Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt Hà Nội năm học: 2011 – 2012 đề chính thức môn: toán thời gian làm bài: 120 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học: 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) Cho , với x ³ 0 và x ¹ 25. 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm giá trị của A khi x = 9. 3) Tìm x để A < . Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Bài III (1,0 điểm) Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x – m2 + 9. 1) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh và = 900. 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI. 4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. Bài V (0,5 điểm) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = . BÀI GIẢI Bài I: (2,5 điểm) Với x ≥ 0 và x 25 ta có : 1) = === = x = 9 Þ A = A < Û < Û Û Û Û Bài II: (2,5 điểm) Cách 1: Gọi x (ngày) (x Î N*) là số ngày theo kế hoạch đội xe chở hết hàng Theo đề bài ta có: Û 140x + 5x2 – - 5 = 150 Û 5x2 – 15x – 140 = 0 Û x = 7 hay x = -4 (loại) Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày. Cách 2: Gọi a (tấn) (a ³ 0): số tấn hàng mỗi ngày, b (ngày) (b Î N*) : số ngày Theo đề bài ta có : Û Þ 5b2 – 15b = 140 Û b = 7 hay b = -4 (loại). Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày. Bài III: (1,0 điểm) 1) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1 là: x2 = 2x + 8 Û x2 – 2x + 8 = 0 Û (x + 2) (x – 4) = 0 Û x = -2 hay x = 4 y(-2) = 4, y(4) = 16 Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 2 là : (-2; 4) và (4; 16). 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 = 2x – m2 + 9 Û x2 – 2x + m2 – 9 = 0 (1) Ycbt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu Û a.c = m2 – 9 < 0 Û m2 < 9 Û çm ç < 3 Û -3 < m < 3. Bài IV: (3,5 điểm) 1) Xét từ giác MAIE có 2 góc vuông là góc A, và góc E (đối nhau) M E I A O B F G N nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kính MI. 2) Tương tự ta có tứ giác ENBI nội tiếp đường tròn đường kính IN. Vậy góc ENI = góc EBI (vì cùng chắn cung EI) Tương tự góc EMI = góc EAI (vì cùng chắn cung EI) Mà góc EAI + góc EBI = 900 (DEAD vuông tại E) Þ góc MIN = 1800 – (góc EMI + góc ENI) = 1800 – 900 = 900 3) Xét 2 tam giác vuông MAI và IBN Ta có góc NIB = góc IMA (góc có cạnh thẳng góc) Þ chúng đồng dạng Þ Û (1) 4) Gọi G là điểm đối xứng của F qua AB. Ta có AM + BN = 2OG (2) (Vì tứ giác AMNB là hình thang và cạnh OG là cạnh trung bình của AM và BN) Ta có : AI = , BI = Từ (1) và (2) Þ AM + BN = 2R và AM.BN = Vậy AM, BN là nghiệm của phương trình X2 – 2RX + = 0 ÞAM = hay BN = . Vậy ta có 2 tam giác vuông cân là MAI cân tại A và NBI cân tại B Þ MI = và NI = Þ S(MIN) = Cách khác góc AEF = 450 ( chắn cung AF ) mà góc AMI = góc AEI suy ra góc AMI = 450 suy ra tam giác AMI cân tại A. Tương tự tam giác BNI cân tại B Þ MI = và NI = Þ S(MIN) = Bài V: (0,5 điểm) M = ³ khi x = ta có M = 2011. Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2011. TS. Nguyễn Phú Vinh (Trường THPT Vĩnh Viễn - TP.HCM)