Hệ thống kiến thức Toán 12

Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 1 GIẢI TÍCH I. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM: (Derivative) Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là : ∆x )f(x∆x)f(x lim ∆x ∆ylim)(xf')(xy' 00 0∆x0∆x 00 −+ === →→ Đạo hàm bên phải tại x0 : x ylim)(xf' 0x ∆ ∆ ∆ 0 +→ + = Đạo hàm bên phải tại x0 : x ylim)(xf' 0x ∆ ∆ ∆ 0 −→ − = Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x0 ∈.(a ; b) Hàm số y = f(x) đạo hàm trên đoạn [a ; b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm bên phải tại a và bên trái tại b. Cách tính đạo hàm : Muốn tính đạo hàm hàm số y = f(x), ta cần thực hiện 3 bước sau : 1) Cho số gia x tại x0 và tính: )f(xx)f(xy 00 −+= ∆∆ 2) Lập tỉ số : x y ∆ ∆ 3) Tìm x )f(xx)f(x lim x ylim 00 0x0x ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ −+ = →→ II. CÁC CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 -1 x x , x x 2 , , , a 1(C)'=0 (tgx)'= =1+tg x cos x 1(x)'=1 (cotgx)'=- =-(1+cotg x) sin x (x )'= x ( R) (e )'=e 1 1=- (a )'=a .lna x x 1 1x = ln x = x2 x 1(sinx)'=cosx log x = xlna (cosx)'=-sinx α α α α∈      Chú ý: Đối với hàm số hợp dạng trên, chỉ cần thay x bởi u và nhân thêm u’. Ví dụ: ( ) ( ) , ,1 u'x = u = 2 x 2 u ⇒ Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 2 2 , v uv'vu' v uuv'vu'(uv)' R)(kku'(ku)'w'v'u'w)'v(u − =     += ∈=++=−+ Chú ý các giới hạn sau: ( ) 1 1 lim*1 )1ln( lim* 1lim* 1 1lim*1 sin lim* 00 1 00 = − = + =+=      += →→ →+∞→→ x e x x exe xx x x xx x x x xx III. ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN: (Diferential) [f(n)(x)]’= f(n + 1)(x) df(x) = f’(x).dx IV. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM: 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
Định lý Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm trong (a; b) thì tồn tại điểm c ∈ (a; b) sao cho: ab f(a)f(b)(c)f' − − = .
Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a; b). a. f(x) đồng biến trong (a; b) ⇔ f’(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b) b. f(x) nghịch biến trong (a; b) ⇔ f’(x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b) ( Dấu bằng “=” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm x0 ∈ (a; b) ).
Điểm tới hạn: Cho hàm số y = f(x) xác định trong (a; b) và x0 ∈ (a; b). Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của f(x) nếu f’(x) = 0 hoặc f(x) không có đạo hàm tại điểm x0. 2. Cực trị của hàm số:
Định lý Fermat: (Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại đó thì f’(x0) = 0 Lưu ý: Mọi điểm cực trị của hàm số đều là điểm tới hạn.
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:  Định lý 1:( Dấu hiệu 1 ) Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong lân cận của điểm x0. a. Nếu khi x đi qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (–) thì hàm số đạt cực đại tại x0. b. Nếu khi x đi qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ âm (–) sang dương (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. Lưu ý: Để hàm số đạt cực trị tại x0 thì f’(x) phải đổi dấu khi đi qua x0. Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 3  Định lý 2:( Dấu hiệu 2 ) a. Hàm số f(x) đạt cực đại tại x0 khi    < = 0)(xf" 0)(xf' 0 0 b. Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0 khi    > = 0)(xf" 0)(xf' 0 0 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: a- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu: )( ) xf D 00 max M : hiệuKí Mf(x:Dx Mf(x) thì Dx =    =∈∃ ≤∈∀
Số thực m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu: )( ) xf D 00 min m : hiệuKí mf(x:Dx mf(x) thì Dx =    =∈∃ ≥∈∀ b- Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
Trên (a; b):  Tính y’, lập BBT.  Nếu trên (a; b), hàm số có duy nhất một cực đại thì đó là max, duy nhất một cực tiểu thì đó là min; ngoài ra thì không có.
Trên [a; b]:  Tính y’, tìm các điểm tới hạn, giả sử đó là x1; x2; ...; xn.  Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1; 2; ...; n).  Số lớn nhất trong các số vừa tìm được là max, số nhỏ nhất là min. 4. Tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số: * Đồ thị hàm số y = f(x) lồi trong (a; b) ⇔ f”(x) < 0, ∀ x ∈ (a; b). * Đồ thị hàm số y = f(x) lõm trong (a; b) ⇔ f”(x) > 0, ∀ x ∈ (a; b). * Điểm M0(x0; f(x0)) là điểm uốn nếu f”(x) đổi dấu khi đi qua x0. 5. Tiệm cận:
