Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2013 - 2014 môn: toán thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Phần I- Trắc nghiệm(2,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm. Câu 1. Điều kiện để biểu thức có nghĩa là A. . B. . C. . D. . Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1;3). Hệ số góc của (d) là A. –1. B. –2. C. 2. D. 3. Câu 3. Hệ phương trình có nghiệm (x;y) là A. (1;1). B. (7;1). C. (3;3). D. (3;-3). Câu 4. Phương trình nào sau đây có tích hai nghiệm bằng 3? A. . B. . C. . D. . Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, số giao điểm của parabol y = x2 và đường thẳng y= 2x + 3 là A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm; AC = 4cm. Độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng A. 7cm. B. 1cm. C. cm. D. cm. Câu 7. Cho hai đường tròn (O;3cm) và (;5cm), có O = 7cm. Số điểm chung của hai đường tròn là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 8. Một hình nón có bán kính đáy bằng 4cm, đường sinh bằng 5cm. Diện tích xung quanh của hình nón bằng A. 20cm2. B. 15cm2. C. 12cm2. D. 40cm2. Phần II - Tự luận (8,0 điểm) Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A = với x > 0 và x. 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên. Câu 2. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m –1 =0 (1), với m là tham số. Giải phương trình (1) khi m = 1. Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện . Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C (C không trùng với B). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E. Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao điểm của BE với đường tòn (O) (K không trùng với B). 1) Chứng minh AE2 = EK . EB. 2) Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn. 3) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M. Chứng minh . Câu 5. (1,0 điểm. Giải phương trình : Hết Họ tên thí sinh:.Chữ ký giám thị 1 Số báo danh:.Chữ ký giám thị 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Phần I: Trắc nghiệm (2,0 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp án B C C D A C B A Phần II: Tự luận (8,0 điểm) Bài Lời giải Bài 1 1,5đ Rút gọn biểu thức A = Với x > 0 và xta có A = Chỉ ra khi A có giá trị là số nguyên khi và chỉ khi x – 1 là ước của 2. Từ đó tìm được x = 2 và x = 3 thỏa mãn điều kiện đề bài. Bài 2 1,5đ Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m –1 =0 (1), với m là tham số. Giải phương trình (1) khi m = 1. Thay m = 1 vào (1) rồi giả phương trình tìm được Xác định m để (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện . + Chỉ ra điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 là + Áp dụng Định lý vi – ét cho phương trình (1) là Tính được + Biến đổi , tìm được m = 1; m = -4. Đối chiếu điều kiện kết luận m = 1 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Bài 3 1,0đ Giải hệ phương trình + Điều kiện: x -1 và y 2. + Giải hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x = 0; y = ) Bài 5 1,0đ Giải phương trình : + Điều kiện + Biến đổi phương trình đã cho trở thành phương trình tương đương + Giải phương trình (2) Đặt với suy ra thay vào phương trình (2) ta được t4 3t3 2t2 3t + 1 = 0 (t2 + t + 1)(t2 – 4t + 1) = 0 t2 – 4t + 1 = 0 Từ đó tìm được + Kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm là x = 2 và Bài 4 3,0đ 1) Chứng minh AE2 = EK . EB. + Chỉ ra tam giác AEB vuông tại A. + Chi ra góc AKB = 900 suy ra AK là đường cao của tam giác vuông AEB. + Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông AEB ta có AE2 = EK . EB 2) Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn. + Chỉ ra tứ giác AHKE nội tiếp suy ra góc EHK = góc EAK + Chỉ ra góc EAK = góc EBA + Suy ra tứ giác BOHK nội tiếp suy ra 