Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn thi: toán (cho tất cả các thí sinh) thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2012 MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I. 1) Giải phương trình 2)Giải hệ phương trình Câu II. 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên  thỏa mãn đẳng thức: 2) Giả sử x, y la các số thực dương thỏa mãn điêu kiện Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Câu III.Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O .Gọi M là một điểm trên cung nhỏ BC ( M khác B,C và AM không đi qua O).Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M. 1)Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O .Chứng minh rằng N,P,D thẳng hàng 2)Đường tròn đường kính MP cắt MD tại Q khác M.Chứng minh rằng P là tâm đườn tròn nội tiếp tam giác AQN. Câu IV. Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hướng dẫn Câu 1 ĐK : x ≥ -6 ó ó x = -5 ; x = 4048135 b) từ (2) => (x+1)(y+2)=6 ta có bảng sau X+1 -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 X -7 -4 -3 -2 0 1 2 5 Y+2 -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 Y -3 -4 -5 -8 4 1 0 -1 Lần lượt thay các cặp (x;y) ở bảng trên vào pt (1) ta dược (1 ; 1) và (2 ; 0) là nghiệm của hệ Câu 2 (1) ó ó ó (I) hoặc (II) Hoặc (III) hoặc (IV) Giải các hệ pt trên ta thấy hệ (II) có nghiệm (x;y) =(-1;-1) các hpt I; III; IV không thỏa mãn (x;y) nguyên. Vậy có duy nhất cặp số (x;y) =(-1;-1) thỏa mãn đề bài (2) Ta có ó P= GTNN của P=2 ó x=y=1 Câu 3 Có DNM=90 =PNM => D; P; N thẳng hàng b)Có MNPQ nt => NPM=NQM MNAD nt =>NAM=NDM Mà NPM=NAM+PNA NQM=NDM+QND PNA=QND => NP là phân giác QAN (1) Có PAD=PQD=90 => PQDA nt QAP=PQD Mà QDP=MAN (cùng chắn cung MN của (O) ) ANP=PAQ => PA là phân giác QAN (2) Từ 1;2 => P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN.