN VÒNG 1 www.vnmath.com Câu I Gi  i h   phương trình  x(x − 2y + 2) = −1. Câu II Tìm h   s   c  a s   h  ng x10 trong khai tri  n c  a (1 + x + x2 + x3)15. Câu III 1 1 1 Câu IV Cho các s   th  c x, y, z ∈ [0, 1]. Ch  ng minh: x2 +y2 +z2 ≤ x2y +y2z +z2x+1. Câu V Cho phương trình x2n − 3x + 2 = 0 (1) trong đó n là s   t   nhiên l  n hơn 1. 1. Ch  ng minh r  ng   ng v  i m  i n, (1) có đúng m  t nghi  m xn ∈ [0, 1]. 2. G  i (xn) v  i n = 2, 3, 4, ...  là dãy s   có đư  c theo trên. Ch  ng minh r  ng dãy s   đơn đi  u và b  ch  n. Câu VI Cho hình l  p phương ABCDA1B1C1D1 có c  nh b  ng 1; M  là đi  m di đ  ng trên đư  ng chéo BD1 c  a hình l  p phương. Tìm giá tr  nh   nh  t c  a M A + M D. 1 (x + y)3 = z  (y + z)3 = x  (z + x)3 = y. 1 + y + z2 + 1 + y2 1 + z + x2 + 1 + z2 www.VNMATH.com Đ thi H  c sinh gi  i t nh B  n Tre 2011-2012 Môn: TOÁN VÒNG 2 www.vnmath.com Câu I Ngũ giác đ  u ABCDE  có c  nh b  ng 1 có tâm là O. Phép quay tâm O v  i góc quay ϕ bi  n ngũ giác ABCDE thành ngũ giác A1B1C1D1E1. Tính di  n tích ph  n chung S c  a hai ngũ giác theo ϕ. Tìm giá tr  nh   nh  t c  a S. Câu II Gi  i h   phương trình:      Câu III Cho x, y, z là các s   th  c l  n hơn -1. Ch  ng minh: 1 + x2 1 + x + y2 ≥ 2. Câu IV Cho các dãy s   {an}, {bn} v  i n = 0, 1, 2, 3...  th  a các đi  u ki  n sau: (i) (i) a0 = b0 = 1; (ii) an+1 = an + bn v  i m  i n ∈ N; (iii) bn+1 = 3an + bn v  i m  i n ∈ N. 1. Tìm công th  c t  ng quát c  a an, bn. 2. Ch  ng minh r  ng t  n t  i m  t h  ng s   th  c k sao cho n|k.ab − bn| < 2 v  i m  i n. Câu V Tìm t  t c   các hàm s   f  : [0; +∞) → [0; +∞) th  a f (f (x)) + 7f (x) = 18x v  i m  i x ≥ 0. 2