Hàm số: y = dcx bax + + (c ≠ 0) ngang cận tiệm là c a y c aylim đứng cận tiệm là c d y ylim =⇒= −=⇒∞= ∞→ −→ x c d x
Hàm số: y = edx cbxax2 + ++ (a, d ≠ 0) Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 4 xiên cận tiệm là nmx y 0 edx p(x)lim edx p(x) n mx y được mẫu, cho tử chia phép hiệnThực đứng cận tiệm là d e y ylim +=⇒= + + ++= −=⇒∞= ∞→ −→ x d e x 6. Các hàm số thường gặp: A. Hàm bậc ba: y = ax3 + bx2 + c + d (a ≠ 0)  Tập xác định: D = R.  y’ = 3ax2 + 2bx + c: Hoặc có hai cực trị (y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt), hoặc không có cực trị.  Đồ thị luôn có một điểm uốn.  Đồ thị có một tâm đối xứng là điểm uốn.  y = f(x) = (mx + n).f’(x) + p(x) + q. Do đó nếu hàm số có hai cực trị thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình: y = p(x) + q.  Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và yCĐ.yCT < 0.  Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng (Cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C sao cho AB = BC) khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và điểm uốn thuộc Ox. B. Hàm trùng phương : y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)  Tập xác định: D = R.  y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b): Hoặc có ba cực trị (y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt), hoặc có một cực trị.  Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.  Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng khi at2 + bt + c = 0 có hai nghiệm t1; t2 thỏa 0 < t1 < t2 và t2 = 9 t1, với t = x2. C. Hàm hữu tỷ: y = dcx bax + + :  Tập xác định: D = R\      − c d .  y’ = 2d)(cx bcad + − , hàm số luôn tăng hoặc giảm với x ∈ D nên không có cực trị.  đứng cận tiệm là c d y ylim −=⇒∞= −→ c d x  ngang cận tiệm là c a y c aylim =⇒= ∞→x  Đồ thị có một tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận. Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 5  Đồ thị là một Hyperbol. D. Hàm hữu tỷ: y = edx cbxax2 + ++  Tập xác định: D = R\      − d e .  Hàm số có hai cực trị (y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt), hoặc không có cực trị.  đứng cận tiệm là d e y ylim −=⇒∞= −→ d e x  edx p(x) n mx y được mẫu, cho tử chia phép hiệnThực + ++= xiên cận tiệm là nmx y 0 edx p(x)lim +=⇒= +∞→x  Đồ thị có một tâm đối xứng là giao điểm hai đường tiệm cận.  Đồ thị là một Hyperbol.  Nếu hàm số có hai cực trị thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình: y = d b2ax + . CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH KHẢO SÁT HÀM SỐ:
Tìm TXĐ.
Tính y’, tìm các cực trị (Nếu có).
Tìm các tiệm cận (Hàm hữu tỷ) hoặc tính ±∞→x lim (Hàm đa thức)
Lập BBT.
Tính y”, lập bảng xét dấu y” (Đối với hàm đa thức).
Cho các điểm đặc biệt (Thường là các điểm nguyên ở hai bên cực trị hoặc điểm uốn).
Vẽ đồ thị. V. NGUYÊN HÀM: (Primitive) 1. Định nghĩa: ∫ =⇔+= const:Cf(x)(x)F'CF(x)f(x)dx 2. Tính chất: ( ) ( ) dxg(x)f(x)dxdxg(x)f(x)* Rkf(x)dxkk.f(x)dx* f(x)f(x)dx* ' ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ±=± ∈= = Lưu ý:Nguyên hàm của một hàm số không phụ thuộc vào biến, nghĩa là: Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 6 ...;CF(t)f(t)dt;CF(u)f(u)duthìCF(x)f(x)dxNếu ∫∫∫ +=+=+= 3. Bảng các nguyên hàm: a. Các nguyên hàm cơ bản: )10( ln * *cossin* cot sin 1 *ln cos 1 *)1( 1 sincos* 2 2 1 ≠<+= +=+−= +−=+= +=≠ + = +=+= ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ + aC a a dxa CedxeCxxdx Cgxdx x Cx x Ctgxdx x x dx CxxdxCx x x xx dx* x* dx* α α α α b. Các nguyên hàm mở rộng: )0(ln )( 11 * )0,10( ln 1 * )0( 1 * )0()(cot 1 )(sin 1 * )0()( 1 )(cos 1 * )0()sin( 1 )cos(* )0()cos( 1 )sin(* )0(ln 1 )1;0( 1 1 2 1 21 2 2 2 1 ≠+ − − − = ++ ≠≠<+= ≠+= ≠++−= + ≠++= + ≠++=+ ≠++−=+ ≠++= + ≠≠+ + + =+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + + ++ + aC xx xx xxa dx cxbax maC a a m dxa aCe a dxe aCbaxg a dx bax aCbaxtg a dx bax aCbax a dxbax aCbax a dxbax aC a aC a nmx nmx baxbax bax bax dx* b)(axdxb)(ax* α α α α VI. TÍCH PHÂN: (Integral) Với x1; x2 là hai nghiệm của ax2 + bx + c = 0 Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 7 1. Định nghĩa: [ ] f(x) của hàmnguyênmột là F(x) VớiF(a)F(b)F(x)f(x)dx ba b a −==∫ Công thức trên gọi là công thức Newton-Laipnitz 2. Tính chất: Giả thiết rằng các hàm số f(x), g(x) liên tục trên [a; b]. ( ) const):m(M;a)M(bf(x)dxa)m(bMf(x)m* g(x)dxf(x)dxb][a;xg(x),f(x)* 0f(x)dxb][a;x0,*f(x)g(x)dxf(x)dxdxg(x)f(x)* f(x)dxf(x)dxf(x)dx*R)(kf(x)dxkk.f(x)dx* f(x)dxf(x)dx*0f(x)dx* b a b a b a b a b a b a b a b c c a b a b a b a a b b a a a −≤≤−⇒≤≤ ≥⇒∈∀≥ ≥⇒∈∀≥±=± +=∈= −== ∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫ Lưu ý:Tích phân của một hàm số phụ thuộc vào hàm số đó và các cận a; b mà không phụ thuộc vào biến, nghĩa là: ∫ ∫∫ === b a b a b a f(u)duf(t)dtf(x)dx ... VII. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 1. Phương pháp đổi biến số: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], x = ϕ(t) là hàm số có đạo hàm liên tục trên [α; β], trong đó a = ϕ(α); b = ϕ(β). Khi t biến thiên trên [α; β] thì x biến thiên trên [a; b]. Ta có: [ ] dt(t)'.(t)ff(x)dx β α b a ∫∫ = ϕϕ Chú ý: Đối với phương pháp này, nếu gặp tích phân có chứa:  Aα thì đặt t = A.  α A thì đặt t = α A .  A 1 thì đặt t = A.          −∈= − − ∫∫ 2 π; 2 πtvớia.sintxđặtthì xa 1hoặcxa 22 22 Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 8       −∈= +−+ ∫∫∫ 2;2tvớia.tgtxđặtthìxa dxhoặc xa dxhoặc xa 222222 ππ )( n dx 2. Phương pháp tích phân từng phần: Nếu u(x); v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì: ∫∫ −= b a b a v.duu.dv bauv Chú ý: Đối với phương pháp này, ta tách biểu thức f(x)dx thành u.dv sao cho từ dv tìm v đơn giản và ∫ b a v.du đơn giản hơn ∫ b a u.dv . Gặp: P(x) đặt u thì dx a e b)cos(ax b)sin(ax P(x). b a nmx bax =               + + ∫ + + Gặp: P(x) dvđặt thì dxP(x). b a =      + ∫ x bax alog )ln( VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: 1. Diện tích các hình phẳng: * Cho hàm số y = (f) liên tục trên đoạn [a ; b] thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), x = a, x = b, y = 0 (Ox) là: * Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f1(x), y = f2(x), đường thẳng x = a, x = b là: 2. Thể tích vật thể tròn xoay: * Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn giữa x = g(y), y = a, y = b, x = 0 khi khi quay quanh trục Oy : dxxV b a 2∫= π * Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn giữa y = f(x), x = a, x = b, y = 0 khi quay quanh trục Ox là: dxyV b a 2∫= π Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 9 IX. ĐẠI SỐ TỔ HỢP: (Combinatorics) 1. Quy tắc cơ bản của phép đếm: a. Quy tắc cộng: Nếu một hành động (H) có các trường hợp: A; B; C; ... Trường hợp A có m cách thực hiện. Trường hợp B có n cách thực hiện. Trường hợp C có p cách thực hiện ... Thì (H) có m + n + p + ... cách thực hiện. b. Quy tắc nhân: Nếu một hành động (H) có các giai đoạn: A; B; C; ... Giai đoạn A có m cách thực hiện. Giai đoạn B có n cách thực hiện. Giai đoạn C có p cách thực hiện ... Thì (H) có m.n.p. ... cách thực hiện. 2. Hoán vị: (Permutation) Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập X theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của n phần tử. Pn = n! = 1.2.3...n Quy ước: 0! = 1 3. Chỉnh hợp: (Arrangement) Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập X (0 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. k)!(n n!A kn − = Đặc biệt: n!PA n n n == 4. Tổ hợp: (Combination) Định nghĩa: Mỗi tập con gồm k phần tử của tập X gồm n phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. k)!(nk! n!Ckn − = Tính chất: CCC CC k 1-n 1-k 1-n k n k-n n k n += = 5. Công thức nhị thức Newton: baC bCabC...baC...baCbaCaCb)(a n 0k kknk n nn n 1n1-n n kknk n 22n2 n 1n1 n n0 n n ∑ = −−−−− =+++++++=+ Đặc biệt: n n n1-n n 1nk n k2 n 1 n 0 n n n n 1-n n k n 2 n 1 n 0 n nn C1)(C1)(...C1)(...CCC1)(10 CC...C...CCC1)(12 −+−++−+−+−=−= +++++++=+= − 6. Tam giác Pascal: Cho ta biết các hệ số của khai triển Newton với n không quá lớn. Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 10 n = 0: 1 n = 1: 1 1 n = 2: 1 2 1 n = 3: 1 3 3 1 n = 4: 1 4 6 4 1 n = 5: 1 5 10 10 5 1 n = 6: 1 6 15 20 15 6 1 n = 7: 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8: 1 8 28 56 70 56 28 8 1 n = 9: 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ... HÌNH HỌC I. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG: 1. Các phép toán về vectơ:













2 2 Cho u = (x; y); v = (x'; y'). u ± v = (x ± x'; y ± y') k.u = (kx; ky) u . v = x.x'+ y.y' u = x + y u . vcos(u;v) = u . v Cho A(xA; yA); B(xB; yB): AB = (xB – xA; yB – yA ) * Điểm M(xM; yM) chia đoạn AB theo tỷ số k (MA = k.MB) thì: − − − − A B A B M M x kx y kyx = y = 1 k 1 k * Điểm M(xM; yM) trung điểm AB + +A B A B M M x x y yx = y = 2 2 2. Đường thẳng: 2.1. Phương trình đường thẳng:
Đường thẳng d qua M(x0; y0), chỉ phương a = (a1; a2) có: PTTS:    0 1 0 2 x = x + ta y = y + ta ; PTCT: − − =0 0 1 2 x x y y a a Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 11
Đường thẳng d qua M0(x0; y0), pháp vectơ n = (A; B) cóPTTQ: d: A(x – x0) + B(y – y0) = 0 Chú ý:  Nếu d có n = (A; B) thì a = (B; – A) hoặc a = (– B; A).  d // d’: Ax + By + C = 0 thì d: Ax + By + C’ = 0.  d ⊥ d’: Ax + By + C = 0 thì d: Bx – Ay + C’ = 0. 2.2. Góc, khoảng cách:  Cho điểm M0(x0; y0) và d: Ax + By + C = 0 thì: 0 0 0 2 2 Ax + By + C d(M ,d) = A + B  Cho hai đường thẳng d có pháp vectơ n ; d’ có pháp vectơ n’ thì:  .



