Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Sở GD&ĐT Thái Bình (Có đáp án)

Sở Giáo dục - Đào tạo đề chính thức Thái Bình Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (3 điểm) Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn là số nguyên. Chứng minh rằng x2y22 - 1 chia hết cho x + 1. Bài 2. (3 điểm) Tìm đa thức bậc 7 có các hệ số là số nguyên nhận x = là một nghiệm. Bài 3. (3 điểm) Giải phương trình sau: Bài 4. (3 điểm) Cho: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Bài 5. (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng: Bài 6. (3 điểm) Cho tam giác ABC đều, có độ dài cạnh là 1. Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với B và C. Gọi r1 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD; r2 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD. Xác định vị trí của điểm D để r1.r2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 7. (2 điểm) Cho 2009 điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài 251cm và chiều rộng 4cm. Vẽ 2009 hình tròn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính là cm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 hình tròn trong số chúng chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm nói trên. --- Hết --- Họ và tên thí sinh:.................................................................. Số báo danh:................ Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Kì thi chọn học sinh giỏi Năm học 2008-2009 Hướng dẫn chấm và biểu điểm MÔN toán (Gồm 06 trang) Bài Nội dung Điểm Bài 1 (3 đ) Đặt 0,25 Xét (k ẻ Z) ị ad + bc = bdk ị ad + bc : b ị ad b ị d b (vì (a; b) = 1) (1) 0,25 Tương tự có b d (2) 0,25 Từ (1) (2) ị b = d (3) 0,25 Xét (m ẻZ vì x; yẻZ) 0,25 ị ac = mbd ị ac : b ị c b (vì (a;b) = 1) (4) 0,25 Từ (3) (4) ị c d (5) 0,25 Và (c ; d) = 1 (6) (5) (6) ị d = 1 ị (y2 - 1) (x + 1) (7) 0,25 Xét x2y22 - 1 = x2 (y22 - 1) + x2 - 1 0,25 Có y22 - 1 y2 - 1 (8) Từ (7) (8) ị y22 - 1 x + 1 ị x2(y2 - 1) x + 1 (9) 0,25 Có x2 - 1 x + 1 (10) 0,25 Từ (9) (10) ị x2y22 - 1 x + 1 0,25 Bài 2 (3 đ) Đặt a = , b = ị 0,25 0,25 a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) = (a + b) [(a + b)2 - 3ab] = x (x2 - 3) = x3 - 3x 0,25 0,25 a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2(ab)2 = [(a + b2) - 2ab]2 - 2(ab)2 = (x2 - 2)2 - 2 = x4 - 4x2 + 2 0,25 0,25 (a3 + b3)(a4 + b4) = a7 + b7 + (ab)3(a + b) = (1) 0,25 (a3 + b3)(a4 + b4) = (x3 - 3x) (x4 - 4x2 + 2) = x7 - 3x5 - 4x5 + 12x3 + 2x3 - 6x = x7 - 7x5 + 14x3 - 6x (2) 0,25 (1) (2) ị x7 - 7x5 + 14x3 - 6x = Û 15x7 - 105x5 + 210x3 - 90x = 34 + 15x Û 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 = 0 0,25 Ta thấy 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 nhận x = + là nghiệm 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 có tất