Hướng dẫn học sinh giải các bài tập bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

A. mở đầu 1/ lý do chọn đề tài: Như chúng ta đã biết trong quá trình dạy học môn toán,việc giải các bài tập có tầm quan trọng rất lớn.Nó là một trong những vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học toán đối với HS PTTH nói chung và THCS nói riêng,bộ môn toán cùng với bộ môn khác góp phần quan trọng vào thực hiện mục tiêu “đào tạo hs thành những con người năng động ,độc lập sáng tạo”,tiếp thu được tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng tính và các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống của bản thân và xã hội ,đặc biệt trong thời đại CN hóa, hiện đại hóa đất nước thế kỷ 21 cần có con người phát triển toàn diện .Do đó việc giải toán là một hình thức quan trọng chủ yếu của việc học môn toán . Quá trình giảng dạy môn toán 8 nhất là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, tôi thấy rằng việc áp dụng vào làm bài tập rất khó bởi vì các em mới tiếp xúc với 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cho nên việc vân dụng vào làm các dạng bài tập là không đơn giản một chút nào đối với học sinh .Thông qua quá trình giảng dạy và sự hiểu biết của tôi ,để giúp học sinh có cách nhìn nhận 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào các dạng bài tập, tôi xin đưa ra sáng kiến kinh nghiệm : “Hướng dẫn học sinh giải các bài tập bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ”(Đại số 8). 2/ Nhiệm vụ nghiên cứu : Giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng tư duy trí tuệ ,hình thành những phẩm chất tư duy khoa học, giúp học sinh hứng thú trong học tập phát huy cao độ tính tư duy tích cực ,độc lập sáng tạo ,năng lực hoạt động và tự học của học sinh. Học sinh nhìn nhận ra hằng đẳng thức trong phép toán hay biểu thức một cách rõ ràng, chính xác.Nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy học và trình độ phát triển của học sinh,tạo niềm tin cho học sinh trong việc học môn toán. 3/Đối tượng nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh giải các bài tập bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ 4. Phạm vi nghiên cứu: - Học sinh lớp 8 - Một số dạng bài tập có sử dụng 7 hằng đẳng thức 5/Phương pháp nghiên cứu: -Qua việc giảng dạy và thông qua tiết luỵên tập trên lớp và một số bài kiểm tra,tôi nắm bắt được chất lượng tiếp thu của học sinh để đưa ra một số bài tập có sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ. -Rèn luỵên kỹ năng giải bài tập là một ý nghĩa quan trọng đặc biệt của môn toán.Nhằm cho học sinh lĩnh hội một số kiến thức và biết vận dụng một số kiến thức đã học,đặc biệt là những phương pháp tư duy cần thiết. - Thông qua việc dự giờ và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp để rút ra biện pháp giảng dạy này b. nội dung nghiên cứu I. Thực trạng tình hình dạy và học: 1. Đối với học sinh: -Học sinh ở trường THCS Trần Hưng Đạo phần đa là con gia đình làm nông nên phải phụ giúp gia đình,nên thời gian học bài của học sinh là rất ít,đặc biêt đối với các học sinh dân tộc,việc tiếp thu kiến thức còn nhiều hạn chế.Vì thế dẫn đến học sinh nắm bắt được kiến thức mới và vận dụng một số kiến