Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Sở Giáo dục và đào tạo Thanh Hóa - Năm học 2011-2012 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012 §Ò CHÝNH THøC MÔN: TOÁN Lớp 9 - THCS Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 Câu I (4đ) Cho biểu thức P = Rút gọn P Tính giá trị của P khi x = Câu II (4đ) Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P). Tính độ dài AB. Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD = AB. Câu III (4đ) Giải hệ phương trình Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu IV (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng: ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). KH AM. Câu V (2đ) Với . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: -------------------------------------- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 Câu I: 1, C1, a, (ĐK: ; x ≠ 5) Đặt ( a ≥ 0) b, C2, a, (ĐK: ) b) => x= vì x>1Þ P = ... Þ Câu II: 1) Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình x2 + x -2=0 => x = 1 hoặc x = 2 Vậy A(1,-1) và B(-2;-4) hoặc A(-2;-4) vàB(1;-1) Þ AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 = 18 Þ AB = 3 2)Để (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình x2-x+m=0 (1) có hai nghiệm phân biệt Ta có CD2 = (x1-x2)2+(y1-y2)2 mà nên: Ta có AB2 =18 nên CD = AB Û CD2 = AB2 Û (x2-x1)2+(y2-y1)2=18 (*) Û 2(x1-x2)2 = 18 Û (x1-x2)2 = 9 Û (x1+x2)2 - 4x1x2 = 9 Û 1-4m-9 = 0 (Theo Viet) Û m = - 2 (TM) Câu III 1,ĐK x0, y0 C1, Dùng phương pháp thế rút y theo x từ (1) thay vào pt (2) ta có pt: C2, Nhân vế của hai PT được: (x+y)2 = 1 Û x+y = ± 1 (1) Chia vế của hai PT được: (2) Từ 4 PT trên giải được (x;y) = (1/3;2/3); (2;-1); (-2/3;-1/3); (-2;1) Thử lại: Chỉ có hai nghiệm thoả mãn HPT là: (-2;1) và (1/3;2/3) 2, GPT: 2x6 + y2 – x3y = 320 C1, Câu IV: (Đổi điểm C1 thành C’, C2 thành C’’ cho dể đánh máy và vẽ hình) 1) Ta có nên tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm chính là (C1) là trung điểm AH 2, gọi giao điểm AM với (C’) là I. ta có: ME là tt của (C’’) ÞME2 = MI. MA ME là tt của (C’’) Þ ME2 = MD. MK Þ MI. MA = MD. MK Þ ... Þ ÿ AIDK nt Þ ÐAIK = ÐADK = 1v Þ KI ^ AM (1) Ta lại có: ÐAIH = 1v (góc nt chắn nửa (C’) Þ HI ^ AM (2) Từ (1) và (2) Þ I; H; K thẳng hàng Þ KH ^ AM (Đpcm) Câu V: GPT (1) Do vai trò x,y,z như nhau nên * TH1: Nếu x= 0 => Ta có VT < 0 mà VP 0 nên trong trường hợp này không có nghiệm * TH2: Nếu x khác 0 mà Dấu “=” xảy ra khi: x=1 hoặc z=1. + Ta lại có: + Tương tự: . (2) + Mặt khác, vì: . Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1 Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z = 1 (3) + Từ (2) và (3) chỉ đúng khi: .Khí đó x = y = z =1. * Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: . ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 27/03/2013 ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (2,0 điểm): a) Rút gọn biểu thức: với b) Cho . Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 Câu 2 (2,0 điểm): Giải phương trình b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau: Câu 3 (2,0 điểm): a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 5 thì chia hết cho 5. b) Cho phương trình với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết là nghiệm của phương trình. Câu 4 (3,0 điểm): Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME. Câu 5 (1,0 điểm): Cho với n. Chứng minh rằng: . ------------- HẾT ------------ Họ và tên thí sinh: .. Số báo danh . Chữ kí giám thị 1 .. Chữ kí giám thị 2 .. SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 2,0 điểm a) 1,0 điểm Ta có : Nhưng do theo giả thiết ta thấy <0 0,25 0,25 0,25 0,25đ b) 1,0 điểm => B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018 B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013 B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013 B = 2013 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 2,0 điểm a) 1.0 điểm Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình Với , phương trình đã cho tương đương với: Đặt phương trình trở thành Giải phương trình ta được ( thỏa mãn ) Với ta có Giải phương trình ta được ( thỏa mãn ) Với ta có Giải phương trình ta được (thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là : ; 0,25 0,25 0,25 0,25 b) 1,0 ®iÓm (I) ( ) Đặt S= ; P = ( ) hệ (I) có dạng ( II) Giải hệ ( II) và đối chiếu điều kiện ta được Khi đó là 2 nghiệm của phương trình t2 – 4t + 3 =0 Giải phương trình ta được t1 = 3; t2 = 1 Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3 2,0 điểm a) 1.0 điểm ( Vì 5 là số nguyên tố) 0.25 0,25 0,25 0,25 b) 1,0 ®iÓm = là nghiệm của phương trình nên ta có Vì nên Do đó nếu thì (Vô lí) Suy ra 0,25 0,25 0,25đ 0,25 Câu 4 3,0 điểm a) 1,0 ®iÓm I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O ) Ta có ( do AM là hai tiếp tuyến (O) ) ( do AN là hai tiếp tuyến (O) ) Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA 0,25 0,25 0,25 0.25 b) 1,0 ®iÓm AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác mà ∆OMN cân tại O nên ∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( vì sđ và chung ) suy ra ∆ANO vuông tại N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2 Suy ra AB.AC = AH.AO ∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì và chung ) Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy ra AK cố định mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB suy ra K cố định 0,25 0,25 0,25 0,25 c) 1,0 ®iÓm Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ). Xét ∆MHE và ∆QDM có ( cùng phụ với ), ( cùng phụ với ) ∆PMH đồng dạng với ∆MQH Þ ME = 2 MP Þ P là trung điểm ME. 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5 1,0 điểm Vì và nên Do đó: 0,25 0,25 0,25 0,25 Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang) NĂM HỌC: 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. Cho biểu thức: Rút gọn . Tính P khi . Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên. Câu 2. Giải phương trình: Câu 3. Tìm các số nguyên thỏa mãn: Cho , chứng minh: Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố. Câu 4. Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K. Chứng minh: không đổi Chứng minh: c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD. Câu 5. Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất. Hết./. PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. V2 NĂM HỌC: 2011 – 2012. Môn thi: TOÁN 9. Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm 1 a 0,25 0,25 0.5 2,25 b 0.25 0.25 c ĐK: : Học sinh lập luận để tìm ra hoặc 0.25 0.25 0.25 2 a ĐK: : , dấu “=” xẩy ra , dấu “=” xẩy ra (TMĐK), Vậy nghiệm của phương trình: 0.25 0.25 0.25 0.25 1,75 b ĐK: . Nhận thấy: không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho ta có: Đặt , thay vào ta có: Đối chiếu ĐK của t 0.75 3 a (*) VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 0.5 2.0 b Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương: Từ (1); (2); (3): 0.75 c Xét thì A = 1 không phải nguyên tố; thì A = 3 nguyên tố. Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1 = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1 Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1 Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên ần tìm n = 1. 0.25 0.5 4 0.25 3.0 a Học sinh c/m: ABF = ADK (g.c.g) suy ra AF = AK Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên: hay (không đổi) 0.5 0,5 b HS c/m Mặt khác: . Suy ra: : 0,25 0,25 0,5 c Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn. NP + NQ = MN Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN’M cân tại N MN’ là phân giác của Cách dựng điểm N: - Dựng M’ đối xứng M qua AD - Dựng phân giác cắt DM’ tại N’ - Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD Chú ý: Học sinh có thể không trình bày phân tích mà trình bày được cách dựng vẫn cho điểm tối đa. 0.25 0.25 0.25 5 0.25 1.0 Gọi O giao điểm 2 đường chéo hình bình hành, kẻ OP vuông góc d tại P HS lập luận được BH + CI + DK = 4OP Mà OP AO nên BH + CI + DK 4AO. Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO Đạt được khi P A hay d vuông góc AC 0.25 0.25 0.25 Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa ĐỀ THI CHÍNH THỨC SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 23/03/2012 (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1 (2,5 điểm). Rút gọn biểu thức: Phân tích thành nhân tử: Tìm x biết: Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình: Giải phương trình: Câu 3 (2,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên của phương trình: . b) Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2. Chứng minh rằng n2 + m không là số chính phương. Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM, ON lấy lần lượt các điểm M’ và N’ sao cho OM’.OM = ON’.ON . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn. b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố định. c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5 (0,5 điểm). Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất. HẾT Họ và tên thí sinh:...Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1:..Chữ kí của giám thị 2:.... SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁN LỚP 9 – THCS NĂM HỌC 2011 – 2012 Lưu ý: Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25đ. Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Rút gọn biểu thức: 1,5 ĐKXĐ: x 2 hoặc x > 4 0,25 0,25 * Trường hợp 1: x 2, ta có: 0,25 (vì x 2 nên) 0,25 * Trường hợp 2: x 4, ta có: nên: (1)0,25 0,25 b Phân tích đa thức thành nhân tử: 0,5 Ta có 0,25 (*) 0,25 Tìm x biết: 0,5 Ta có: (Theo (*)). 0,25 Vì =0;=0 vô nghiệm . KL: x = -2 0,25 2 a Giải hệ phương trình: 1,0 (1), ta được x = y hoặc x = -2y 0,25 * Với x = y, từ (2) ta có: , ta được 0,25 * Với x = -2y, từ (2) ta có , ta được Nếu . Nếu 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: (-1; -1); ; (2; -1); (-6; 3). 0,25 b Giải phương trình: 1,0 , (ĐKXĐ: x 2) 0,25 . Đặt , ta được (*) 0,25 (*) Lý luận để có t = - 4 0,25 Với t = - 4, thì hay. Vậy x = 1 0,25 3 a Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1,0 Biến đổi phương trình đã cho ta được 0,25 . Do đều chia hết cho 8; (15;8)=1 nên là số chính phương&chia hết cho 8 . Ta có các TH sau: 0,25 * Do 156 không c.phương nên TH này vô nghiệm * Do 126 không c.phương nên TH này vô nghiệm 0,25 * Ta được hoặc Vậy (x; y) là (-5; 10); (-17; 10); (-1; -6); (11; -6) 0,25 b Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2. CMR: n2 + m không là số chính phương. 1,0 Giả sử n2 + m là số chính phương. Đặt n2 + m = k2 (1) (với k nguyên dương) Theo bài ta có 2n2 = mp (p nguyên dương), thay vào (1) ta có: 0,25 0,25 Do n2, chính phương, nên phải chính phương. 0,25 Mặt khác , tức không chính phương. Nên giả sử sai. Vậy n2 + m không chính phương 0,25 4 a Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn. 1,0 (vì OM’.OM = ON’.ON); chung nên đ. dạng với 0,25 0,25 ; nên( hoặc M’, N’ cùng nhìn M N dưới cùng một góc, khi M’ và N’ kề nhau - M, N cùng nằm trong hoặc cùng nằm ngoài(O) ) M, M’, N’, N thuộc một đường tròn. ( Thí sinh chỉ cần làm đúng 1 trường hợp cũng cho 0,5 đ) 0,25 0,25 b Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố định. 1,0 Gọi giao của d với OB là C Lấy điểm C’ đối xứng với O qua B điểm C’ cố định trên tia OC 0,25 Ta có: 0,25 ; chung đồng dạng với 0,25 .Vậy M’ thuộc đường tròn đường kính OC’ cố định. 0,25 c Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất theo hai trường hợp 1,0 Gọi giao của d với (O;R) là D, E (hình vẽ) *TH1: Do d là trung trực của OB MO = MB. 0,25 Ta có: MA + MO = MA + MB AB, dấu “=”xảy ra khi M trùng C MA + MO nhỏ nhất khi M trùng C (M) 0,25 *TH2: Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm D. 0,25 Gọi K là giao của tia BD với AM. Ta có MB + MKKB = KD + DB KD + AK AD MA + MO = MA + MB DA + DB, dấu “=” có khi M trùng với D Tương tự khi M thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa E: MA + MO = MA + MB EA + EB, dấu “=” xảy ra khi M trùng với E 0,25 Vậy MA + MO nhỏ nhất khi M trùng D hoặc M trùng E (M, M không ở trong (O;R)). 5 Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất. 0,5 Theo bài ta suy ra các cạnh của hình hành là tiếp tuyến của đường tròn (O; r). Gọi M, N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với các cạnh như hình vẽ. CM = CN; AP = AQ, BM = BQ; PD = DN CM + BM + AP + PD = CN + DN + AQ + BQ 2BC = 2AB BC = AB 0,25 Kẻ AH. Ta có , dấu “=” có khi. Ta có:P, O, M thẳng hàng, do đó AH = PM = 2r. AB2r.AH=2r.2r 4r2, dấu “=” xảy ra khi Vậy trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r) thì hình vuông có diện tích nhỏ nhất và bằng 4r2. 