Phân tích 1 đa thức nhân tử và các ứng dụng trong giải Toán

Mục lục A/ Đặt vấn đề ở trường phổ thông học sinh được học rất nhiều bộ môn khác nhau. Một trong những bộ môn được các em yêu thích đó là môn toán bởi lẽ nó là bộ môn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập. Việc học tốt môn toán là cơ sở để giúp các em học tốt những môn khác. Là một giáo viên dạy toán tôi thấy việc hướng dẫn các em biết cách giải đối với từng loại toán là rất cần thiết. Trong chương trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng, việc nắm vững phương pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong việc giải các bài toán khác đó là dạng toán: Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán khác như giải phương trình, rút gọn phân thức, tính giá trị của biểu thức... Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán 8 tôi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình, học sinh yếu. Ngược lại đối với học sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập. Trong tôi lúc nào cũng đặt ra một câu hỏi “làm thế nào để cho các đối tượng học sinh đều thích thú, say mê học đối với dạng toán này?". Trong phạm vi đề tài này tôi muốn đưa ra các phương pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có một kĩ năng thành thạo, phương pháp giải tốt nhất đối với dạng toán này. Vì vậy việc tập hợp hệ thống các bài toán ở dạng này là rất cần thiết đối với các đối tượng học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Qua đó giúp các em biết vận dụng dạng toán này để giải các bài toán khác. Trong chương trình đại số 8 sách giáo khoa có đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: - Đặt nhân tử chung, - Dùng hằng đẳng thức, - Nhóm các hạng tử và phối hợp các phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử. Trong thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng các phương pháp trên mà giải được. Gặp các bài như vậy thì các em lại lúng túng không biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc hệ thống các phương pháp giải đối với từng loại là rất cần thiết nó giúp các em thấy được sự đa dạng và phong phú về nội dung của từng loại toán. Đồng thời giúp cho các em có một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có một sự tìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều hứng thú khi học bộ môn toán. Với hi vọng nhỏ là làm sao cho các em học sinh có thể thực hiện được các bài toán phân tích một đa thức thành nhân tử một cách say mê và hứng thú đã giúp tôi chọn chuyên đề: “Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” B/GiảI quyết vấn đề I-Các hệ thống kiển thức cơ bản Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài toán ”Phân tích đa thức thành nhân tử ”. 1- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. 2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường a. Đặt nhân tử chung b. Dùng hằng đẳng thức Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = ( A - B)(A + B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) c. Nhóm các hạng tử d. Phối hợp các phương pháp trên 3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử b. Thêm, bớt cùng một hạng tử c. Đặt ẩn phụ d. Dùng phương pháp hệ số bất định e. Nhẩm nghiệm f. Đổi dấu một hạng tử A=-(-A) g. Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0 n n-1 h. Cho đa thức f(x) = anx + an -1x + ..... + a1x + a0 Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a0. II- Những vấn đề cần giải quyết Như đã nêu trong phần đầu các bài toán phân tích thành nhân tử được sắp xếp ở ngay đầu chương I sau các bài nhân đa thức và hằng đẳng thức, với thời lượng chỉ có 6 tiết bao gồm 5 tiết lí thuyết và 1tiết luyện tập thì các em học sinh chỉ kịp hoàn thành phần bài tập chứ chưa nói đến việc khai thác và xem xét các ứng dụng của các phương pháp phân tích đó. Để rèn kĩ năng cho học sinh trong quá trình giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tôi đã phân dạng các bài toán thành hai loại: - Bài tập thông thường và các bài tập được khai thác từ đó. - Các bài toán ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử. Phần I - Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và khai thác các kết quả của chúng I - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường (đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử . . .) Đây là các phương pháp được dùng cho các bài toán phân tích ở mức độ đơn giản. Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bước Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. x2- 3x b. 12x3 - 6x2 + 3x c. 2 x2 + 5x3 + x2y d. 14x2y - 21xy2 + 28x2y2 5 Giải a. x2- 3x = x(x - 3) b. 12x3 - 6x2 + x = 3x(4x2 -2x +3) c. 2 x2 + 5x3 + x2y = x2( 2 + 5x + y) 5 5 d. 14x2y - 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x - 3y + 4xy) Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 5x2 (x - 2y) - 15xy(x - 2y) b. x(x + y) + 4x + 4y Giải a. 5x2 (x - 2y) - 15xy(x - 2y) = (x - 2y)(5x2 - 15xy) = (x - 2y)5x(x - 3y) b. x(x + y) + 4x + 4y = x(x + y) + (4x + 4y) = x(x + y) + 4(x + y) = (x+ y)(x + 4) Nhận xét: ở hai ví dụ trên việc phân tích thức đa thức thành nhân tử ở mức độ đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức như ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 10x(x - y) - 8y(y - x) b. 5x(x - 2000) - x + 2000 Giải a.10x(x - y) - 8y(y - x) = 10x(x - y) + 8y(x - y = (x - y)(10x + 8y) =2(x - y)(5x + 4y) b. 5x(x - 2000) - x + 2000 = 5x(x - 2000) - (x - 2000) = (x - 2000)(5x - 1) Lỗi thường gặp của các em học sinh khi giải bài toán ở dạng này chính là không biết nhóm hay đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung nên cần hướng dẫn học sinh chi tiết để các em có thể thực hiện được một cách dễ dàng. Tuy nhiên trong các ví dụ đã nêu các em học sinh chỉ cần có một chút cố gắng thì sẽ thực hiện được bài toán nhưng cũng là phân tích đa thức bằng cách đặt nhân tử chung thì bài toán sau đây đòi hỏi các em phải có một cố gắng nhất định thì mới thực hiện được: Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. (a - b)x + (b - a)y - b + a b. (a + b - c)x2 - (c - a - b)x Giải: a. (a - b)x + (b - a)y - b + a = (a - b)x - (a - b)y + (a - b) = (a - b)(x - y + 1) b.(a + b - c)x2 - (c - a - b)x = (a + b - c)x2 + (a + b - c)x = (a + b - c)x(x + 1) Nhận xét: Trong hai ví dụ vừa nêu thì trong ví dụ 1 học sinh có thể biết đổi dấu ở hạng tử thứ hai từ b - a thành a - b để xuất hiện nhân tử chung nhưng đối với hạng tử thứ ba thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng không có nhân tử chung nhưng chỉ cần hướng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ có nhân tử chung, cũng bằng nhận xét tương tự như vậy ta có cách làm tương tự đối với ví dụ thứ hai. Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là cách làm thông dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp này yêu cầu học sinh phải nắm chắc bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. x2- 6x +9 b. x2- 6 c. 1- 27x3 d. x3 + 1 x3 e. -x3 + 9x2 - 27x + 27 Giải a. x2- 6x + 9 = (x-3)2 b. x2- 6 = (x- 6 ) (x+ 6 ) c. 1- 27x3 = (1 - 3x)(1 + 3x + 9x2) d. x3 + 1 = (x + 1 )(x2 - 1 + 1 ) x3 x x 2 e. -x3 + 9x2 - 27x + 27 = -(x3 - 9x2 + 27x - 27) = -(x - 3)3 ở ví dụ trên là các hằng đẳng thức đã được khai triển. Việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức, thế nhưng trong các ví dụ sau đây thì muốn áp dụng được hằng đẳng thức thì các em phải có một sự biến đổi thì mới có hằng đẳng thức. Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. (x + y)2 - 6(x + y) + 9 b. 16a2 - 49(b - c)2 c. 49(y - 4)2 - 9(y - 2)2 Giải a.(x + y)2 - 6(x + y) + 9 = (x + y)2 - 6(x + y) + 32 = (x + y - 3)2 2 2 2 2 b.16a - 49(b - c) = (4a) - 7 b c = (4a - 7b + 7c)(4a + 7b - 7c) c. 49(y - 4)2 - 9(y - 2)2 2 2 2 2 49 y 4 9 y 2 7 y 4 3 y 2 7 y 4 3 y 2 7 y 4 3 y 2 7y 28 3y 6 7y 28 3y 6 4y 22 10y 34 Ta có thể thấy trong ba ví dụ trên không khó nhưng vấn đề ở chỗ là học sinh không nhận dạng được hằng đẳng thức ngay cho nên việc phân tích sẽ gặp khó khăn vì thế trong những ví dụ dạng như thế nên hướng dẫn các em nhận dạng sau đó thì phân tích. Phương pháp thứ ba để phân tích một đa thức thành nhân tử đó là phương pháp nhóm các hạng tử. Đối với phương pháp này cần lưu ý cho học sinh khi nhóm các hạng tử phải chú đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc. Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử. a. x2 - x - y2 - y b. x2 - 2xy + y2 - z2 c. x2 - 3x + xy - 3y d. 2xy + 3z + 6y + xz Giải a, x2 - x - y2 - y b, x2 - 2xy + y2 - z2 =( x2 - y2 ) - (x + y) = (x2 - 2xy + y2) - z2 = (x + y) (x - y) - (x +y) = (x-y)2 - z2 =(x + y) (x - y - 1) = (x - y - z)(x - y + z) c, x2 - 3x + xy - 3y d, 2xy + 3z + 6y + xz =(x2 + xy) - (3x + 3y) =(2xy + 6y) + (3z + xz) =x(x + y) - 3(x + y) =2y(x + 3) + z(3 + x) =(x + y)(x - 3) =(x + 3)(2y + z) ở ví dụ này khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các phương pháp như : Nhóm các hạng tử đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức. Ví dụ 8: Phân tích đa thức thành nhân tử. a. bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b) b. a3(b2 - c 2) + b(c2- a2) + c(a2 - b2) Phương pháp chung để làm loại toán này là khai triển hai trong số ba hạng tử còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số hạng thứ ba, trong câu a ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a + b Giải a. bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b) = b2c + bc2 + c2a - ca2 - ab(a + b) = (b2c - ca2) + (bc2+ c2a) - ab(a + b) = c(b2 - a2) + c2(b + a) - ab(a + b) = c(b - a)(b + a) + c2(b + a) - ab(a + b) = (b + a)(cb - ca + c2) - ab(a + b) = (a + b)(cb - ca + c2- ab) = (a + b)[(cb + c2) - (ca + ba) = (a + b)[c(b + c) - a(c + b)] = (a + b)(b + c)(c - a) b. a3(b2 - c 2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) = a3b2 - a3c2 + b3c2 - b3a2 + c3(a2 - b2) = (a3b2 - b3a2 ) - (a3c2 - b3c2 ) + c3(a2 - b2) = a2b2(a - b) - c2(a3 - b3) + c3(a2 - b2) = a2b2 (a - b) - c2(a - b)(a2 + ab + b2) + c3(a - b)(a + b) = (a - b)(a2b2 - c2a2 - c2ab - c2b2 + c3a + c3b) = (a - b)[( a2b2 - c2b2) + (c3b - c2ab) + (c3a - c2a2)] = (a - b)[b2(a - c)(a + c) + c2b(c - a) + c2a(c - a)] = (a - b)(a - c)(b2a + b2c - c2b - c2a) = (a - b)(a - c)[(b2a - c2a) + (b2c - c2b )] = (a - b)(a - c)[ a(b - c)(b + c) + bc(b - c)] = (a - b)(a - c) (b - c)(ab + ac + bc) Chú ý:Ta có thể khai triến hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung b + c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung c - a... Câu a có thể hướng dẫn học sinh theo cách sau đây: Vì (c - a) + (a + b) = (b + c). Do vậy ta có: bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b) = bc[(c - a) + (a + b)] + ca(c - a) - ab(a + b) = bc(c - a) + bc(a + b) + ca(c - a) - ab(a + b) = [bc(c - a) + ca(c - a)] + [bc(a + b) - ab(a + b)] = (c - a)(bc + ca) + (a + b)(bc - ab) = c(c - a)(a + b) + b(a + b)(c - a) = (a + b)(b + c)(c - a) Bài tập tương tự: Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2y2(y - x) + y2z2(z - y) - z2x2(z - x) Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm như thế nào cuối cùng cũng phải đạt được mục đích là có nhân tử chung hoặc vận dụng được hằng đẳng thức đáng nhớ như vậy yêu cầu đặt ra với người thầy là hướng dẫn cho các em nhóm như thế nào cho hợp lí để xuất hiện nhân tử chung sau đó tiến hành phân tích các đa thức đó. Trên đây chúng ta vừa xem xét các ví dụ phân tích một đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường đã nêu trong SGK tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ở các phương pháp đó thì sẽ thích hợp với các em học sinh ở dạng trung bình còn đối với các em học sinh khá, giỏi thì sẽ làm cho các em nhàm chán vì vậy có thể giới thiệu thêm cho các em các phương pháp bổ sung khác để giúp cho học sinh khá giỏi tìm hiểu II - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt các hạng tử . a - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp này cho các đa thức chưa phân tích được ngay thành nhân tử. Ta tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để vận dụng các phương pháp đã biết. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a. x2 - 7x + 12 b. 4x2 - 3x - 1 Giải a. x2 - 7x + 12 Cách 1: Tách số hạng -7x thành - 4x - 3x Ta có x2 - 7x + 12 = x2 - 4x - 3x + 12 =(x2 - 4x) - (3x - 12) = x(x - 4) -3(x - 4) =(x - 4)(x - 3) Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21 - 9 Ta có x2 - 7x + 12 = x2 - 7x + 21 - 9 = (x2 - 9) - (7x - 21) = (x - 3) (x + 3) - 7(x - 3) = (x - 3) (x + 3 - 7) = (x - 3) (x - 4) Cách 3: Tách số hạng 12 thành -16 + 28 Ta có x2 - 7x + 12 = x2 - 7x + 28 - 16 = (x2 - 16) - (7x - 28) = (x - 4)(x + 4) - 7(x - 4) = (x - 4) (x + 4 - 7) = (x - 4)(x - 3) Cách 4: Tách số hạng -7x thành -6x - 3x và 12 = 9 + 3 Ta có x2 - 7x + 12 = x2 - 6x + 9 - x + 3 = (x2 - 6x + 9) - (x - 3) = (x - 3)2 - (x - 3) = (x - 3)(x - 3 - 1) = (x - 4)(x - 3) Cách 5: Tách số hạng -7x thành -8x + x và 12 = 16 - 4 Ta có x2 - 7x + 12 = x2 - 8x + 16 + x - 4 = (x2 - 8x + 16) + (x - 4) = (x - 4)2 + (x - 4) = (x - 4)(x - 4 + 1) = (x - 4)(x - 3) ..... b. 4x2 - 3x - 1 Cách 1: Tách số hạng 4x2 thành x2 + 3x2 Ta có 4x2 - 3x - 1 = x2 + 3x2 - 3x - 1 = (x2 - 1) + (3x2 - 3x) = (x - 1)(x + 1) + 3x(x - 1) = (x - 1)(x + 1+ 3x) = (x - 1)( 4x + 1) Cách 2: Tách số hạng -3x thành - 4x + x 4x2- 3x - 1 = 4x2- 4x + x - 1 = 4x(x - 1) + (x - 1) = (x - 1)(4x + 1) Cách 3: Tách số hạng -1 thành - 4 + 3 4x2 - 3x - 1 = 4x2- 3x - 4 + 3 = 4(x - 1)(x + 1) -3 (x - 1) = (x - 1)(4x + 4 - 3) = (x - 1)(4x + 1) Với bài toán này khi phân tích đa thức trên thành nhân tử có ba lời giải tương ứng với ba cách tách học sinh có thể chọn một trong ba cách. Cần tổng kết cho học sinh thấy