thức vào giải bài tập là rất khó. -Mỗi lần vận dụng hằng đẳng thức làm bài tập học sinh thường mắc phải những sai lầm như sau: Ví dụ: a/ 8x3 - y3 = (8x - y)(64x2+8xy +y2) b/ 9x2- 24xy +16y2 = (3x)2 - (4y)2 c/ ( 2x+3y)2 = 2x2 +12xy + 3y 2 Do đó kết quả bài kiểm tra của học sinh đầu học kỳ I (Năm học 2007 - 2008) như sau: Lớp Sĩ số Điểm 1-2,9 3-4,9 dướiTB 5-6,9 7-8,9 9-10 trênTB 8A 29 3 7 10(34,5%) 17 2 0 19(65,5%) 2. Đối với giáo viên: Từ tình hình thực tế trong nhà trường,đặc biệt trực tiếp giảng dạy bộ môn toán ,bản thân tôi tự nhận thấy giáo viên được đào tạo cơ bản,đạt chuẩn về trình độ chuyên môn .Do đó trình độ chuyên môn khá đồng đều,giáo viên có lòng say mê nghề bám trường ,bám lớp ,có lòng yêu nghề mến trẻ.Người giáo viên cố gắng sáng tạo trong việc hướng dẫn học sinh giải toán bằng nhiều phương pháp. Trong quá trình giảng dạy giáo viên chú trọng đến việc khai thác bằng nhiều phương pháp nhằm giúp học sinh phát triển khả năng tư duy lô gích khả năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực ,độc lập sáng tạo ,nâng cao năng lực ,phát hiện giải quyết ván đề ,rèn luyện kỹ năng vào vận dụng thực tiễn ,tác động đến tình cảm đem lại niềm vui ,hứng thú học tập cho học sinh . II. Những tồn tại và nguyên nhân: 1. Về phiá học sinh : Thông thường học sinh muốn giải một bài toán nào đó thường trình bày một cách máy móc một cách rập khuôn .Không suy nghĩ về phép tính hay một biểu thức có sử dụng phương pháp nào đó hay hằng đẳng thức nào ? Đa số học sinh còn lúng túng,nhầm lẫm các hằng đẳng thức với nhau, chưa phát hiện một số hằng đẳng thức trong phép tính. - Nguyên nhân :Do giáo viên chưa quan tâm uốn nắn học sinh từ cái đơn giản đến cái phức tạp nên học sinh thường mắc sai lầm. 2. Về phía giáo viên: -Thường chú ý đến việc cung cấp bài giảng cho học sinh tiếp thu một cách thụ động(đối với học sinh trung bình,yếu và học sinh dân tộc)vì sợ học sinh không hiểu bài dẫn dến học sinh chưa có sự hoạt động về trí tuệ nhiều trong việc giải toán. -Giáo viên thường kết thúc việc giải bài tập nào đó khi tìm ra kết quả,chứ không nghĩ đến cách giải khác để phát huy tính tư duy linh hoạt,sáng tạo của học sinh. III. Các biện pháp đề xuất vận dụng cải tiến chất lượng dạy học: Qua tình hình và những tồn tại nêu trên,tôi thấy rằng việc hệ thống hóa các dạng bài tập giải bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ cho các em là điều quan trọng .Với kinh nghiệm của bản thân kết hợp với năng lực tư duy cuả học sinh và điều kiện khách quan của nhà trường ,bản thân tôi đã tiến hành vận dụng phương pháp nói trên vào một số bài tập cụ thể: Muốn giải tốt bài tập sử dụng phương pháp này,trước hết người giáo viên phải cho học sinh nắm chắc ở ba mức độ hiểu biết ,nhớ - thuộc,vận dụng 1. Biện pháp giúp học sinh biết : - Giáo viên muốn cho học sinh hiểu được các hằng đẳng thức đáng nhớ trước hết phải cho học sinh ôn lại nhớ một số kiến thức có liên quan tới hằng đẳng thức (phép nhân đa thức với đa thức, lũy thừa của lũy thừa, thứ tự thực hiện phép tính...) Ví dụ : a .a = ? a.( b +c) = ? (a + b)(a + b) = ? (x2)3 = ? 