Nhắc lại giới hạn – Đạo hàm – Vi phân

Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ® = x 0 sin xlim 1 x Hệ quả: ® = x 0 xlim 1 sin x ® = u(x) 0 sin u(x)lim 1 u(x) ® = u(x) 0 u(x)lim 1 sin u(x) b) x x 1lim 1 e, x R x®¥ ỉ ư+ = Ỵç ÷ è ø Hệ quả: 1 x x 0 lim (1 x) e. ® + = x 0 ln(1 x)lim 1 x® + = x x 0 e 1lim 1 x® - = 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c là hằng số) 1(x )' xa a-= a 1(u ) ' u u 'a a-= a 2 1 1' x x ỉ ư = -ç ÷ è ø 2 1 u'' u u ỉ ư = -ç ÷ è ø ( ) 1x ' 2 x = ( ) u'u ' 2 u = x x(e )' e= u u(e )' u'.e= x x(a )' a .ln a= u u(a ) ' a .lna . u '= 1(ln x )' x = u'(ln u )' u = a 1(log x ') x.ln a = a u'(log u )' u.ln a = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 2 2 1(tgx)' 1 tg x cos x = = + 22 u'(tgu)' (1 tg u).u' cos u = = + 2 2 1(cot gx) ' (1 cot g x) sin x - = = - + 22 u'(cot gu)' (1 cot g u).u' sin u - = = - + 3. Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x (a; b)Ỵ . Cho số gia Dx tại x sao cho x x (a; b)+ D Ỵ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F '(a ) f(x) và F '(b ) f(b)+ -= = 2. Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f (x)dx.ị Do đó viết: f(x)dx F(x) C= +ị Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 3. Các tính chất của nguyên hàm: · ( )f(x)dx ' f(x)=ị · af(x)dx a f(x)dx (a 0)= ¹ị ị · [ ]f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx+ = +ị ị ị · [ ] [ ]f(t)dt F(t) C f u(x) u'(x)dx F u(x) C F(u) C (u u(x))= + Þ = + = + =ị ị 4. Sự tồn tại nguyên hàm: · Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. §Bài 1: NGUYÊN HÀM Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 3 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) dx x C= +ị du u C= +ị 1xx dx C ( 1) 1 a+ a = + a ¹ - a +ị 1uu du C ( 1) 1 a+ a = + a ¹ - a +ị dx ln x C (x 0) x = + ¹ị du ln u C (u u(x) 0) u = + = ¹ị x xe dx e C= +ị u ue du e C= +ị x x aa dx C (0 a 1) lna = + < ¹ị u u aa du C (0 a 1) lna = + < ¹ị cosxdx sin x C= +ị cos udu sin u C= +ị sin xdx cosx C= - +ị sin udu cos u C= - +ị 2 2 dx (1 tg x)dx tgx C cos x = + = +ị ị 22 du (1 tg u)du tgu C cos u = + = +ị ị 2 2 dx (1 cot g x)dx cot gx C sin x = + = - +ị ị 22 du (1 cot g u)du cot gu C sin u = + = - +ị ị dx x C (x 0) 2 x = + >ị du u C (u 0) 2 u = + >ị 1cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0) a + = + + ¹ị 1sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0) a + = - + + ¹ị dx 1 ln ax b C ax b a = + + +ị ax b ax b1e dx e C (a 0) a + += + ¹ị dx 2 ax b C (a 0) aax b = + + ¹ +ị Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 4 Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F '(x) f(x) với x (a; b)= " Ỵ Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) Xác định F’(a+) Xác định F’(b–) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F '(x) f(x), x (a ; b) F '(a ) f(a) F '(b ) f(b) + - = " Ỵì ï =í ï =ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: 2F(x) ln(x x a)= + + với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số 