Giáo án Tự chọn Toán Lớp 8 - Chủ đề 1: Phân tích đa thức thành nhân tử - Hoàng Việt Hồng

CHỦ ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ A. MỤC TIÊU : Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng : - Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử - Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng. - Vận dụng được các phương pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, ứn dụng của phân tích đa thức thành nhân tử:tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức B. THỜI LƯỢNG : ( 6 tiết ) C. THỰC HIỆN : Tiết1 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰÊNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV GV GV ? Thế nào là phân tích một đa thức thành nhân tử ? Bài toán 1 : Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử ? Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ? 2x2+5x-3 = x(2x+5)-3 (1) 2x2+5x-3 = x (2) 2x2+5x-3=2 (3) 2x2+5x-3= (2x-1)(x + 3) (4) 2x2+5x-3 =2(x + 3) (5) ? Những phương pháp nào thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử ? ? Nội dung cơ bản của phương pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phương pháp này dựa trên tính chất nào của phép toán về đa thức ? Có thể nêu ra một công thức đơn giản cho phương pháp này hay không ? Bài toán 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3x2+12xy ; b) 5x(y+1)-2(y+1); c)14x2(3y-2)+35x(3y-2)+28y(2-3y) HS HS HS HS - Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. thảo luận nhóm tìm lời giải. giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là phân tích đa thức thành nhân tử. Cách biến đổi (1) không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức chưa được biến đổi thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Cách biến đổi (2) cũng không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức đượ biến đổi thành một tích của một đơn thức và một biểu thức không phải là đa thức. Trả lời: Ba phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử là : Phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức và phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Trả lời : - Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chug thì đa thức đó biểu diễn được thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác. - Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức. - Một công thức đơn giản cho phương pháp này là : AB + AC = A(B + C) Giải a) 3x2+12xy =3x.x+3x.4y=3x(x + 4y) b) 5x(y+1)-2(y+1) =(y+1)(5x-2) c) 14x2(3y-2)+35x(3y-2) +28y(2-3y) =14x2(3y-2 + 35x(3y-2) - 28y(3y -2) = (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y) Hướng dẫn về nhà - xem lại cá bài tập đã chữa. - Ôn lại các hằng đẳng thức đã học làm các bài tập SBT. Tiết 2 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰÊNG PHƯƠNG PHÁP HẰNG ĐẲNG THỨC Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV GV GV ? Nội dung cơ bản của phương pháp dùng hằng đẳng thức là gì ? Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x2 - 4x + 4 ; b) 8x3 + 27y3 ; c) 9x2 - (x - y)2 d) 27x3y - a3b3y e) x2 – 2xy – 4 + y2 HS HS HS Trả lời : Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức Giải a) x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 b) 8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y) [(2x)2 - (2x)(3y) + (3y)2] = (2x + 3y) (4x2 - 6xy + 9y2) c) 9x2 - (x - y)2 = (3x)2 - (x - y)2 = [ 3x - (x - y)] [3x + (x - y)] = (3x - x + y) (3x + x - y) = (2x + y) (4x - y) d) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) = (2x)3 - y3 + (2x)2 - y2 =(2x-y)[(2x)2+(2x)y+y2]+(2x-y)(2x + y) =(2x-y)(4x2+2xy+y2)+(2x-y)(2x +y) = (2x - y (4x2 + 2xy + y2 + 2x + y) e) (x-y)2-22 =(x-y-2)(x-y+2) Hướng dẫn về nhà: - Xem lại các bài tập đã chữa. - Ôn lại các hằng đẳng thức và các phương pháp PTĐT thành nhân tử Tiết 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV GV GV ? Nội dung của phương pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ? Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử x2 - 2xy + 5x - 10y x (2x - 3y) - 6y2 + 4xy ; c) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 Bài toán 2 a) TÝnh nhanh 252- 152, ta ®­ỵc kÕt qu¶ lµ. A. 40 B. 400 C. - 40 D. - 400 b) Ph©n tÝch ®a thøc 5x- 5y + ax- ay thµnh nh©n tư, ta ®­ỵc: A. (5- a)(x- a) B. (a-5)(x- y) C. (5- a)(x + a) D. (5+ a)(x-y) HS HS HS Trả lời : Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng được hằng đẳng thức đáng nhớ . Giải x2 - 2xy + 5x - 10y = (x2 - 2xy) + (5x - 10y) = x(x - 2y) + 5(x - 2y) = (x - 2y) (x + 5) b) x (2x - 3y) - 6y2 + 4xy = x(2x - 3y) + (4xy - 6y2) = x(2x - 3y) + 2y(2x - 3y) = (2x - 3y) (x + 2y) c) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) = (2x)3 - y3 + (2x)2 - y2 = (2x - y) [(2x)2 + (2x)y + y2] + + (2x - y)(2x + y) = (2x - y)(4x2+ 2xy + y2) + + (2x - y) (2x +y) = (2x - y (4x2 + 2xy + y2 + 2x + y) Giải: Làm theo nhóm trọn đáp án đúng. ĐA: chọn B chọn D Hướng dẫn về nhà: Xem lại các bài đã chữa. Ôn lại các phương pháp PTĐTTNT. Tiết 4 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV GV GV GV ? Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ được dùng riêng rẽ từng phương pháp hay có thể dùng phối hợp các phương pháp đó ? Bài toán 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử : a) a3 - a2b - ab2 + b3 ; b) ab2c3 + 64ab2 ; c) 27x3y - a3b3y ? Ngoài 3 phương pháp thường dùng nêu trên, có phương pháp nào khác cũng được dùng để phân tích đa thức thành nhân tử không ? Bài toán 2 : Phân tích thành nhân tử a) 2x2 - 3x + 1 ; b) y4 + 64 HS HS HS HS Trả lời : Có thể và nên dùng phối hợp các phương pháp đã biết Giải: a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2 (a - b) - b2 (a - b) = (a - b) (a2 - b2) = (a - b)(a - b)(a + b) = (a - b)2(a + b) b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3 - 64) = ab2(c3 + 43) = ab2(c + 4)(c2 - 4c + 16) c) 27x3y - a3b3y = y(27 - a3b3) = y([33 - (ab)3] = y(3 - ab) [32 + 3(ab) + (ab)2] = y(3 - ab) (9 + 3ab + a2b2)’ Trả lời : Còn có các phương pháp khác như : phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. Lời giải : 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x + 1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1) (2x - 1) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2 = (y2 + 8 - 4y) (y2 + 8 + 4y) Hướng dẫn về nhà: Xem lại các bài đã chữa. Ôn lại các phương pháp PTĐTTNT. Tiết 5 ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV GV GV GV ? Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải một số loại toán nào ? Bài toán 1: Giải các phương trình a) 2(x + 3) - x(x + 3) = 0 b) x3 + 27 + (x + 3) (x - 9) = 0 c) x2 + 5x = 6 Bài toán 2 : Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử : a) (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) b) (x2 - 5x + 6) : (x - 3) c) (x3 + x2 + 4):(x +2) Bài toán 3 : Rút gọn các phân thức b) c) HS HS Trả lời : Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức Giải : a) Vì 2(x + 3) - x(x + 3) = (x + 3) (2 - x) nên phương trình đã cho trở thành (x + 3)(2 - x) = 0. Do đó x + 3 = 0 ; 2 - x = 0, tức là x = -3 ; x = 2 phương trình có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = -3 b) Ta có x3 + 27 + (x + 3)(x - 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x - 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 9 + x - 9) = (x + 3)(x2 - 2x) = x(x + 3)(x - 2) Do đó phương trình đã trở thành x(x + 3)(x - 2) = 0. Vì vậy x = 0 ; x + 3 = 0 ; x - 2 = 0 tức là phương trình có 3 nghiệm : x = 0 ; x = -3 ; x = 2 c) Phương trình đã cho chuyển được thành x2 + 5x - 6 = 0. Vì x2 + 5x - 6 = x2 - x + 6x - 6 = x(x - 1) + 6(x - 1) = (x - 1)(X + 6) nên phương trình đã cho trở thành (x - 1)(x + 6) = 0. Do đó x - 1 = 0 ; x + 6 = 0 tức là x = 1 ; x = -6 Giải: a) Vì x5 + x3 + x2 + 1 = x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) nên (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1) : (x3 + 1) = x2 + 1 b) Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x -2) nên : (x2 - 5x + 6) : (x - 3) = (x - 3)(x - 2) : (x - 3) = x - 2 c) Ta có x3 + x2 + 4 = x3 + 2x2 - x2 + 4 = x2 (x + 2) - (x2 - 4) = x2 (x + 2) - (x - 2) (x + 2) = (x + 2)(x2 - x + 2) Do đó (x3 + x2 + 4) : (x +2) = (x + 2)(x2 - x + 2) : (x + 2) = x2 - x + 2 Giải : a) b) c) Hướng dẫn về nhà xem