2. Biện pháp giúp học sinh hiểu : - Sau khi giáo viên dạy xong 1 hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì cần phải cho học sinh nắm chắc ,hiểu sâu được từng hằng đẳng thức ,bằng cách giúp học sinh phân biệt đâu là số hạng thứ nhất, đâu là số hạng thứ hai, hoặc là đưa ra sơ đồ về một dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng như sau : Ví dụ : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Giáo viên nói ta coi số A là Ê coi số B là  Thì hằng đẳng thức viết theo sơ đồ là: (Ê + )2 =Ê2 + 2ʁ + 2) áp dụng: Tính (x + y)2 -Giáo viên nói: Ta coi Ê = x  = y - Học sinh yếu lên bảng điền vào sơ đồ trên. - Từ phương pháp sử dụng sơ đồ trên học sinh sẽ nắm chắc các hằng đẳng thức .Các hằng đẳng thức khác hướng dẫn tương tự -Để phân biệt các hằng đẳng thức và khỏi nhầm lẫn giáo viên nên cho học so sánh các hằng đẳng thức với nhau Ví dụ : 1/ (A + B)2 và (A - B)2 2/ ( A + B)3 và (A - B)3 3/ A3 + B3 và A3 - B3 -Giáo viên cần cho học sinh nhớ về dấu và cách biến đổi của các hằng đẳng thức đồng thời học sinh phải nắm được đầy đủ những thuộc tính riêng lẻ nằm trong hằng đẳng thức, những thuộc tính riêng lẻ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác đầy đủ hằng đẳng thức . 3. Biện pháp giúp học sinh vận dụng : - Sau khi học sinh nắm chắc hai mức độ trên ,thì bản thân tôi khi dạy học sinh giải bài tập cần phải : - Nhìn một cách tổng quát phép tính hay biểu thức xem thuộc loại toán nào và cần sử dụng phương pháp nào để giải toán. - Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất giao hoán ,kết hợp ,nhóm các hạng tử lại với nhau để xuất hiện hằng đẳng thức -Thu gọn các hạng tử(nếu có) Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ cụ thể: Dạng 1: Tính nhanh a/ 47 . 53 =? b/ 1992 = ? c/ 1052 - 25 = ? GV: Muốn tính nhanh được các phép tính trên ta phải đưa về các dạng hằng đẳng thức. Học sinh quan sát từng phép tính trên có dạng hằng đẳng thức nào? Hướng dẫn học sinh giải a/ 47 . 53 GV: Phép tính trên em phải thêm ở số naò và bớt đi ở số nào để xuất hiện hằng đẳng thức ? HS : ( 50 -3 )( 50 + 3) GV: Hãy viết dạng tổng quát của hằng đẳng thức đó ? b/ 1992 GV: Viết 1992 = ? để tính nhanh? HS: (200 - 1)2 GV: Xuất hiện hằng đẳng thức nào? GV: Em hãy khai triển hằng đẳng thức đó ? HS: 2002 - 2.200 + 1 GV: Hãy thực hiện phép tính? c/ 1052 - 25 GV: Để xuất hiện hằng đẳng thức em phải viết như thế nào? HS: 1052 - 52 GV: Phép tính trên có dạng hằng đẳng thức nào? Hãy khai triển hằng đẳng thức đó? HS: (105 +5)( 105 - 5) Giải a/ 47 . 53 = ( 50 -3 )( 50 + 3) = 502 - 32 = 2500 - 9 = 2491 b/ 1992 = (200 - 1)2 = 2002 - 2.200 + 1 = 40000 - 400 + 1 = 39601 c/ 1052 - 25 = 1052 - 52 = (105 +5)( 105 - 5) = 110 . 100 = 11000 Ví dụ trên là dạng toán tính nhanh cũng là cơ sở để học sinh nhìn nhận ra dạng hằng đẳng thức. Dạng 2 : Rút gọn biểu thức sau : a/( x+y)2 +(x-y)2 b/(2x+y)(4x2-2xy+y2)-(2x-y)(4x2+2xy+y2) Muốn rút gọn được biểu thức trên ,trước hết học sinh phải quan sát biểu thức có chứa những hằng đẳng thức nào ?Sau đó học sinh phải dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm thành một hằng đẳng thức.Từ đó khai triển các hằng đẳng thức trong biểu thức ra ,rồi rút gọn những số hạng đồng dạng . Hướng dẫn học sinh giải a/( x+y)2 +(x-y)2 GV: Biểu thức trên có những dạng hằng đẳng thức nào?Em hãy viết dạng tổng quát ? GV: Dựa vào dạng tổng quát em hãy khai triển các hằng đẳng thức trên ? HS: x2+2xy+y2+x2-2xy+y2 GV: Bước tiếp theo em thực hiện như thế nào ? 