2 1f(x) x a = + trên R. Giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2x1 (x x a)' 2 x aF '(x) [ln(x x a)]' x x a x x a + + + += + + = = + + + + 2 2 2 2 x a x 1 f(x) x a(x x a) x a + + = = = + + + + Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: CMR hàm số: x 2 e khi x 0 F(x) x x 1 khi x 0 ì ³ï= í + + <ïỵ Là một nguyên hàm của hàm số xe khi x 0 f(x) 2x 1 khi x 0 ì ³ = í + <ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x 0¹ , ta có: xe khi x 0 F '(x) 2x 1 khi x 0 ì > = í + <ỵ b/ Với x = 0, ta có: Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 5 · Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0. 2 0 x 0 x 0 F(x) F(0) x x 1 eF '(0 ) lim lim 1. x 0 x- - - ® ® - + + - = = = - · Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0. x 0 x 0 x 0 F(x) F(0) e eF '(0 ) lim lim 1. x 0 x+ + + ® ® - - = = = - Nhận xét rằng F '(0 ) F '(0 ) 1 F '(0) 1.- += = Þ = Tóm lại: xe khi x 0 F '(x) f(x) 2x 1 khi x 0 ì ³ = =í + <ỵ Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b). PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F '(x) f(x) với x (a; b)= " Ỵ Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trị tham số. Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) Xác định F’(a+) Xác định F’(b–) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F '(x) f(x), x (a ; b) F '(a ) f(a) F '(b ) f(b) + - = " Ỵì ï =í ï =ỵ Þ giá trị của tham số. Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C. Thay giá trị C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm. Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 6 Ví dụ 3: Xác định a , b để hàm số: 2x khi x 1 F(x) ax b khi x 1 ì £ = í + >ỵ là một nguyên hàm của hàm số: 2x khi x 1 f(x) 2 khi x 1 £ì = í >ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x 1¹ , ta có: 2x khi x 1 F '(x) 2 khi x 1 <ì = í >ỵ b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do đó : x 1 x 1 lim F(x) lim F(x) f(1) a b 1 b 1 a (1) - +® ® = = Û + = Û = - · Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1. 2 x 1 x 1 f(x) F(1) x 1F'(1) = lim lim 2. x 1 x 1-® ® - - = = - - · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 0. x 1 x 1 x 1 F(x) F(1) ax b 1 ax 1 a 1F '(1 ) lim lim lim a. x 1 x 1 x 1+ + + + ® ® ® - + - + - - = = = = - - - Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F '(1 ) F '(1 ) a 2.- +Û = Û = (2) Thay (2) vào (1), ta được b = –1. Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1. Khi đó: F’(1) = 2 = f(1) Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Ví dụ 4: Xác định a , b , c để hàm số: -= + +2 2xF(x) (ax bx c)e là một nguyên hàm của 2 2xF(x) (2x 8x 7)e-= - - + trên R. Giải: Ta có: 2x 2 2xF '(x) (2ax b)e 2(ax bx c)e- -= + - + + 2 2x2ax 2(a b)x b 2c e-é ù= - + - + -ë û Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R F '(x) f(x), x RÛ = " Ỵ Û - + - + - = - + - " Ỵ2 22ax 2(a b)x b 2c 2x 8x 7, x R a 1 a 1 a b 4 b 3 b 2c 7 c 2 = =ì ì ï ïÛ - = Û = -í í ï ï- = - =ỵ ỵ Vậy -= - +2 2xF(x) (x 3x 2)e . Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 7 BÀI TẬP Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số xF(x) ln tg 2 4 pỉ ư= +ç ÷ è ø Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số 1f(x) cos x = . Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số 2ln(x 1) , x 0F(x) x 0 ,x 0 ì + ¹ï= í ï =ỵ là một nguyên hàm của hàm số 2 2 2 2 ln(x 1) , x 0f(x) x 1 x 1 , x 0 ì + - ¹ï= +í ï =ỵ Bài 3. Xác định a, b, c sao cho hàm số 2 xF(x) (ax bx c).e-= + + là một nguyên hàm của hàm số 2 xf(x) (2x 5x 2)e-= - + trên R. ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. Bài 4. a/ Tính nguyên hàm 3 2 2 x 3x 3x 7F(x) của f(x) và F(0) 8. (x 1) + + - = = + b/ Tìm nguyên hàm F(x) của 2 xf(x) sin và F . 2 2 4 p pỉ ư= =ç ÷ è ø ĐS: a/ 2x 8F(x) x ; 2 x 1 = + + + b/ 1F(x) (x sin x 1) 2 = - + Bài 5. a/ Xác định các hằng số a, b, c sao cho hàm số: 2F(x) (ax bx c) 2x 3= + + - là một nguyên hàm của hàm số: 220x 30x 7 3f(x) trên khoảng ; 22x 3 - + ỉ ư= + ¥ç ÷ è ø- b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0. ĐS: a/ a 4; b 2; c 1;= = - = b/ 2G(x) (4x 2x 10) 2x 3 22.= - + - - Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 8 Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ví dụ 1: CMR , nếu f(x)dx F(x) C= +ị thì 1f(ax b)dx F(ax b) C với a 0. a + = + + ¹ị Giải: Ta luôn có: 1f(ax b)dx f(ax b)d(ax b) với a 0. a + = + + ¹ Áp dụng tính chất 4, ta được: 1 1f(ax b)dx (ax b)d(ax b) F(ax b) C (đpcm) a a + = + + + +ị ị . Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp: f(t)dt F(t) C f(u)du F(u) C, với u u(x)= + Þ = + =ị ị Ví dụ 2: Tính các tích phân bất định sau: a/ 3(2x 3) dx+ị b/ 4cos x.sin xdxị c/ x x 2e dx e 1+ị d/ 2(2 ln x 1) dx x + ị Giải: a/ Ta có: 4 4 3 31 1 (2x 3) (2x 3)(2x 3) dx (2x 3) d(2x 3) . C C. 2 2 4 8 + + + = + + = + = +ị ị b/ Ta có: 5 4 4 cos xcos x.sin xdx cos xd(cos x) C 5 = - = - +ị ị c/ Ta có: x x x x x 2e d(e 1)dx 2 2 ln(e 1) C e 1 e 1 + = = + + + +ị ị d/ Ta có: 2 2 3(2 ln x 1) 1 1dx (2 ln x 1) d(2 ln x 1) (2 ln x 1) C. x 2 2 + = + + = + +ị ị Ví dụ 3: Tính các tích phân bất định sau: a/ 2 x2sin dx 2ị b/ 2cot g xdxị c/ tgxdxị d/ 3 tgx dx cos xị Giải: a/ Ta có: 2 x2sin dx (1 cosx)dx x sin x C 2 = - = - +ị ị b/ Ta có: 2 2 1cot g xdx 1 dx cot gx x C sin x ỉ ư= - = - - +ç ÷ è øị ị c/ Ta có: sin x d(cosx)tgxdx dx ln cosx C cosx cosx = = - = - +ị ị ị Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 9 d/ Ta có: 33 4 4 3 tgx sin x d(cosx) 1 1dx dx cos x C C. cos x cos x cos x 3 3cos x -= =- = - + = - +ị ị ị Ví dụ 4: Tính các tích phân bất định sau: a/ 2 x dx 1 x+ị b/ 2 1 dx x 3x 2- +ị Giải: a/ Ta có: 2 2 2 2 x 1 d(1 x ) 1dx ln(1 x ) C 1 x 2 1 x 2 + = = + + + +ị ị b/ Ta có: 2 1 1 1 1dx dx dx x 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 x 1 ỉ ư= = -ç ÷ - + - - - -è øị ị ị x 2ln x 2 ln x 1 C ln C. x 1 - = - - - + = + - BÀI TẬP Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số: a/ 2 xf(x) cos ; 2 = b/ 3f(x) sin x. ĐS: a/ 1 (x sin x) C ; 