được có nhiều cách tách hạng tử nhưng trong đó có hai cách tách thông dụng nhất đó là: - Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức: (mx + n)(px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq như vậy trong tam thức ax2 + bx + c, hệ số b được tách thành hai hạng tử b = b1 + b2 sao cho b1.b2 = ac. - Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử như trong ví dụ 1 phần a ta tách 12 = -16 + 28... - Hoặc đôi khi có thể tách một hạng tử thành 3 hạng tử để phân tích thành nhân tử... Ví dụ 2: Phân tích đa thức trên thành nhân tử a. x3 - 2x - 4 b. x3 + 8x2 + 17x + 10 Giải a. x3 - 2x - 4 =.x3 - 2x - 8 + 4 = (x3- 8) - (2x - 4) = (x - 2)(x2+ 2x + 4) -2(x - 2) b. x3 + 8x2 + 17x + 10 = x3 + x2 + 7x2 + 10x + 7x + 10 = x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1) = (x + 1)(x2 + 7x + 10) = (x + 1)(x2 + 2x + 5x + 10) = (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)] = (x + 1)(x + 2)(x + 5) Ví dụ 3: Phân tích đa thức trên thành nhân tử a. x3 + 3x2 + 6x + 4 b. x3 - 11x2 + 30x Giải a. x3 + 3x2 + 6x + 4 = x3+ x2 + 2x2 + 2x + 4x + 4 = x2(x + 1) + 2x(x + 1) + 4(x + 1) = x(x + 1)(x2 + 2x + 4) x2 + 2x + 4 = x2 + 2x + 1 + 3 = (x + 1)2 + 3 vì (x + 1)2 0  x R nên (x + 1)2 + 3 3 x2 + 2x + 4 không thể phân tích được với các hệ số nguyên. b. x3 - 11x2 + 30x = x(x2 - 11x + 30) = x(x2 - 5x - 6x +30) = x [x(x - 5) - 6(x - 5)] = x(x - 5)(x - 6) Trong phần a ta thấy vẫn còn đa thức bậc hai mà không thể phân tích được nữa. Vậy làm thế nào để biết được một đa thức có phân tích được hay không ta dựa vào định lí sau: n x - 1 Một đa thức: anx + an - 1x + ....... + a1x + a0. Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do a0. Ví dụ: Đa thức: x2 + 2x + 4 không phân tích được thành nhõn tử với cỏc hệ số nguyờn bởi vì: Nếu phân tích được thì đa thức này phải có nghiệm nguyên là ước của 4. Ta thấy Ư(4) = {± 1; ± 2; ± 4} thử các giỏ trị đó đều không phải là nghiệm của đa thức x2 + 2x + 4 nên đa thức này không phân tích được thành nhân tử với cỏc hệ số nguyờn. Nhưng thực tế đa thức đó cho vẫn cú thể phõn tớch được thành nhõn tử với cỏc kết quả hệ số là vụ tỉ: x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 - 5 = (x + 1 - 5 )(x + 1 + 5 ) b- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử: Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức cũng không thể nhóm số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng được phương pháp phân tích đã biết. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + c3 - (3a2b + 3ab2 + 3abc) = (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c) 2 2 = (a + b + c) [(a+b) - (a + b)c + c - 3ab] = (a + b + c) (a2 +2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab) 2 2 2 = (a + b + c) (a + b + c - ab - ac - bc) Trong bài toán trên ta đã thêm và bớt các hạng tử 3a2b, 3ab2 để có thể nhóm vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết. Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x5 + x4 + 1 b) x5 + x + 1 c) x8 + x7 + 1 Giải: a) x5 + x4 + 1 Ta sẽ thêm bớt các hạng tử x3, x2, x vào đa thức được: x5 + x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x - x + 1 = (x5 + x4 + x3) - (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x3 - x + 1) b) x5 + x + 1 Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x4, x3, x2 vào đa thức giống cách làm như phần a để xuất hiện nhân tử chung x2 + x + 1 5 5 4 4 3 3 2 2 Có: x + x + 1 = x + x - x + x - x + x - x + x + 1 = (x5 + x4 + x3) - (x4 + x3 + x2) + x2 + x + 1 3 2 2 2 2 = x (x + x + 1) - x (x + x + 1) + (x + x + 1) 2 3 2 = (x + x + 1) (x - x + 1) 2 2 Cách 2: Ta thêm bớt x để làm xuất hiện nhân tử chung x + x + 1 Ta có: 5 5 2 2 x + x + 1 = x + x - x + x + 1 5 2 2 = (x - x ) + (x + x + 1) 2 3 2 = x (x - 1) + (x + x + 1) 2 2 2 = x (x - 1) (x + x + 1) + (x + x + 1) 2 3 2 = (x + x + 1)(x - x + 1) c) x8 + x4 + 1 = x8 + x4 + x2 - x2 + x - x - 1 = (x8 - x2) + (x4 - x) + (x2 + x + 1) = x2 (x6 - 1) + x(x3 - 1) + (x2 + x + 1) 2 3 3 3 2 = x (x - 1)(x + 1) + x(x - 1) + (x + x + 1) = x2(x - 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1) + x(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) 2 6 5 3 = (x + x + 1)(x - x + x - x + 1) = (x2 + x + 1)[(x6 - x5 + x4) - (x4- x3 + x2) + (x2 - x + 1)] = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) (x4 - x2 + 1) Phương pháp trên có thể sử dụng đối với các đa thức có dạng : x5 + x4 + 1; x8 + x4 + 1; x10 + x8 + 1 . . . Các đa thức này đều có dạng: xm + xn + 1 trong đó m = 3k + 1; n = 3h + 2. Khi tìm cách giảm dần số mũ của luỹ thừa ta cần chú ýđến các biểu thức có dạng x6 - 1; x3 - 1 là những biểu thức chia hết cho x2 + x + 1.Những đa thức này khi phân tích thành nhân tử đều có chứa thừa số x2 + x + 1. Tuy nhiên bài toán này có thể giải được bằng cách sử dụng hằng đẳng thức đơn giản hơn như sau: x8 + x4 + 1= (x8 + 2x4 + 1) - x4 = (x4 + 1)2 - (x2)2 = (x4 + x2 + 1)(x4 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2] (x4 - x2 + 1) = [(x2 + 1)2 - x2] (x4 - x2 + 1) = (x2 + x + 1) (x4 - x2 + 1) c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp này thường áp dụng với những đa thức có dạng A(x). B(x) + C Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn được qua nhau. Ví dụ A(x) có thể viết dưới dạng của B(x) hoặc ngược lại. Ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 Giải: a) (x2 + x + 1)( (x2 + x + 2) - 12 Đặt x2 + x + 1 = y x2 + x + 2 = y + 1 Ta có y(y+1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 - 9 + y - 3 = (y - 3)(y + 3) + (y - 3) = (y - 3)(y + 3 + 1) = (y - 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + 1 ta được: (y - 3)(y + 4) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x - 2) (x2 + x + 5) = (x2 - 1 + x - 1)(x2 + x + 5) = [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5) ở trong ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x. Cuối cùng ta lại phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử. b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 Nếu để nguyên đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm: 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2 Đặt: x2 + xy + xz = m Ta có: 4m(m + xz) + y2z2 = 4m2 + 4mxz + y2z2 = (2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz ta được: (2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15 b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Giải: a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15 Đặt: x2 + x = y Ta có: y2 - 2y - 15 = y2 - 5y + 3y - 15 = y(y - 5) + 3(y - 5) = (y - 5)(y + 3) 2 Thay y = x + x ta được: (y - 5)(y + 3) = (x2 + x - 5)(x2 + x + 3) Hai đa thức x2 + x - 5 và x2 + x + 3 không phân tích được nữa. b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) - 24 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24 Đặt x2 + 7x + 10 = y ta được x2 + 7x + 12 = y + 2 