n.n' cos(d, d') = n n' 2.3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Cho d: Ax + By + C = 0 và d’: A’x + B’y + C’ = 0. ≠ A B A' B' : d cắt d’ = ≠ A B C A' B' C' : d // d’ = = A B C A' B' C' : d ≡ d’ 3. Đường tròn: (Circle) 3.1. Cho I(a; b), R > 0. C(I; R): (x – a)2 + (y – b)2 = R2. ⇔ x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (c = −2 2 2a + b R ) 3.2. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: Cho M0((x0; y0) và đường tròn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. PM/(C) = 2 20 0 0 0x + y 2ax 2by + c− − 4. Ba đường Cônic: 4.1. Elip: Cho elip (E): 2 2 2 2 x y+ =1 a b (a > b) b2 = a2 – c2.
Trục lớn: 2a; trục bé: 2b.
Các đỉnh: A1(– a; 0), A2(a; 0) B1(0; – b), A2(0; b)
Tiêu điểm: F1(– c; 0), F2(c; 0).
Tâm sai: = ce a ; đường chuẩn: = ± ax e M O F1(– c; 0) F2(c; 0) x y Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 12
Tiếp tuyến với (E): 2 2 2 2 x y+ =1 a b tại M0(x0; y0) là d: 0 02 2 x.x y.y+ =1 a b .
Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (E): 2 2 2 2 x y+ =1 a b ⇔ A2.a2 + B2.b2 = C2(C ≠ 0) 4.2. Hyperbol: Cho Hyperbol (H): − 2 2 2 2 x y =1 a b b2 = c2 – a2.
Trục thực: 2a; trục ảo: 2b.
Đỉnh thực: A1(– a; 0), A2(a; 0)
Đỉnh ảo: B1(0; – b), A2(0; b)
Tiêu điểm: F1(– c; 0), F2(c; 0).
Tâm sai: = ce a ; đường chuẩn: = ± ax e
Tiệm cận: = ± by x a
Tiếp tuyến với (H): − 2 2 2 2 x y =1 a b tại M0(x0; y0) là d: −0 02 2 x.x y.y =1 a b .
Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (H): − 2 2 2 2 x y =1 a b ⇔ A2.a2 – B2.b2 = C2(C ≠ 0). 4.3. Parabol: Cho parabol (P): y2 = 2px
Tiêu điểm: F( p 2 ; 0).
Đường chuẩn: − px = 2
Tiếp tuyến với (P): y2 = 2px tại M0(x0; y0) là: d: y.y0 = p(x + x0)
Đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (P): y2 = 2px ⇔ pB2 = 2A.C. II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN: 1. Các phép toán về vectơ: O F1(– c; 0) F2(c; 0) x x y O F( p 2 ; 0) x y Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 13 '± +