2 + + b/ 31cos x cos x C. 3 - + + Bài 7. Tính các tích phân bất định : a/ x xe (2 e )dx;--ị b/ x x e dx ; 2ị c/ 2x x x x 2 .3 .5 dx 10ị . d/ 2 5x x e 1dx; e - + ị e/ x x e dx e 2+ị ĐS: a/ x2e x C;- + b/ x x e C; (1 ln 2)2 + - c/ x6 C ln 6 + d/ 2 6x x1 e e C; 6 - -- - + e/ xln(e 2) C+ + . Bài 8. Tính các tích phân bất định : a/ 4 4x x 2 dx-+ +ị ; b/ 3 5x xdxị ; c/ 2x x 1dx+ị ; d/ 2001(1 2x) dx;-ị e/ 3 4 ln xdx x - ị ĐS: a/ 3x 1 C; 3 x - + b/ 5 75 x C; 7 + c/ 2 21 (x 1) x 1 C 3 + + + ; d/ 20021 (1 2x). C; 2 2002 - - + e/ 1 (3 4 ln x) 3 4 ln x C. 6 + + + Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 10 Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết. Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng mình từ một vài minh hoạ sau: · Với 3 2 6 3f(x) (x 2) thì viết lại f(x) x 4x 4.= - = - + · Với 2x 4x 5 2f(x) thì viết lại f(x) x 3 x 1 x 1 - + = = - + - - . · Với 2 1 1 1f(x) thì viết lại f(x) x 5x 6 x 3 x 2 = = - - + - - · Với 1 1f(x) thì viết lại f(x) ( 3 2x 2x 1) 22x 1 3 2x = = - - + + + - · Với x x 2 x x xf(x) (2 3 ) thì viết lại f(x) 4 2.6 9 .= - = - + · Với 3f(x) 8cos x.sin x thì viết lại f(x) 2(cos3x 3cosx).sin x= = + 2 cos3x.sin x 6 cosx.sin x sin 4x sin 2x 3sin 2x sin 4x 2sin 2x.= + = - + = + · 2 2tg x (1 tg x) 1= + - · 2 2cot g x (1 cot g x) 1= + - · n 2 n 2 2 x (1 x ) 1 1x 1 x 1 x + + = + + + . Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình. Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: 2002I x(1 x) dx.= -ị Giải: Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x) ta được: 2002 2002 2002 2003x(1 x) [1 (1 x)](1 x) (1 x) (1 x) .- = - - - = - - - Khi đó: 2002 2003 2002 2003 2003 2004 I (1 x) dx (1 x) dx (1 x) d(1 x) (1 x) d(1 x) (1 x) (1 x) C. 2003 2004 = - - - = - - - + - - - - = - + + ị ị ị ị Tổng quát: Tính tích phân bất định: I x(ax b) dx, với a 0a= + ¹ị Sử dụng đồng nhất thức: 1 1x .ax [(ax b) b] a a = = + - Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 11 Ta được: 11 1x(ax b) [(ax b) b)(ax b) [ (ax b) d(ax b) (ax b) d(ax d)] a a a a a+ a+ = + - + = + + - + +ị ị Ta xét ba trường hợp : · Với a = 2, ta được: 1 22 1I [ (ax b) d(ax b) (ax b) d(ax b)] a - -= + + - + +ị ị 2 1 1[ln ax b ] C. a ax b = + + + + · Với a = –1, ta được: 12 2 1 1I [ d(ax b) (ax b) d(ax b)] [ax b ln ax b ] C. a a -= + - + + = + - + +ị ị · Với R \ { 2; 1},a Ỵ - - ta được: 2 1 2 1 (ax b) (ax b)I [ ] C. a 2 1 a+ a++ + = + + a + a + Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: 2 dxI x 4x 3 = - +ị Giải: Ta có: 2 1 1 1 (x 1) (x 3) 1 1 1. . x 4x 3 (x 3)(x 1) 2 (x 3)(x 1) 2 x 3 x 1 - - - ỉ ư= = = -ç ÷- + - - - - - -è ø Khi đó: - -ỉ ư= - = - = - - - +ç ÷ - - - -è øị ị ị ị 1 dx dx 1 d(x 3) d(x 1) 1I . [ ' .(ln x 3 ln x 1) C 2 x 3 x 1 2 x 3 x 1 2 -= + - 1 x 3ln C. 2 x 1 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: dxI x 2 x 3 = + + -ị Giải: Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: 1 1 2 2 3 3 1 1I ( x 2 x 3)dx [ (x 2) d(x 2) (x 3) d(x 3)] 5 5 2 [ (x 2) (x 3) ] C. 15 = + + - = + + + - - = + + - + ị ị ị Ví dụ 4: Tính tích phân bất định: 2 dxI . sin x.cos x = ị Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 2 2sin x cos x 1,+ = Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 12 Ta được: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin x cos x sin x 1 sin x 12 . .x xsin x.cos x sin x.sin x cos x sin x cos x cos tg 2 2 + = = + = + Suy ra: 2 2 2 x1 d tgsin x d(cosx) 1 x22I dx dx ln tg C.x x xcos x cos x cosx 2cos tg tg 2 2 2 ỉ ư ç ÷ è ø= + = - + = + +ị ị ị ị Ví dụ 5: Tính tích phân bất định: 4 dxI . cos x = ị Giải: Sử dụng kết quả: 2 dx d(tgx) cos x = ta được: 2 2 32 2 1 dx 1I . (1 tg x)d(tgx) d(tgx) tg xd(tgx) tgx tg x C. cos x cos x 3 = = + = + = + +ị ị ị ị BÀI TẬP Bài 9. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: a/ 2 3f(x) (1 2x ) ;= - b/ 3 x 2 3 2 x x e 3xf(x) x - - = ; c/ 2(2 x)f(x) ; x + = d/ 1f(x) 3x 4 3x 2 = + - + ĐS: a/ 3 5 712 8x 2x x x C 5 7 - + - + ; b/ x4 e ln x C; 3x x - - + + c/ 3 32 2624 36 x x x x x C; 7 5 + + + d/ 3 31 (3x 4) (3x 2) C. 9 é ù- + + +ë û Bài 10. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: a/ 2 1f(x) ; x 6x 5 = - + b/ 24x 6x 1f(x) ; 2x 1 + + = + c/ 3 24x 4x 1f(x) ; 2x 1 + - = + d/ 3 2 4x 9x 1f(x) ; 9 4x - + + = - ĐS: a/ 1 x 5ln C; 4 x 1 - + - b/ 2 1x 2x ln 2x 1 C; 2 + - + + c/ 3 22 1 1 1x x x ln 2x 1 C 3 2 2 4 + - - + + ; d/ 2x 1 2x 3ln C. 2 12 2x 3 - - + + Bài 11. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 13 a/ 2(sin x cos x) ;+ b/ cos 2x .cos 2x ; 3 4 p pỉ ư ỉ ư- +ç ÷ç ÷ è øè ø c/ 3cos x; d/ 4cos x; e/ 4 4sin x cos x;+ f/ 6 6sin 2x cos 2x.+ ĐS: a/ 1x cos2x C 2 - + ; b/ 1 7 1sin 5x sin x C 10 12 2 12 p pỉ ư ỉ ư+ + - +ç ÷ ç ÷ è ø è ø c/ 3 1sin x si n3x C; 4 12 + + d/ 3 1 1x si n2x si n4x C; 8 4 31 + + + e/ 3 sin 4xx C; 4 16 + + f/ 5 3x sin8x C. 8 64 + + Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 14 Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau: Định lý: a/ Nếu f(x)dx F(x) C và u (x)= + = jị là hàm số có đạo hàm thì f(u)du F(u) C= +ị . b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó (j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được: f(x)dx f[ (t)]. '(t)dt.= j jị ị Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất định I f(x)dx.= ị PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp. + Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt + Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó I g(t)dt.= ị Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn 2 2a x- x a sin t với t 2 2 x x cos t với 0 t p pé = - £ £ê ê = £ £ pêë 2 2x a- ax với t ; \ {0} sin t 2 2 ax với t [0; ] \ { } cos t 2 é p pé ù= Ỵ -ê ê úë ûê pê = Ỵ pêë 2 2a x+ x a tgt với t 2 2 x a cot gt với 0 t p pé = - < <ê ê = < < pêë a x a xhoặc a x a x + - - + x = acos2t (x a)(b x)- - x = a + (b – a)sin2t Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: 2 dxI . (1 x ) = - ị Giải: Đặt x sin t; t 2 2 p p = - < < Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 15 Suy ra: 3 22 3 dx cos tdt dtdx cos tdt & d(tgt) cos t cos t(1 x ) = = = = - Khi đó: 2 xI d(tdt) tgt C C. 1 x = = + = + -ị Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: 2 3 3 2 x(1 x ) cos t và tgt 1 x - = = - là bởi: 2 2 2 cos t cos t t cos t 0 2 2 cos t 1 sin t 1 x ì =p p ï- Þ í = - = -ïỵ Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: 2 2 x dxI x 1 = -ị Giải: Vì điều kiện x 1> , ta xét hai trường hợp : · Với x > 1 Đặt: 1x ; 0 t sin 2t 4 p = < < Suy ra: 2 2 cos2tdtdx sin 2t = ú 2 2 2 2 3 3 32 x dx 2dt 2(cos t sin t) dt sin 2t 8sin t cos tx 1 + = - = - - 2 2 2 2 2 1 1 1 1(cot gt. tgt. )dt 4 sin t cos t sin t cos t 1 1 1 2 1(cot gt. tdt. ) 4 sin t cos t tgt cos t 1 d(tgt)[ cot gt.d(cot gt) tgt.d(tgt) 2 ]. 4 tgt =- + + = - + + = - - + + Khi đó: 1 d(tgt)I [ cot gt.d(cot gt) tgt.d(tgt) 2 ] 4 tgt = - - + +ị ị ị 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1( cot g t tg t 2ln tgt ) C (cot g t tg t) ln tgt C 4 2 2 8 2 1 1x x 1 ln x x 1 C. 2 2 = - - + + + = - - + = - - - - + · Với x < –1 Đề nghị bạn đọc tự làm Chú ý: Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: 2 2 2 2cot g t tg t 4x x 1 và tgt x x 1- = - = - - là bởi: 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 cos t sin t 4 cos2t 4 1 sin 2t 4 1 cot g t tg t 1 cos t.sin t sin 2t sin 2t sin2t sin 2t - - - = = = = - tgt = -= = = - 2 2 2 sin t 2sin t 1 cos2t 1 cos 2t cos t 2sin t.cos t sin 2t sin 2t sin 2t = - -2 1 1 1 sin2t sin 2t Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 16 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: 2 3 dxI (1 x ) = +ị Giải: Đặt: x tgt; t 2 2 p p = - < < . Suy ra: 3 2 22 3 dt dx cos tdtdx & cos tdt. cos t cos t(1 x ) = = = + Khi đó: 2 xI cos tdt sin t C C 1 x = = + = + +ị Chú ý: 1. Trong ví dụ trên sở dĩ ta có: 2 2 1 xcos t và sin t 1 x 1 x = = + + là bởi: 2 2 cos t cos t t cos t 0 x2 2 sin t tgt.cos t 1 x ì = p p ï- Þ í = =ï +ỵ 2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát: 2 2 2k 1 dxI , với k Z. (a x ) + = Ỵ + ị Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân I f(x)dx.= ị PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước: + Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Xác định vi phân = ydt '(x)dx. + Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi đó I g(t)dt.= ị Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu có t là mẫu số Hàm số f(x, (x)j t (x)= j Hàm a.sin x b.cosxf(x) c.sin x d.cosx e + = + + x xt tg (với cos 0) 2 2 = ¹ Hàm 1f(x) (x a)(x b) = + + · Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt: t x a x b= + + + · Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt: t x a x b= - + - - Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 17 Ví dụ 4: Tính tích phân bất định: 3 2 8I x (2 3x ) dx.= -ị Giải: Đặt: 2t 2 3x= - . Suy ra: dt 6xdx= 3 2 8 2 2 8 8 9 82 t 2 t 1 1x (2 3x ) dx x (2 3x ) xdx .t . dt (t 2t )dt. 3 3 6 18 - - ỉ ư- = - = = - = -ç ÷ è ø Khi đó: 9 8 10 9 10 91 1 1 2 1 1I (t 2t )dt t t C t t C 18 18 10 9 180 81 ỉ ư= - = - + = - +ç ÷ è øị Ví dụ 5: Tính tích phân bất định: 2x dxI 1 x = -ị Giải: Đặt: 2t 1 x x 1 t= - Þ = - Suy ra: 2 2 2 4 2x dx (1 t ) ( 2tdt)dx 2tdt & 2(t 2t 1)dt t1 x - - =- = = - + - Khi đó: 4 2 5 3 4 21 2 2I 2 (t 2t 1)dt 2 t t t C (3t 10t 15)t C 5 3 15 ỉ ư= - + = - - + + = - - + +ç ÷ è øị 2 22 2[3(1 x) 10(1 x) 15] 1 x C (3x 4x 8) 1x C 15 15 =- - - - + - + = - + + - + Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: 5 2 23I x (1 2x ) dx.= -ị Giải: Đặt: 3 3 2 2 1 tt 1 2x x 2 - = - Þ = . Suy ra: 232xdx t tdt, 2 =- 3 5 2 2 2 2 2 2 2 7 43 3 1 t 3 3x (1 2x ) dx x (1 2x ) xdx .t t dt (t t )dt. 2 4 8 - ỉ ư- = - = - = -ç ÷ è ø Khi đó: 7 4 8 5 6 3 23 3 1 1 3I (t t )dt t t C (5t 8t )t C 8 8 8 5 320 ỉ ư= - = - + = - +ç ÷ è øị 2 2 2 2 233 [5(1 2x ) 8(1 2x )] (1 2x ) C 320 = - - - - + 4 2 2 233 (20x 4x 3) (1 2x ) C. 320 = - - - + Ví dụ 7: Tính tích phân bất định: 3I sin x cos xdx.= ị Giải: Đặt: 2t cosx t cosx= Þ = dt = sinxdx, Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 18 3 2 2 4 6 2 sin x cosxdx sin x cos x sin xdx (1 cos x) cosx sin x dx (1 t ).t.(2tdt) 2(t t )dt. = = - = - = - Khi đó: 6 2 7 3 6 21 1 2I 2 (t t )dt 2 t t C (3t 7t )t C 7 3 21 ỉ ư= - = - + = - +ç ÷ è øị 32 (cos x 7cosx) cosx C. 21 = - + Ví dụ 8: Tính tích phân bất định: 3 2 cosx.sin xdxI 1 sin x = +ị Giải: Đặt: 2 2t 1 x x 1 t at 1 sin x= - Þ = - = + Suy ra: dt 2sin x cosxdx,= 3 2 2 2 cosx.sin xdx sin x.cos x.sin xdx (t 1)dt 1 11 dt. 1 sin x 1 sin x 2t 2 t - ỉ ư= = = -ç ÷+ + è ø Khi đó: 2 21 1 1I 1 dt f12(t ln t C [1 sin x ln(1 sin x)] C 2 t 2 ỉ ư= - = - + = + - + +ç ÷ è øị Ví dụ 9: Tính tích phân bất định: 2 8 cos xdxI . sin x = ị Giải: Đặt: t = cotgx Suy ra: 2 1dt dx, sin x = - 2 2 2 2 2 2 8 6 2 4 2 2 2 2 2 cos xdx cos x dx 1 dx dxcot g x cot g x.(1 cot g x) sin x sin x sin x sin x sin x sin x t .(1 t ) dt. = = = + = + Khi đó: 2 2 6 4 2 7 5 31 2 1I t .(1 t )dt (t 2t t )dt t t t C 7 5 3 ỉ ư= + = + + = + + +ç ÷ è øị ị 7 5 31 (15cot g x 42 cot g x 35cot g x) C. 105 = + + + Ví dụ 10: Tính tích phân bất định: x x / 2 dxI e e = -ị Giải: Đặt: x / 2t e-= Suy ra: x / 2 x / 2 1 dxdt e dx 2dt , 2 e =- Û - = x / 2 x x / 2 x x / 2 x / 2 x / 2 dx dx e dx 2tdt 12(1 )dt e e e (1 e ) e (1 e ) 1 t t 1 - - - - = = = = + - - - - - Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 19 Khi đó: x / 2 x / 21I 2 1 dt 2(e ln e 1) C. t 1 - -ỉ ư= + = + + +ç ÷-è øị Chú ý: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến x / 2t e ,-= tuy nhiên với cách đặt x / 2t e= chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán. Ví dụ 11: Tính tích phân bất định: x dxI 1 e = +ị . Giải: Cách 1: Đặt: x 2 xt 1 e t 1 e= + Û = + Suy ra: x 2 2 2x 2tdt dx 2tdt 2tdt2tdt e dx dx & . t 1 t(t 1) t 11 e = Û = = = - - -+ Khi đó: x 2 x dt t 1 1 e 1I 2 ln C ln C t 1 t 1 1 e 1 - + - = = + = + - + + +ị Cách 2: Đặt: x / 2t e-= Suy ra: x / 2 x / 2 1 dxdt e dx 2dt , 2 e -= Û - = x x x x / 2 x 2 dx dx dx 2dt 1 e e (e 1) e