lại các bài tập đã chữa. Ôn lại toàn bộ chủ đề 1. ¤n tËp cHđ ®Ị I A/ Mơc tiªu : - ¤n tËp, hƯ thèng hãa c¸c ph­¬ng ph¸p PT§T thµnh nh©n tư. - RÌn kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư - Nh©n d¹ng nhanh c¸c h»ng ®¼ng thøc , ®Ĩ rĩt gän biĨu thøc , t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoỈc nhá nhÊt cđa biĨu thøc - Ph¸t triĨn t­ duy HS víi mét sè bµi tËp nh­ : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt. B/ ChuÈn bÞ : - GV: Bµi tËp - HS: ¤n c¸c h»ng ®¼ng thøc , c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư . C/ Ho¹t ®éng trªn líp I/ Tỉ chøc : (1') II/ KiĨm tra (KÕt hỵp trong giê ) III/ Bµi míi (40 phĩt ) Ho¹t ®éng cđa GV vµ HS Ghi b¶ng ? Nh¾c l¹i c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư? Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x3 - 3x2 - 4x + 12 b) x2 – y2 – 7x + 7y c) x2 – 2xy + y2 – 4z2 d) y4 + 2y3 – y2 – 2y ? Sư dơng ph­¬ng ph¸p nµo ®Ĩ ph©n tÝch ? TL: Nhãm - dïng H§T - §Ỉt nh©n tư chung. - GV gäi HS lªn b¶ng lµm. => NhËn xÐt. Bµi 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (hoỈc nhá nhÊt ) cđa biĨu thøc sau : ? Lo¹i bµi tËp nµy ta lµm thÕ nµo ? TL: - GV gỵi ý c¸ch lµm tõng b­íc ? H·y viÕt ®a thøc C vỊ d¹ng b - ( x + a)2 ? ? CãnhËn xÐt g× vỊ TL: ? Tõ ®ã h·y suy ra - vµ ? VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cđa c¸c biĨu thøc C? * GV chèt: +) ( x + a)2 b b. +) b - ( x + a)2 b b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = (2x – 1) (2x + 3) Häc sinh nh¾c l¹i c¸c PP Bµi 1 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) x3 - 3x2 - 4x + 12 = ( x3 - 3x2 ) - ( 4x - 12 ) = x2 ( x -3 ) - 4 ( x -3 ) = ( x - 3 ) ( x2 - 4 ) = ( x - 3 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) b) x2 – y2 – 7x + 7y = (x2 – y2) – 7(x – y) = (x - y) (x + y) – 7(x – y) = (x – y) (x + y – 7) c ) x2 – 2xy + y2 – 4z2 = (x2 – 2xy + y2) - 4z2 = ( x – y)2 – (2z)2 = ( x – y –2z )(x – y + 2z) d)y4 + 2y3 – y2 – 2y = y3(y + 2) – y (y +2) = (y +2 ) (y3 – y )=( y + 2) y (y2 – 1) = (y + 2) y(y – 1) ( y +1) Bµi 2 a) C = 5x - x2 = - ( x2 - 5x ) = - ( x2 - 2.x. + ) = - = Ta cã: víi mäi x víi mäi x ĩ víi mäi x VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cđa c¸c biĨu thøc C lµ . b) M = (2x – 1) (2x + 3) = ( 2x + 1)2 – 4 ≥ - 4 "x => Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là – 4 khi x = IV/ Cđng cè: (2') - Nªu c¸c d¹ng to¸n ®· häc trong bµi vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i? - Khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu thøc cÇn chĩ ý g× ? V/ H­íng dÉn : (2') - ¤n l¹i 7 h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí , c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư - Nh©n ®a thøc víi ®a thøc , chia ®a thøc cho ®a thøc - Xem kü l¹i c¸c bµi tËp ®· ch÷a - Lµm bµi tËp 53 vµ c¸c phÇn cßn l¹i tõ bµi 54 ®Õn bµi 59 (SBT - 9 ) Tiết 6 ÔN TẬP ĐỀ BÀI PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm). Câu 1 : Thu gọn biểu thức 8x2 + 8x + 2 được : A/ (x+2)2 B/ ( 2x + 2 )2 C/ 2 (2x + 1)2 Câu 2: Giá trị biểu thức ( x – 2) (x3 + 1) + (x – 2 )(1 – x3) tại x = 2002 là: A/ 4000 B/ 2000 C/ 4004 Câu 3: Cho biết (x – 3) (x + 3) = 0. Giá trị của x là: A/ 3 B/ -3 C/ Cả A/ và B/ đều đúng Câu 4 : Thu gọn biểu thức ( x – 2) (x3 + 2x2 + 4x) được: A/ x4 – 8x B/ x3 – 8 C/ ( x – 2)2 PHẦN II: TỰ LUẬN ( 8 điểm). Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 – y2 – 7x + 7y c) y4 + 2y3 – y2 – 2y b) x2 – 2xy + y2 – 4z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = (2x – 1) (2x + 3) II. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM. (2 đ Mỗi ý đúng 0,5 điểm) 1C ; 2A ; 3C ; 4A . PHẦN II: TỰ LUẬN Bài 1:( 6 đ) ( Mỗi ý đúng 2 điểm) x2 – y2 – 7x + 7y = (x2 – y2) – 7(x – y) = (x - y) (x + y) – 7(x – y) = (x – y) (x + y – 7) b) ) x2 – 2xy + y2 – 4z2 = (x2 – 2xy + y2) - 4z2 = ( x – y)2 – (2z)2 = ( x – y –2z ) ( x – y + 2z) y4 + 2y3 – y2 – 2y = y3(y + 2) – y (y +2) = (y +2 ) (y3 – y ) =( y + 2) y (y2 – 1) = (y + 2) y(y – 1) ( y +1) Bài 2: (2 đ) M = (2x – 1) (2x + 3) = ( 2x + 1)2 – 4 ≥ - 4 "x => Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là – 4 khi x =