2 2 2 Cho u = (x; y; z); v = (x'; y'; z'). u ± v = (x ± x'; y ± y'; z z ) k.u = (kx; ky; kz) u . v = x.x'+ y.y'+ z.z' u = x + y z u . vcos(u;v) = u . v Cho A(xA; yA; zA); B(xB; yB; zB): AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA ) * Điểm M(xM; yM) chia đoạn AB theo tỷ số k (MA = k.MB) thì: − − − − − − A B A B A B M M M x kx y ky z kzx = y = z = 1 k 1 k 1 k * Điểm M(xM; yM) trung điểm AB + + +A B A B A B M M M x x y y z zx = y = z = 2 2 2 2. Tích có hướng của hai vectơ, ứng dụng: ∆     =       =      








1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ABC ABCD Cho a = (x ;y ;z );b = (x ;y ;z ) y z z x x y a ,b ; ; y z z x x y 1S AB, AC 2 1V = AB, AC .AD 6 2. Mặt phẳng: Mặt phẳng α qua M0(x0; y0), pháp vectơ n = (A; B; C) cóPTTQ: α: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 Chú ý:  α có hai chỉ phương

a ,b thì có pháp véctơ   


n = a ,b .  α qua A, B, C thì có pháp véctơ    


n = AB ,AC . 3. Đường thẳng: Đường thẳng d qua M(x0; y0; z0), chỉ phương a = (a1; a2; a3) có: PTTS:      0 1 0 2 0 3 x = x + ta y = y + ta z = z + ta ; PTCT: 0 0 0 1 2 2 x x y y z z = = a a a − − − ⇔ 0 0 1 2 0 0 2 2 x x y y = a a y y z z = a a − −   − −  Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 14 4. Vị trí tương đối: 4.1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng: α: Ax + By + Cz + D = 0 β: A’x + B’y + C’z + D’ = 0  A : B : C ≠ A’ : B’ : C’: α cắt β.  A B C D= = = A' B' C' D' : α ≡ β.  A B C D= = A' B' C' D' ≠ α // β. 4.2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d1 qua M1(x1; y1; z1), chỉ phương a = (a1; a2; a3) d2 qua M2(x2; y2; z2), chỉ phương b = (b1; b2; b3)    =  


1 2a ,b .M M 0⇔ d1 và d2 đồng phẳng.  a1: a2: a3 ≠ b1: b2: b3: d1 cắt d2.  a1: a2: a3 = b1: b2: b3 : d1 ≠ (x2 – x1):(y2 – y1):(z2 – z1): d1 // d2.  a1: a2: a3 = b1: b2: b3 : d1 = (x2 – x1):(y2 – y1):(z2 – z1): d1 ≡ d2.    ≠  


1 2a ,b .M M 0⇔ d1 và d2 chéo nhau. 4.2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng d qua M(x0; y0; z0), chỉ phương a. Mặt phẳng α: Ax + By + Cz + D = 0 có pháp véctơ n  ≠

a .n 0 :d cắt α. 

a .n = 0 :  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0: d // α.  Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0: d ⊂ α. 5. Góc: 5.1. Góc giữa hai đường thẳng: d có chỉ phương a. d’ có chỉ phương a’ thì  .



a.a' cos(d, d') = a a' 5.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: d có chỉ phương a. α có pháp véctơ n thì  . α



a.n sin(d, ) = a n 5.3. Góc giữa hai mặt phẳng: α có pháp véctơ n , β có pháp véctơ n’ thì  . α β



n.n' cos( , ) = n n' 6. Khoảng cách: 6.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Hệ thống kiến thức Toán 12 Giáo viên : Nguyễn Hữu Chung Kiên_ THPT Vĩnh Thuận
0987.192212 Trang 15 Cho điểm M0(x0; y0; z0) và α: Ax + By + Cz + D = 0 thì: 0 0 0 0 2 2 2 Ax + By + Cz +D d(M ,d) = A + B + C 6.2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho điểm M0(x0; y0; z0) và đt d đi qua M1, chỉ phương a thì: 0 1 1 M M .u d(M ,d) = u     


6.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d qua M, chỉ phương a. d’ qua M’, chỉ phương a’ thì [ ] [ ] a.a' .MM' d(d,d') = a.a' 




7. Mặt cầu: (Sphere) 3.1. Cho I(a; b; c), R > 0. S(I; R): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2. ⇔ x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (d = 2 2 2 2a + b + c R− ) 3.2. Tương giao của mặt cầu và mặt phẳng: Cho: S(I; R): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2. α: Ax + By + Cz + D = 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I(a; b; c) lên α ⇒ IH = d(I, α)
Nếu IH > R: α không cắt (S).
Nếu IH = R: α là mặt tiếp diện của (S) tại H.
Nếu IH < R: α cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn: C(H, 2 2 2 2 2 Ax + By + Cz + D = 0 IH ) : (x a) + (y b) + (z c) = R 2R  −  − − − Giáo viên: Nguyễn Hữu Chung Kiên Trường THPT Vĩnh Thuận Email: nhchungkien@gmail.com Website: fun.easyvn.com/chungkien