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn 3) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M. Chứng minh . + Chỉ ra tam giác OEM cân tại E suy ra ME = MO. + Chỉ ra OM // AE, áp dụng định lý ta – lét trong tam giác CEA ta có + Ta có Mà ME = MO nên suy ra (đpcm) së gi¸o dôc - ®µo t¹o hµ nam §Ò chÝnh thøc kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt N¨m häc: 2013 - 2014 M«n thi: To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1: (1,5 ®iÓm) Rót gän c¸c biÓu thøc sau: A = B = C©u 2: (2,0 ®iÓm) a) Giải phương tr×nh: x2 - 6x - 7 = 0 b) Giải hệ phương tr×nh: C©u 3: (1,5 ®iÓm) Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + 2(m – 1)x – 2m – 3 = 0 (m lµ tham sè). a) Chøng minh ph­¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 . b) T×m gi¸ trÞ cña m sao cho (4x1 + 5)(4x2 + 5) + 19 = 0. C©u 4: (4,0 ®iÓm) Cho ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh AB. LÊy ®iÓm C thuéc (O) (C kh«ng trïng víi A, B), M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá AC. C¸c ®­êng th¼ng AM vµ BC c¾t nhau t¹i I, c¸c ®­êng th¼ng AC vµ BM c¾t nhau t¹i K. a) Chứng minh rằng: vµ rABI c©n b) Chứng minh tứ gi¸c MICK néi tiÕp c) §­êng th¼ng BM c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A cña (O) ë N. Chøng minh ®­êng th¼ng NI lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (B;BA) vµ NIMO. d) §­êng trßn ngo¹i tiÕp rBIK c¾t ®­êng trßn (B;BA) t¹i D (D kh«ng trïng víi I). Chøng minh ba ®iÓm A, C, D th¼ng hµng. C©u 5: (1,0 ®iÓm) Cho c¸c sè thùc d­¬ng x, y tháa m·n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: Q = xy – 3y - 2x – 3. ............HÕt............ Hä vµ tªn thÝ sinh: .......................................Sè b¸o danh:................................................ Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 1:...........................Ch÷ ký cña gi¸m thÞ 2:...................................... së gi¸o dôc - ®µo t¹o hµ nam kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt N¨m häc: 2013 - 2014 H­íng dÉn chÊm M«n To¸n dù th¶o C©u 1: (1,5 ®iÓm) a) A = = 0,75 ® b) B = = = 0,75 ® C©u 2: (2,0 ®iÓm) a) x2 - 6x - 7 = 0 VËy: S = 1,0 ® b) VËy: (x; y) = (2; 3) 1,0 ® C©u 3: (1,5 ®iÓm) x2 + 2(m – 1)x – 2m – 3 = 0 (1) a) Cã: r/ = (m – 1)2 – (- 2m – 3) = m2 – 2m + 1 + 2m + 3 = m2 + 4 4 > 0 víi mäi m r/ > 0 víi mäi m Nªn ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖn ph©n biÖt x1; x2 (§pcm) 0,75 ® b) Theo bµi ra, ta cã: (4x1 + 5)(4x2 + 5) + 19 = 0 (2) 0,25 ® ¸p dông hÖ thøc Vi – Ðt, ta cã: (3) 0,25 ® Thay (3) vµo (2), ta cã: VËy víi m = th× (4x1 + 5)(4x2 + 5) + 19 = 0. 0,25 ® C©u 4: (4,0 ®iÓm) H×nh vÏ: 0,25 ® a) Chứng minh rằng: vµ rABI c©n V× M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá BC (GT) Mµ: (§Þnh lý gãc néi tiÕp) (HÖ qu¶ gãc néi tiÕp) 0,5 ® Cã: M(O) vµ AB lµ ®­êng kÝnh (HÖ qu¶ gãc néi tiÕp) t¹i M. XÐt rABI cã: BM lµ ®­êng cao ®ång thêi lµ ®­êng ph©n gi¸c Nªn: rABI c©n t¹i B (DÊu hiÖu nhËn biÕt tam gi¸c c©n) 0,5 ® b) Cã: C(O) vµ AB lµ ®­êng kÝnh (HÖ qu¶ gãc néi tiÕp) t¹i C MÆt kh¸c: (V× BMAI) Mµ 2 gãc nµy ë vÞ trÝ ®èi nhau VËy MICK lµ tø gi¸c néi tiÕp (§pcm) 1,0 ® c) Cã: rABI c©n t¹i B (cma) BA = BI mµ BA lµ b¸n kÝnh cña (B;BA) I(B;BA) (1) V× AN lµ tiÕp tuyÕn cña (O) (GT) ANAB t¹i A XÐt rABN vµ rIBN cã: AB = BI ( v× rABI c©n t¹i B) (cma) rABN = rIBN (c.g.c) BN c¹nh chung (2 gãc t/­) mµ: NIIB (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: NI lµ tiÕp tuyÕn cña(B;BA) (§pcm) 0,5 ® V× M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá BC (GT) OMAC (§­êng kÝnh ®i qua ®iÓm chÝnh gi÷a cña mét cung th× vu«ng gãc víi d©y c¨ng cung Êy) Mµ: t¹i C (cmb) OM//BI ( cïng vu«ng gãc AC) MÆt kh¸c: NIIB (cmt) (Tõ ®Õn //) 0,5 ® d) Cã: (gãc néi tiÕp vµ gãc ë t©m cïng ch¾n cung AI cña (B;BA); mµ: (v× ,cma) Mà (cïng chắn của ®­êng trßn ngo¹i tiÕp rIKB) A, K, D thẳng hàng A, C, D thẳng hàng (V× A, K, C thẳng hàng) 0,75 ® C©u 5: (1,0 ®iÓm) Cã với mọi x, y dương = 0 y = 2x + 3 0,5 ® Q = x(2x + 3) – 3(2x + 3 ) – 2x – 3 = 2x2 + 3x – 6x - 9 – 2x -3 = 2x2 – 5x – 12 = = = víi mäi x > 0 DÊu b»ng x¶y ra khi x - = 0 GTNN cña Q = vµ y = 0,5 ® ..............................HÕt............................. L­u ý: Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm t­¬ng ®­¬ng theo tõng phÇn nh­ ®¸p ¸n. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHÁNH HÒA NĂM HỌC: 2013 – 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN (KHÔNG CHUYÊN) Ngày thi: 21/06/2013 (Đề thi có 01 trang) (Thời gian: 120 phút - không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 2,00 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay) 1) Chứng minh: 2) Cho biểu thức P = với a > 0 và a ≠ 1. Rút gọn rồi tính giá trị của P tại a = 20142 . Bài 2: (2,00 điểm) 1) Tìm x biết 2) Giải hệ phương trình: Bài 3: (2,00 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parapol (P): 1) Vẽ đồ thị (P). 2) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ x = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB. Bài 4: (4,00 điểm) Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và C). Tia BM cắt cắt đường tròn (O) tại N. 1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh ND là phân giác của . 3) Tính: 4) Gọi E và F lần lượt là hai điểm thuộc các đường thẳng AC và AD sao cho M là trung điểm của EF. Nếu cách xác định các điểm E, F và chứng minh rằng tổng (AE + AF) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. ----------------- HẾT -------------------- Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: SBD:/ Phòng: Giám thị 1: ... Giám thị 2: HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 2,00 điểm) 1) Chứng minh: Ta có: 2) P = (ĐK : a > 0 và a ≠ 1) Ta có: P= Với a = 20142, ta có : P = Bài 2: (2,00 điểm) 1) Tìm x biết (ĐK: x ≥ -3/2) Û Û Û Û Û (thỏa đk) 2) Giải hệ phương trình: Û Lấy (1) trừ (2), ta có: 11y2 + 11y = 22 Û y2 +y – 2= 0 Û y = 1 hoặc y = -2 * Với y = 1, thay vào (1), ta có pt: 3x2 +6x + 3=0 Û 3(x+1)2 = 0 Û x = -1 * Với y = -2, thay vào (1), ta có pt: 3x2 +6x + 3=0 Û 3(x+1)2 = 0 Û x = -1 Vậy hpt có nghiệm (x ;y) Î { (-1 ;1), (-1 ;-2)}. Bài 3: (2,00 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parapol (P): 1) Vẽ đồ thị (P). ( các em tự vẽ) 2) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ x = 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB. · M 1 · 2 · -1 · · · A · B O · Gọi A(x ; 0) và B(0 ; y) Vì M thuộc (P) có x = 2 nên: y = -1. Vậy M (2 ; -1) Ta có : SOMA = .1.OA ; SOMB = .2.OB và từ: SOMA = 2SOMB Þ OA = 4.OB hay : úxú = 4.úyú Û x = ±4y Û = k (Với k là hệ số góc của đường thẳng (d) qua M và thỏa điều kiện đề bài). Đường thẳng qua M(2 ; -1) có hệ số góc k và thỏa điều kiện đề bài là : (d1) : và (d2) : y = Bài 4: (4,00 điểm) 1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp. Ta có : = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) (vì AB ^CD tạo O) Suy ra: + = 1800 Þ tứ giác AOMN nội tiếp. 2) Chứng minh : ND là phân giác của . Ta có : AB, CD là đường kính của (O). AB ^ CD (gt) Þ Þ Þ ND là phân giác của góc ANB. 3) Tính: Do DBOM # DBNA (gg) Þ Þ BM.BN = BO.BA=3.6=18 Þ cm 4) Ta có: D EAF vuông tại A (, E ÎAC, FÎ AD) có M là trung điểm của EF Þ MA = ME = MF Þ M là tâm của đường tròn qua M có bán kính MA Þ Điểm E, F là giao điểm của đường tròn (M; MA) với AC và AD. Ta có: AM = BM ( vì M nằm trên CD là trung trực của AB) Þ MA = MB = ME = MFÞ tứ giác AEBF nội tiếp Þ Ta lại có: = 900, suy ra: Xét tam giác BDF và tam giác BCE, ta có: BC = BD ;  ; = 900 