0,25 ----------------------------- HẾT ---------------------------- ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm): Cho a) Tìm điều kiện để M có nghĩa. b) Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) Bài 2 : (4,5 điểm) a) Tính : b) Giải phương trình : Bài 3. (4,0 điểm) a) Tìm các số nguyên thỏa mãn: b) Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố. Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm. Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định. Bài 5: (5,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. 1. Chứng minh : 2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN. 3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI (P IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. ___________________________ Hä vµ tªn thÝ sinh:................................................... Sè b¸o danh :..............Phßng thi...... Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2012 - 2013 MÔN: Toán Bài 1: (3,0 điểm): Cho a. Tìm điều kiện để M có nghĩa. (1,0 đ) Để M có nghĩa, ta có: b. Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa) (2,0 đ) Với x > 0, ta có: = = = 2. Vậy M = 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 2 : (4,5 điểm) a) (2 điểm) Tính : Ta có : = = 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 b) (2 điểm) Giải phương trình : Điều kiện : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Ta có : = 4 Dấu “ = ” xảy ra (1) Mặt khác : Dấu “=” xảy ra (2) Kết hợp (1) và (2) Phương trình có nghiệm duy nhất là : 0,5 0,5 0,5 0.5 Bài 3. (4,0 điểm) a) (2 điểm) Tìm các số nguyên thỏa mãn: (*) VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 0,5 1,0 0,5 b) (2 điểm) Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố. Xét thì A = 1 không phải nguyên tố; thì A = 3 nguyên tố. Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1 = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1 Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1 Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên cần tìm n = 1. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm. Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định. Chỉ ra ΔHOK ~ ΔAOM (g-g) => OH = OK => OA.OK = OH.OM (1) OA OM 1,0 Xét tam giác BOM vuông tại B 0,5 Từ (1) và (2) (không đổi) 0,5 Vậy BC đi qua điểm K cố định. 0,5 Ta có góc OHK = 90O; OK cố định nên H nằm trên đường tròn đường kính OK cố định. 0,5 0,5 Bài 5: (5,0 điểm ) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. 1. Chứng minh : 2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN. 3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. B A M H K I C N D 1 2,0đ Ta có: (vì . ) Trong tam giác AIK vuông tại A ta có: ( ) và AB = AD (3) (.) Từ (1), (2), (3) 0,5 0,5 0,25 0,75 2 2,0đ Kẻ AH vuông góc với MN . Do CM + CN = 7 và CM - CN = 1 CM = 4; CN = 3 MN = 5 Ta có mà Ta lại có : và DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 6 0,5 0,5 0,5 0,5 3 1,0đ Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD. 0,5 0,5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề này gồm 5 câu,01 trang) Câu 1 (2 điểm) a) Cho biểu thức: . + Rút gọn biểu thức P. + Tìm giá trị nhỏ nhất của P. b) Giải phương trình: Câu 2 (2 điểm) 1.Cho hàm số: ; với tham số. a) Tính theo tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của để b) Tìm quỹ tích (tập hợp) trung điểm I của đoạn thẳng AB. 2. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh hai Èn x, y sau: T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tho¶ m·n P = xy ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt Câu 3 (2 điểm) a) Cho các số thực a,b,c > 0 thoả mãn . Chứng minh rằng : b) Cho (x +).(y +)=2013. Chứng minh x2013+ y2013=0 c) Giải hệ phương trình sau: Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính R không đổi, AB và CD là hai đường kính bất kỳ của (O) (AB khác CD). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt các đường thẳng BC, BD lần lượt tại M và N. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM và AN, H là trực tâm của tam giác BPQ. a) Chứng minh hai tam giác BCD và BNM đồng dạng. b) Chứng minh rằng khi hai đường kính AB và CD thay đổi thì độ dài đoạn thẳng AH luôn không đổi. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác BPQ. Câu 5 (1điểm): Cho với . Tìm giá trị nhỏ nhất của y. = = = = = = = Hết = = = = = = HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9. Năm học: 2013- 2014. MÔN: TOÁN. Thời gian làm bài: 150 phút . (Hướng dẫn chấm gồm: 4 trang) Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm 1 A + §iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa lµ: . VËy . +Theo c©u a ta cã. DÊu b»ng x¶y ra khi VËy . 0,25 0,25 0,25 0,25 2,0 B b)ĐKXĐ: x ≥ –3, ta có: Û Û Û (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = 4 0,25 0,25 0,25 0,25 2 1.a Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: Hay 0,25 0,5 2,0 1.b Hoành độ trung điểm I của AB: Tung độ trung điểm I của AB: Ta có: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường thẳng 0,25 0,25 2 HÖ lu«n cã nghiÖm duy nhÊt V× tõ (2) Thay vµo (1) ta ®­îc: (m+1)x + m(- m2 +mx + 2) = 2m -1 (m2 + m + 1)x = m3 - 1 Mµ m2 + m + 1 = HÖ cã nghiÖm duy nhÊt lµ: Ta cã P = xy = (m -1)(2- m) = - m2 + 2m + m - 2 = = DÊu “=” x¶y ra VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ MaxP = 0,25 0,25 0,25 3 A Ta có: ( a+b-c)2 0 a2+b2+c2 +2ab – 2bc – 2ac 0 Nên ac + bc – ab = ( Vì ) ac + bc – ab < 1 Chia cả hai vế cho abc > 0 ta được : 0,25 0,25 2 B Ta có:(x +).(y +)=2013 (x -)(x +).(y +)=2013(x -) -2013.(y +)=2013(x -) -y -=x - Tương tự: -x -= y - x+y =0x =-y x2013+ y2013=0 0,25 0,25 0,25 C (I ) (ĐKXĐ : x 0; y 0 ) Ta có : ( a) ()(=0 x = y thế vào (b) ta được : 2x +18x = 4 20x - 7 -13 = 0 (6) Đặt = t (t 0 ) ta có : ( 6) 20 t2 – 7t – 13 = 0 = 1 x = 1(thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất (x,y) = (1, 1) 0,25 0,25 0,25 4 0,25 3 a Tứ giác BCAD có hai đường chéo BA và CD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác BCAD là hình chữ nhật. Suy ra , mà (Vì cùng phụ với góc ABN) BCD và BNM đồng dạng (g-g). 0,25 0,5 b Ta có APH đồng dạng với ABQ vì và (cùng phụ với ). Suy ra: (không đổi) (Tam giác BMN vuông tại B, có BA là đường cao nên AM.AN = AB2 , theo hệ thức lượng trong tam giác vuông). Vậy, khi hai đường kính AB và CD thay đổi thì độ dài đoạn thẳng AH luôn không đổi và bằng . 0,5 0,5 c Ta có: SBPQ = SBPQ nhỏ nhất nhỏ nhất. Mà R không đổi nên SBPQ nhỏ nhất AM + AN nhỏ nhất Vì AM.AN = AB2 = 4R2 không đổi nên AM + AN nhỏ nhất AM = AN = 2R tam giác BMN vuông cân tam giác BCD vuông cân ABCD. Vậy, diện tích tam giác BPQ có giá trị nhỏ nhất là 2R2 khi ABCD. 0,25 0,25 0,25 0,25 5 Vì nên dương. Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta có: Đẳng thức xảy ra khi (Vì ) Vậy, giá trị nhỏ nhất của y là khi . 0,25 0,25 0,25 0,25 1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu 1 (3,0 điểm). 1. Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 2. Cho biểu thức Tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên. Câu 2 (1,5 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn . Câu 3 (1,5 điểm). Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng: . Câu 4 (3,0 điểm). Cho ba đường tròn và (kí hiệu chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và lần lượt tiếp xúc trong với tại . Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I cắt đường tròn lần lượt tại các điểm . Đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm , đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm . 1. Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và đường thẳng vuông góc với đường thẳng . 2. Kẻ đường kính của đường tròn sao cho vuông góc với (điểm nằm trên cung không chứa điểm ). Chứng minh rằng nếu không song song thì các đường thẳng và đồng quy. Câu 5 (1,0 điểm) Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu. —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 1 1,5 điểm Nhận xét. Nếu thì . Thật vậy, ta có 0,5 suy ra . Vậy, nhận xét được chứng minh. Ta có . 0,5 Theo nhận xét