2x2+2y2 GV: Em hãy cho biết hai hạng tử trên có gì chung ?Vậy em làm như thế nào ? GV: Sử dụng phương pháp nào ? b/(2x+y)(4x2-2xy+y2)-(2x-y)(4x2+2xy+y2) GV: Muốn rút gọn được biểu thức trên em dựa vào những kiến thức nào đã học? GV: Biểu thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ?Hãy viết dạng tổng quát? GV: Bình phương thiếu của một hiệu bằng gì? Bình phương thiếu của một tổng bằng gì? [(2x)3+y3]-[(2x)3-y3] GV: Bước tiếp theo em thực hiện như thế nào ? GV: (2x)3 = ? HS: (8x3+y3) - (8x3- y3) GV: Muốn bỏ dấu ngoặc đằng trước có dấu trừ thì dấu các số hạng trong ngoặc như thế nào? HS: 8x3+y3-8x3+y3 GV: Biểu thức trên có những số hạng nào đồng dạng với nhau ? Giải a/( x+y)2 +(x-y)2 = x2+2xy+y2+x2-2xy+y2 = 2x2+2y2 = 2x2+2y2 b/(2x+y)(4x2-2xy+y2)-(2x-y)(4x2+2xy+y2) = [(2x)3+y3]-[(2x)3-y3] = 8x3+y3-8x3+y3 = 2y3 Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a/ x2 +6x +9 b/ x3 - x c/ 2x -2y -x2 + 2xy - y2 d/ (x + y)2- 9x2 - Để phân tích đa thức thành nhân tử trước hết học sinh phải nắm được thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử? - Sau đó hãy quan sát đa thức có dạng hằng đẳng thức nào ? Sử dụng hằng đẳng thức đó vào làm bài tập. Giải a/ x2 +6x +9 = x2 + 2.3x +32 = (x + 3)2 b/ x3 - x = x( x2 - 1) = x(x - 1) (x + 1) c/ 2x - 2y -x2 + 2xy -y2 = (2x -2y)-(x2 - 2xy +y2) = 2(x - y) -(x - y)2 = (x - y) (2 - x + y) d/ (x + y)2- 9x2 = (x + y -3x)(x + y +3x) = (-2x + y)(4x + y) Dạng 4: Giải phương trình a/ x2 - 2x +1 - 4 = 0 b/ x2-1 = 0 c/ x2-10x = -25 Hướng dẫn học sinh giải a/ x2 - 2x +1 - 4 = 0 Bước 1: Phương trình trên có dạng hằng đẳng thức nào?Hãy nhóm các hạng tử cùng một hằng đẳng thức vào với nhau? (x2 - 2x +1) -4 = 0 Bước 2: Phương trình trên có dạng hằng đẳng thức nào? Hãy nhóm các hạng tử đó vào với nhau? ( x - 1)2 - 22 = 0 Bước 3: Hãy khai triển hằng đẳng thức trên? (x -1 + 2)( x - 1 -2) = 0 ( x + 1)( x -3 ) = 0 ị * ( x + 1) = 0 ị x = -1 Hoặc ị* (x - 3 ) = 0 ị x = 3 Vậy nghiệm của phương trình là : x=-1 và x=3 GV: Từ bước 2 em nào có cách giải khác?( dành cho hs khá ) HS: Đưa về dạng (x - 1)2 = 22 ị HS: áp dụng kiến thức ở lớp 7 để tìm nghiệm b/ x2-1 = 0 ị(x-1)(x+1) = 0 ị x-1 = 0 ị x = 1 hay x+1 = 0 ị x = -1 GV: Vậy phương trình có mấy nghiệm ? HS: Vậy phương trình có hai nghiệm là: S ={1;-1} c/ x2 - 10x = -25 GV: Để giải phương trình này trước hết em làm như thế nào ? GV: Muốn chuyển vế một hạng tử từ vế này sang vế kia em làm như thế nào ? x2 -10x + 25 = 0 GV: Vế phải có dạng hằng đẳng thức nào ? (x-5)2 = 0 ị x = 5 Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của đa thức a/ tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức: P= x2-2x = 5 b/ tìm giá trị lớn nhất của đa thức : Q= 4x-x2+3 Dạng bài tập trên giáo viên cần hướng dẫn học sinh có thể thêm bớt(tách) các hạng tử trong đa thức để xuất hiện hằng đẳng thức. Giải: a/ P = x2-2x+1+4 = (x2-2x+1)+4 = (x-1)2 +4 4 với mọi x Vậy min P = 4 khi x-1 = 0 khi và chỉ khi x=1 b/Q = -x+4x-4+7 = -(x-4x+4)+7 =-(x-2)+7 7 với mọi x Vậy max Q = 7 khi x-2 = 0 khi và chỉ khi x = 2 *Chú ý: Dạng 5 trên chỉ dùng cho học sinh khá giỏi nhiều. Sau khi học sinh trình bày bài xong, GV cần hướng dẫn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải của bài giúp học sinh nhớ kỹ, khắc sâu kiến thức đã học . Với 5 bài tập trên đều dựa vào hằng đẳng thức.ngoài ra còn sử dụng hằng đẳng thức vào làm một số bài tập khác nữa .Vậy để học sinh nắm chắc được các hằng đẳng thức thì giáo viên cần đưa ra nhiều dạng bài tập có áp dụng hằng đẳng thức .Có thể áp dụng nhiều hằng đẳng thức trong một bài tập. 4/ Kết quả vận dụng : Qua thử nghiệm từ đầu năm học 2007 - 2008 đến nay ,tôi thấy áp dụng các biện pháp trên HS tiến bộ rất nhiều,bài tập, kiến thức khắc sâu nhớ và vận dụng tốt. Cụ thể qua các bài kiểm tra giữa kỳ I, tôi đã vận dụng phương pháp thì có kết quả như sau: Lớp Sĩ số Điểm 1-2,9 3-4,9 dướiTB 5-6,9 7-8,9 9-10 trênTB 8A 29 0 5 5(17,2%) 20 4 0 24(82,8%) Mặt khác sử dụng phương pháp này,tôi thấy HS yếu thích môn học hơn và có ý thức tìm hiểu cách giải khác nhau trong một bài tập nào đó. C. kết luận - kiến nghị 1/ Kết luận: Qua quá trình và giảng dạy và nghiên cứu ,tôi đã rút ra được các biện pháp trên mặc dù chưa được gọi là hoàn hảo nhưng chắc chắn sẽ nâng cao kết quả của việc dạy và học giữa thầy và trò.Sau khi nghiên cứu tôi đã rút ra một số biện pháp: 1/ Biện pháp giúp học sinh biết 2/ Biện pháp giúp học sinh hiểu 3/ Biện pháp giúp học sinh vận dụng. Do đó tôi làm sáng kiến kinh nghiệm này,tôi mong rằng đây cũng là các biện pháp để giúp học sinh có kiến thức vững vàng trong việc áp dụng 7 hằng đẳng thức vào làm các dạng bài tập có liên quan và cũng là nền tảng cho các em học tốt các chương trình ở lớp sau. Việc tìm tòi và viết sáng kiến kinh nghiệm này,chắc chắn còn nhiều thiếu sót mà tôi chưa viết ra được ,tôi rất mong nhận được lời phê bình,góp ý của các thầy, cô giáo và ban giám khảo. 2/ Kiến nghị: - Gia đình : Tạo điều kiện có thời gian cho các em học tập, mua đầy đủ đồ dùng cho các em học tập. Quan tâm hơn nữa tới việc học của con em mình - Nhà trường : Tham mưu với phòng GD Cung cấp đầy đủ đồ dùng cho giaó viên giảng dạy. Cung cấp các loại sách tham khảo cho giáo viên và học sinhở các khối lớp - Phòng giáo dục: Cung cấp đầy đủ đồ dùng cho giaó viên giảng dạy. Cung cấp các loại sách tham khảo cho giáo viên và học sinh Sa thầy, ngày 16 thỏng 11 năm 2006 Người viết Đặng Thị Tươi Tài liệu tham khảo 1- Sách giáo viên lớp 8 (của nhà xuất bản giáo dục) 2- Sách giáo khoa lớp 8 (của nhà xuất bản giáo dục) 3- Tài liệu thay sách lớp 8 4- Sách bài tập lớp 8 (của nhà xuất bản giáo dục) 5-Thiết kế bài soạn lớp 8 6- Sách một số phương pháp giải bài tập toán 8 ( nhà xuất bản Đà nẵng) 7- Sách bước đầu đổi mới kiểm tra kết quả học tập các môn học của học sinh lớp 8(cuả Bộ giáo dục và đào tạo-2004) Mục lục I/ Phần mở đầu 1-Lý do chọn đề tài 2- Nhiệm vụ nghiên cứu 3- Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu. b) Phạm vi nghiên cứu. 4- Phương pháp nghiên cứu. II/Nội dung nghiên cứu: 1-Thực trạng tình hình dạy và học. 2- Những tồn tại và nguyên nhân. 3- Các biện pháp đề xuất để cải tiến chất lượng dạy và học. 4- Kết quả vận dụng biện pháp trên III/ Kết luận và đề nghị Kết luận . Đề nghị.