nên DBDF = DBCE(gcg) ÞDF = CE Vậy : AE + AF = (AC + CE) + AF=AC+(CE+AF) = AC + (DF+AF) = AC+ AD=2AD Mà DOAD vuông cân tại O nên AD = Þ AE + AF = . Vậy tổng AE + AF không phụ thuộc vào vị trí điểm M. (GV Lê Quốc Dũng, THCS Trần Hưng Đạo, Nha Trang) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013- 2014 Môn thi: TOÁN (không chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi 19 tháng 6 năm 2013 Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình (2x + 1)2 + (x – 3)2 = 10 2) Xác định các hệ số m và n biết hệ phương trình có nghiệm (1; -2) Câu II ( 2,0 điểm) Rút gọn biểu thức với Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ hai là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc. Câu III (2,0 điểm) Cho phương trình Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: Câu IV (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN. 1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh OI.OH = R2. 3) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu V ( 1,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . ----------------------- Hết ---------------------- Họ và tên thí sinh : ................................................ Số báo danh ..................................... Chữ ký của giám thị 1 ........................................... Chữ ký của giám thị 2 .......................... Hướng dẫn câu III: 2) phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên Theo định lí Vi-et ta có : Theo bài ra ta có : Hướng dẫn câu IVc : + ∽(g-g) + ∽(g-g) AB.AC = AI.AE (*) Do A, B, C cố định nên trung điểm I của BC cố định nên từ (*) suy ra E cố định. Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm E cố định Hướng dẫn giải câu V: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 nên . Đặt do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên . Suy ra (do ) và . Khi đó Ta có: Dấu “=” xảy ra khi Khi đó: vuông Vậy vuông . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức: Câu II ( 2,0 điểm) Giải phương trình . Giải hệ phương trình . Câu III (2,0 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn điều kiện . Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho là số hữu tỷ. Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm O. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Chứng minh . Xác định vị trí của điểm A để chu vi của tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất. Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ----------------------------Hết---------------------------- Họ và tên thí sinh................................................Số báo danh........................................ Chữ kí của giám thị 1: ....................................Chữ kí của giám thị 2: ........................... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Câu Ý Nội dung Điểm I 1 Phân tích thành nhân tử 1,00 Đặt 0,25 0,25 0,25 0,25 I 2 1,00 0,25 0,25 0,25 Tương tự 0,25 II 1 Giải phương trình 1,00 ĐK: . Pt 0,25 0,25 Giải pt (Loại) 0,25 Giải pt (TM). Vậy x = -2 0,25 II 2 Giải hệ phương trình 1,00 Hệ Đặt ta được hệ 0,25 Giải hệ pt này ta được 0,25 TH 1. 0,25 TH 2. Vậy hệ pt có tám nghiệm là 0,25 III 1 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 1,00 Pt Tồn tại x 0,25 0,25 Do y là số nguyên nên 0,25 Vậy các cặp số nguyên cần tìm là 0,25 III 2 Tìm các số nguyên tố p sao cho là số hữu tỷ 1,00 là số hữu tỷ 0,25 0,25 . Thế vào (1) ta được 0,25 Giải pt tìm được (loại) và Với . Vậy 0,25 IV 1 Chứng minh rằng điểm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF 1,00 Tứ giác DCEH nội tiếp suy ra 0,25 Tứ giác DBFH nội tiếp suy ra 0,25 Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra Suy ra DH là tia phân giác của góc 0,25 Tương tự EH là tia phân giác của góc . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 0,25 IV 2 Chứng minh 1,00 Vẽ tiếp tuyến xAy của đường tròn (O) tại điểm A Tứ giác AEHF nội tiếp suy ra Tứ giác EHDC nội tiếp suy ra 0,25 (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung) 0,25 Suy ra 0,25 AO ^ xAy Þ AO ^ EF 0,25 IV 3 Chứng minh 1,00 AO ^ EF Þ SAEOF = 0,25 Tương tự 0,25 0,25 Vậy chu vi tam giác DEF lớn nhất Û lớn nhất Û khoảng cách từ A đến BC lớn nhất Û A là điểm chính giữa của cung lớn BC. 0,25 V Tìm GTNN của 1,00 Ta có 0,25 Tương tự suy ra 0,25 Đặt 0,25 Do đó . Đẳng thức xảy ra . Vậy GTNN của S là 0,25 Hình vẽ câu a Hình vẽ câu b SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TP.HCM Năm học: 2013 – 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) b) c) d) Bài 2: (1,5 điểm) a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D): trên cùng một hệ trục toạ độ. b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính. Bài 3: (1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau: với ; Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình (*) (x là ẩn số) a) Định m để phương trình (*) có nghiệm b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm , thỏa điều kiện: Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I. Chứng minh rằng . Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE. Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng. Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất. BÀI GIẢI Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) b) c) Đặt u = x2 pt thành : (loại) (do a + b + c =0) Do đó pt Cách khác pt d) Û Û Û Bài 2: a) Đồ thị: Lưu ý: (P) đi qua O(0;0), (D) đi qua b) PT hoành độ giao điểm của (P) và (D) là Û (a+b+c=0) y(1) = 1, y(-2) = 4 Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (D) là Bài 3:Thu gọn các biểu thức sau Với x và x 9 ta có : Câu 4: a/ Phương trình (*) có nghiệm x = b/ ∆’ = . Khi m = thì ta có ∆’ = 0 tức là : khi đó thỏa Điều kiện cần để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt là: . Khi ta có (Do x1 khác x2) (Vì S = 1) (vô nghiệm) Do đó yêu cầu bài toán Cách khác Khi ta có và (thế và ) (vì x1x2 0) (vì x1+x2 =1 0) A B C M O D F E Q P I T Câu 5 a) Ta có do cùng chắn cung Và do AB// MI Vậy , nên bốn điểm ICMB cùng nằm Trên đường tròn đường kính OM (vì 2 điểm B, C cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông) b) Do 2 tam giác đồng dạng FBD và FEC nên FB. FC =FE. FD. Và 2 tam giác đồng dạng FBM và FIC nên FB. FC =FI. FM. So sánh ta có FI.FM =FD.FE c) Ta có góc PTQ=900 do POIQ là đường kính. Và 2 tam giác đồng dạng FIQ và FTM có 2 góc đối đỉnh F bằng nhau và (vì FI.FM = FD.FE = FT.FQ) Nên mà (I nhìn OM dưới góc 900) Nên P, T, M thẳng hàng vì . d) Ta có BC không đổi. Vậy diện tích lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến BC lớn nhất. Vậy I trùng với O là yêu cầu của bài toán vì I nằm trên cung của đường tròn đường kính OM. Khi I trùng O thì vuông tại B. Vậy diện tích tam giác ICB lớn nhất khi và chỉ khi AC là đường kính của đường tròn (O;R). Cách khác: O’ là trung điểm của OM. BC cắt OO’, O’T lần lượt tại L, T. Vẽ IH vuông góc BC tại H. TS. Nguyễn Phú Vinh (Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn – TP.HCM) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 QUẢNG NGÃI Năm học: 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) Tính Chứng minh rằng với và thì Cho hàm số bấc nhất Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên R? Tìm m để đồ thị hàm số đã cho qua điểm Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn Giải hpt: Bài 3: (2,0 điểm) Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm? Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn cố định. Từ một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn , kẻ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( M;N là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua A cắt đường tròn tại hai điểm B và C (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh rằng: AMON là tứ giác nội tiếp. Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh rằng: Khi cát tuyến ABC thay đổi thì điểm I chuyển động trên cung tròn nào? Vì sao? Xác định vị trí của cát tuyến ABC để . Bài 5: (1,0 điểm) Với , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ---------------------------- HẾT ---------------------------- HƯỚNG DẪN Bài 1: (1,5 điểm) 1) Với và ta có Vậy với và thì 3) a) Hàm số bấc nhất nghịch biến trên R khi b) Đồ thị hàm số qua điểm Bài 2: (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: Ta có . Suy ra pt có 2 nghiệm: có hai nghiệm thỏa mãn Ta có với mọi. Do đó pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Áp dụng định lí Vi et ta có: Ta có Do đó Vậy nghiệm của hpt là Bài 3: (2,0 điểm) Gọi số sản phẩm tổ đã thực hiện trong mỗi ngày là x (sản phẩm). ĐK: Do đó: Số sản phẩm tổ dự định làm trong mỗi ngày là: (sản phẩm). Thời gian tổ hoàn thành công việc trong thực tế là: (ngày). Thời gian tổ hoàn thành công việc theo dự định là: (ngày). Vì tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày, do đó ta có phương trình: Giải pt: PT có 2 nghiệm phân biệt: (nhận) (loại) Vậy số sản phẩm tổ đã thực hiện trong mỗi ngày là 40 sản phẩm. Bài 4: (3,5 điểm) (Giải vắn tắt) GT (O) cố định AM,AN là tiếp tuyến của (O) IB=IC KL 1) Tứ giác AMON nội tiếp 2) AK.AI=AB.AC 3) Khi cát tuyến ABC thay đổi thì I chuyển động trên cung tròn nào? Vì sao? 4) Xác định vị trí của cát tuyến ABC để IM=2.IN 1) Tứ giác AMON nội tiếp 2) 3) Ta có mà A,O cố định suy ra I thuộc đường tròn đường kính AO. Giới hạn: Khi Vậy khi cát tuyến ABC thay đổi thì I chuyển động trên của đường tròn đường kính AO. 4) (vì NA=MA) Do đó Vậy IM=2.IN khi cát tuyến ABC cắt MN tại K với Bài 5: (1,0 điểm) * Với * Với PT (1) là pt bậc 2 ẩn x có PT (1) có nghiệm khi Kết hợp với trường hợp A=1 ta có Đề chính thức SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 1 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút(không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức P = Tìm điều kiện xác định và rút biểu thức P. Tim x để P = . Câu 2: (1,5 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m2. Tính diện tích của mảnh vườn. Câu 3: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số) Giải phương trình với m = 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn . Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. Gọi m là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: . ----- Hết ------ SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN Câu Ý Nội Dung Câu 1 a, ĐKXĐ: P = b, (TMĐKXĐ) Câu 2 Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh vườn ( 0<x<25) Chiều dài của mảnh vườn là: 50-x. Diện tích của mảnh vườn là: x(50-x). Nếu tăng chiều rộng 3m thì chiều rộng mới là x+3; giảm chiều dài 4 m thì chiều dài mới là 46-x. Diện tích mới của mảnh vườn là: (x+3)(46-x) Theo bài ra ta có phương trình: x(50-x)-(x+3)(46-x)=2 50x-x2-43x+x2-138=27x=140x=20 (TM) Vậy diện tích của mảnh vườn là 20(50-20)=600 m2. Câu 3 a, (1,0 điểm) Khi m = 2 pt trở thành Ta có Suy ra pt có hai nghiệm là: b, Để pt (1) có hai nghiệm (*) Theo Viet ta có: Suy ra Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra thì pt (1) có hai nghiệm thỏa mãn : Câu 4 Vẽ hình (Hình vẽ chỉ cần vẽ hết câu b là đạt 0,5 điểm ) Xét tứ giác BCEF có ( cùng nhìn cạnh BC) Suy ra BCEF là tứ giác nội tiếp b, Ta có ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) DCAC Mà HEAC; suy ra BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2)