y(y + 2) - 24 = y2 + 2y - 24 2 = y - 16 + 2y - 8 = (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4) = (y - 4)(y + 4 + 2) = (y - 4)(y + 6) Thay y = x2 + 7x + 10 ta được: (y - 4)(y + 6) = (x2 + 7x + 10 - 4)(x2 + 7x + 10 + 6) = (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16) = (x2 + x + 6x + 6) (x2 + 7x + 16) = [x(x + 1) + 6(x + 1)] (x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) (x2 + 7x + 16) c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Đặt x2 + 8x + 7 = y x2 + 8x + 15 = y + 8 Ta có: y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 5y + 3y + 15 = y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) Thay y = x2 + 8x + 7 ta được: (y + 5)(y + 3) = (x2 + 8x + 7 + 5)( x2 + 8x + 7 + 3) = (x2 + 8x + 12)( x2 + 8x + 10) = (x2 + 2x + 6x +12)( x2 + 8x + 10) = [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x2 + 8x + 10) = (x + 2)(x + 6)( x2 + 8x + 10) = (x + 2)(x + 6)(x + 4 - 6 )(x + 4 + 6 ) ở hai ví dụ trên ta thấy cách làm giống nhau khi phân tích các đa thức đó thành nhân tử. Ta còn có cách đặt ẩn phụ khác trong ví dụ dưới đây. Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 6 5 4 3 2 3x - 4x + 2x - 8x - 4x + 3 + 2x Nếu theo cách làm như các ví dụ trước thì với ví dụ này ta không thể phân tích được. Dễ thấy đa thức không thể có nghiệm x = 0. Vậy ta có thể biến đổi đa thức như sau: 3 2 2 4 3 2 3 3 1 2 1 1 x (3x - 4x + 2x - 8 - ) = x [3(x + ) - 4(x + ) + 2(x + ) - 8] x 2 x 3 x x 3 x 2 x3 Đặt x + 1 = t t2 = (x + 1 )2 = x2 + 2 + 1 x x x 2 x2 + 1 = t2 - 2 x 2 3 1 3 3 3 1 3 1 1 t = (x + ) = x + 3x + + = x + + 3(x + ) x x x 3 x 3 x x3 + 1 = t3 - 3t x 3 Thay x + 1 = t; x2 + 1 = t2 - 2; x3 + 1 = t3 - 3t x x 2 x 3 Ta có: x3[3(t3 - 3t) - 4(t2 - 2) + 2t - 8] = x3(3t3 - 9t - 4t2 + 8 + 2t - 8) = x3(3t3 - 4t2 - 7t) = x3t (3t2 - 4t - 7) = x3t[(3t2 - 3) - (4t + 4)] = x3t[3(t - 1)(t + 1) - 4(t + 1)] = x3t(t + 1)(3t - 3 - 4) = x3t(t + 1)(3t - 7) Thay t = x + 1 ta được x x3(x + 1 ) (3x + 3 - 7)(x + 1 + 1) = x(x2 + 1)(3x2 + 3 - 7x)(x + 1 + 1) x x x x = (x2 + 1)(3x2 - 7x + 3) (x2 + x + 1) Nói chung đây là một bài toán tương đối phức tạp đòi hỏi phải biến đổi đa thức mới đặt được ẩn phụ. Bài toán này cho ta một cách đặt ẩn phụ khác hẳn với cách đặt ẩn phụ của các ví dụ trước. d- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất định: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức bậc nhất, một đa thức bậc 2. x3 - 19x - 30 Giải: Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích được đa thức trên thành 2 đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài. Ta có: x3 - 19x - 30 = x3 + 8 - 19x - 38 = (x3 + 8) - 19(x + 2) = (x+ 2)(x2 - 2x + 4) - 19(x + 2) = (x + 2)( x2 - 2x + 4 - 19) = (x + 2)(x2 - 2x - 15) Ta thấy x2 - 2x - 15 còn phân tích được nữa nhưng do đề bài yêu cầu là đa thức x3 - 19x - 20 viết dưới dạng một tích của 2 đa thức: một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc 2. Vậy tích (x + 2)( x2 - 2x - 15) đã thoả mãn yêu cầu của bài toán. Cách 2: Kết quả phải có dạng: x3 - 19x - 20 = (x + a)( x2 + bx + c) = x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn: a + b = 0 c + ab = -19 ac = -30 Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c { 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đo là bộ số phải tìm tức là: x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15). Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: