Một số tài tập Đại số tổ hợp

Bài 1 : Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt. Đáp : 9.9.8.7.6 Bài 2 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số mà 2 chữ số cuối khác nhau. Đáp : 6.7.7.6 Bài 3 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần. Đáp : C1: 7.7.6.5.4 - C2: 8.7.6.5.4  7.6.5.4 = 5.880 Bài 4 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt, trong đó phải có mặt chữ số 5. Đáp : 1560 Bài 5 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt, trong đó có chữ số 0 và chữ số 1. (Đại học Bưu Chính Viễn Thông - 1999) Đáp : 42.000 Bài 6 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt không bắt đầu bởi 123. (Đại học Quốc Gia - 1999) Đáp : 3348 Bài 7 : Hai dãy ghế đối diện, mỗi dãy 6 ghế. Muốn xếp 6 học sinh trường A, 6 học sinh trường B. Có bao nhiêu cách, nếu : 1/ Ngồi cạnh và ngồi đối diện phải khác trường. 2/ Ngồi đối diện phải khác trường. Đáp : 1) 2.6! 6! 2) 26.6! 6! Bài 8 : Cho A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt  A. 1/ Là số chẵn. 2/ Một trong ba chữ số đầu = 1. (Đại học Quốc Gia - 1999) Đáp : 1) C1 : 4.A4.7  3.A3.6 = 3.000 C2 : A4.7 + 3.6.A3.6 = 3.000 2) 2280 Bài 9 : Xét dãy (ai) gồm 7 chữ số thỏa : a3 chẵn; a7 không chia hết cho 5; a4, a5, a6 đôi một khác nhau. Có bao nhiêu dãy như vậy ?. (Đại học Quốc Gia - 1998) Đáp : 5.8.10.9.8.10.10 Bài 10 : Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số phân biệt nhỏ hơn 600.000. (Đại học Y Hà Nội - 1997) Đáp : 36.960 Bài 11 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt nhỏ hơn 45.000. Đáp : 90 Bài 12 : Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt < 278. Đáp : 20 Bài 13 : X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số phân biệt  X, lớn hơn 4300. Đáp : 75 Bài 14 : Có bao nhiêu số chẵn > 5000, gồm 4 chữ số phân biệt. Đáp : 1288 Bài 15 : Một đa giác lồi n cạnh, có bao nhiêu đường chéo. Đáp : 2 )3n(n  Bài 16 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số, trong đó : 1/ Có một chữ số 1. 2/ Có chữ số 1 và các chữ số phân biệt. Đáp : 1) 4.73  3.72 = 1225 2) 750 Bài 17 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt không chia hết cho 10. Đáp : 7.6.6.5 Bài 18 : Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số phân biệt chia hết cho 5. Đáp : C1 : 9.8.7 + 8.8.7 C2 : 2.9.8.7  8.7 = 952 Bài 19 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt không chia hết cho 3. Đáp : 5.5.4  (2.2.4 + 3! 4) = 60 Bài 20 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số chẵn. Đáp : 9.105.5 Bài 21 : Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9. Đáp : 50.000 Bài 22 : Có bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt nhỏ hơn 547. Đáp : 165 HOÁN VỊ , CHỈNH HỢP Bài 1 : Một bàn tròn 6 chỗ ngồi được đánh số thứ tự, xếp 6 người sao cho A và B luôn ngồi cạnh. Có mấy cách. Đáp : 6.2.4! Bài 2 : Có 2 dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam, 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, có bao nhiêu cách , nếu : 1/ Xếp tùy ý. 2/ Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế. (ĐH Cần Thơ - 1999) Đáp : 1/ 10 ! 2/ 2.(5 !)2 Bài 3 : Một ghế dài 5 chỗ ngồi. Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh sao cho : 1/ Bạn C ngồi giữa. 2/ Bạn A và E ngồi ở 2 đầu. (Đại học Hàng Hải - 1999) Đáp : 1/ 4 ! 2/ 2.3 ! Bài 4 : Có 3 sách Toán, 4 sách Lý, 5 sách Hóa xếp vào 1 kệ dài, các sách khác nhau đôi một, các sách cùng môn kề nhau. Có bao nhiêu cách xếp ? Đáp : 3 ! 3 ! 4 ! 5 ! Bài 5 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt mà : 1/ Các chữ số chẵn đứngcạnh. 2/ Các chữ số chẵn đứng cạnh và các chữ số lẻ đứng cạnh. Đáp : 1/ 132 2/ 60 Bài 6 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt ? Tính tổng các số này. Đáp : 66666 x 60 Bài 7 : Tính tổng của các số có 4 chữ số phân biệt. Đáp : 249177601110.A 2 19999.A 2 1 3 9 4 10  Bài 8 : Có 10 học sinh lớp 10 và 10 học sinh lớp 12 xếp vào 4 dãy ghế, mỗi dày 5 học sinh, có bao nhiêu cách xếp nếu các học sinh ngồi nối đuôi cùng lớp, ngồi cạnh nhau khác lớp. Đáp : 2.(10!)2 Bài 9 : Có bao nhiêu số tự nhiêu gồm 5 chữ số phân biệt , các chữ số > 4. Tính tổng các số này. (Đại học Huế - 1997) Đáp : 5! và 24(5+6+7+8+9).11111 = 9333240 Bài 10 : Có bao nhiêu số tự nhiêu gồm 5 chữ số phân biệt sao cho : 1, 2, 3 luôn đứng cạnh. Đáp : Cách 1 : 3.3!. 27A  2.3! 6 Cách 2 : 3!( 27A +2.6.6)=684 Bài 11 : Xếp 3 bi đỏ phân biệt và 3 bi xanh giống nhau vào 7 ô trống. 1/ Có bao nhiêu cách ? 2) Có bao nhiêu cách sao cho các bi cùng màu đứng cạnh? (Đại học Quân Y Hà Nội - 2000) Đáp : 1/ A4.7 hoặc C3.7 A3.4 2/ 3! 3! Bài 12 : Xếp 3 nam , 2 nữ vào 8 ghế. Có bao nhiêu cách, nếu : 1/ Xếp tùy ý. 2/ 5 người ngồi kề nhau. 3/ 3 nam ngồi kề, 2 nữ ngồi kề và giữa 2 nhóm có ít nhất 1 ghế trống. Đáp : 1/ A5.8 2/ 4.5! 3/ 12.3! 2! Bài 13 : Xếp 4 nam và 3 nữ vào 9 ghế sao cho 3 ghế đầu tiên là nam. Có bao nhiêu cách ? Đáp : A3.4 .A4.6 Bài 14 : Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. (ĐHSP Hà Nội - 2001) Đáp : 37.332.960 Bài 15 : Xếp 5 bi trắng giống nhau và 5 bi xanh phân biệt vào 1 dãy 10 ô. Có bao nhiêu cách nếu : 1/ Các bi trắng kề nhau. 2/ Các bi xanh kề nhau. Đáp : 1) 6.5! 2) 6.5! Bài 16 : Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt, có mặt đủ 3 chữ số 1, 2, 3. Đáp : 2376 Bài 17 : Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số phân biệt > 500.000. Đáp : 3.4.A4.8 + 2.5.A4.8 = 36.960 Bài 18 : Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 8, gồm 5 chữ số, không chứa các chữ số 2, 4, 6. Đáp : 336 Bài 19 : Có bao nhiêu số chẵn gồm 3 chữ số phân biệt lớn hơn 547. Đáp : 163. Bài 20 : Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số phân biệt trong đó a1 lẻ. Đáp : 5.5.A4.8 Bài 21 : Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt lấy từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6} sao cho 1 và 2 không đứng cạnh. Đáp : A5.6  4.A3.4 .2! = 528 Bài 22 : Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt có mặt chữ số 0, không có mặt chữ số 1. (Đại học Quốc Gia - 2001) Đáp : Cách 1 : 8.A5.8  A6.8 = 33.600 Cách 2 : 5.A5.8 Bài 23 : Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt, biết rằng số này có mặt 3 chữ số : 0, 1, 2. Đáp : 5.A2.5 .A3.7 = 21.000 Bài 24 : Từ các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt , trong đó : 1/ Có mặt chữ số 0. 2/ Có mặt chữ số 6. 3/ Có mặt chữ số 0 và chữ số 6. Đáp : 1) 4.A4.6 2) A4.6 + 5.4.A3.5 = 1560 3) 4.4.A3.5 Bài 25 : Có bao nhiêu số nguyên dương < 104 mà mọi chữ số đều khác nhau. Đáp : C1 : )AAAA()AAAA( 09192939210210310410  = 5274 C2 : 9 + 9.9 + 9.9.8 + 9.9.8.7 = 5274 Bài 26 : Có 2 hàng ghế A, B đặt đối diện, mỗi hàng 4 ghế. Muốn xếp 8 người vào 8 ghế trên, có 3 người muốn ngồi hàng A và 2 người muốn ngồi ở hàng B. Có bao nhiêu cách xếp ? Đáp : A3.4 .A2.4 .3! Bài 27 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt chia hết cho 9. Đáp : 16 Bài 28 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt có mặt ít nhất một trong hai chữ số 0, 1. Đáp : 5.A3.5  4 ! = 276 Bài 29 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt có ít nhất 1 chữ số lẻ. Đáp : 9.A3.9  4.A3.4 = 4440 Bài 30 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt sao cho số được lập là số chẵn và có mặt chữ số 0. Đáp : A3.9 + 2.4.A2.8 = 952 Bài 31 : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số phân biệt và lớn hơn 7600. Đáp : 595 Bài 32 : Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt không có mặt đồng thời các chữ số 2 và 3. Đáp : C1 : 7.A4.7 + 2[A4.8 + 4.7.A3.7 ] C2 : 9A4.9 - A2.5 .A3.8 + A2.4 .A2.7 = 21.000 Bài 33 : Xét 1 số gồm 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số mà : 1/ Năm chữ số 1 kề nhau. 2/ Xếp tùy ý. (Học viện Ngân Hàng - 1999) Đáp : 1) 5! 2) !5 !9 Bài 34 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau. (Đại học Kiến Trúc - 2001) Đáp : 312 Bài 35 : Từ 4 chữ số 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt. (Đại học Kiến Trúc - 2001) Đáp : 64 Bài 36 : Có 7 nam và 3 nữ. Xếp thành một hàng dọc sao cho 7 nam kề nhau. Có bao nhiêu cách ? (Đại học Cần Thơ - 2001) Đáp : 4.7! 3! Bài 37 : Có bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số phân biệt lớn hơn 3500. Đáp : 1631. Bài 38 : Có bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số phân biệt nhỏ hơn 3.500. Đáp : 609 TỔ HỢP Bài 1 : Trong 10 học sinh, chọn một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 4 thành viên. Có bao nhiêu cách ? Đáp : A3.10 .C4.7 Bài 2 : Có 5 tem và 6 phong bì. Chọn 3 tem, 3 phong bì, dán 3 tem vào 3 phong bì. Có mấy cách ? Đáp : C3.5 .C3.6 .3! Bài 3 : Có 7 nam, 4 nữ. Lập một tổ 6 người. Có bao nhiêu cách nếu : 1/ Có ít nhất 2 nữ. 2/ Anh A và chị B không thể ở cùng tổ. Đáp : 1) C1 : C2.4 .C4.7 + C3.4 .C4.7 + C4.4 .C2.7 = 371 C2 : C6.11  (C6.7 + C5.7 .C1.4 ) 2) C6.11  C4.9 = 336 Bài 4 : Có 15 phần thưởng khác nhau. Có bao nhiêu cách tặng cho 3 học sinh : A có 2 phần thưởng, B có 3 phần thưởng và C có 10 phần thưởng. Đáp : C1 : C2.15 .C3.13 C2 : !10!2!3 !15 Bài 5 : Chia 6 học sinh làm 3 tổ, mỗi tổ 2 học sinh. Có bao nhiêu cách ? Đáp : C2.6 .C2.4 .C2.2 Bài 6 : Xếp 15 bánh phân biệt vào 3 hộp giống nhau. Mỗi hộp 5 bánh. Có bao nhiêu cách. Đáp : !3 C.C.C 55510515