cả các hệ số là số nguyên 0,25 0,25 ị 15kx7 - 105 kx5 + 210kx3 - 105kx - 34k (k là số nguyên khác không) Là đẳng thức cần tìm 0,25 Bài 3 (3 đ) (*) ĐKXĐ: -12 Ê x Ê 4 0,25 Đặt x + 3 = u = v ị u2 + v2 = x2 + 6x + 9 + 48 - 8x - x2 = 57 - 2x ị u2 + v2 - 1 = 56 - 2x = 2(28-x) (1) 0,25 Có u.v = 28 - x (2) 0,25 Từ (1) (2) có u2 + v2 - 1 = 2uv Û (u + v)2 = 1 Û 0,25 0,25 Xét u - v = 1 Û v = u - 1 Thay trở lại ta có = x + 2 0,25 Û Û Û hoặc Û 0,25 Û (thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25 Xét u - v = -1 Û v = u + 1 Thay trở lại ta có = x + 4 0,25 Û Û hoặc Û Û (thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25 0,25 Kết luận: Phương trình có tập nghiệm: S = 0,25 Bài 4 (3 đ) Có x > 0 ị > 0 ; y > 0 ị 8y2 > 0 áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số dương và 8y2 ta có: ³ 4 xy (1) 0,25 Tương tự (2) 2(y2 + z2) ³ 4yz (3) 0,25 0,25 Xét A = x2 + 14y2 + 10z2 - 4 = (4) 0,25 Từ (1) (2) (3) và (4) có: A ³ 4(xy + xz + yz) + 4y2 - 4 0,25 Có xy + xz + yz = ị A ³ 9 + 4y2 - 4 (5) 0,25 Xét 4y2 - 4+ 9 = = 0,25 Có (6) 0,25 Từ (5) và (6) ị A ³ 6 (7) 0,25 A = 6 Û Û (8) 0,25 0,25 Từ (7) (8) có Amin = 6 Û 0,25 Bài 5 (3 đ) Gọi E; F; P lần lượt là tiếp điểm của (O) với cạnh AB; AC; BC A E F H CC P B O I A1 ị AEO = AFO = 90o (t/c tiếp tuyến) ị A ; E ; F ; O thuộc đường tròn đường kính AO Gọi A1 là trung điểm AO ị A1 là tâm đường tròn đường kính AO Có BAC nhọn ị BAC = EA1F (hq góc nt) sin EA1I = EA1F (I là giao điểm của AO và EF) ị sin BAC = EA1I ị sin EF = AO sinBAC 0,25 Tương tự EP = BO sinABC FP = CO sinACB 0,25 0,25 ị EF.AO + EP.BO + FP.CO = AO2sinBAC + BO2sinABC+CO2sinACB (3) 0,25 Có AO ^ EF (suy ra từ tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ị 2SAEOF = AE.AO 0,25 Tương tự 2SBEOP = EP.BO 2SCFOP = EP.CO 0,25 ị 2SABC = AE.AO + EP.BO + FP.CO (O nằm trong DABC) (4) 0,25 Từ (3) (4) ị AO2sinBAC + BO2sinABC+CO2sinACB = 2SABC (5) 0,25 Kẻ BH ^ AC ị 0,25 Tương tự có (6) 0,25 Từ (5) và (6) ị 0,25 0,25 Bài 6 (3 đ) B D C E A Đặt BD = x ị CD = 1 - x (0 < x < 1) 0,25 Kẻ DE ^ AB Xét DBED vuông tại E có EBD = 60o; BD = x ị BE = , DE = 0,25 DDEA vuông tại E ị AD2 = AE2 + DE2 ị AD2 = ị AD = 0,25 Có SABD = ị r1 = 0,25 0,25 0,25 Tương tự có: r2 = 0,25 Xét r1.r2 = = = = = 0,5 Có ị ị ị ị (1) 0,25 Xét r1.r2 = Û Û Û D là trung điểm của BC (thỏa mãn) (2) 0,25 Từ (1) (2) ta có: Để (r1.r2) max = thì vị trí của D cần tìm là: D là trung điểm của BC. 0,25 Bài 6 (3 đ) 1 Chia hình chữ nhật có chiều dài 251cm, chiều rộng 4cm thành 1004 hình vuông có độ dài cạnh là 1cm. 0,25 ị 2009 điểm phân biệt nằm bên trong hình chữ nhật chứa 1004 hình vuông có độ dài cạnh là 1cm. 0,25 ị Tồn tại ít nhất 1 hình vuông có độ dài cạnh là 1cm chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm đã cho (Di-rich-le) (1) 0,25 Hình vuông có độ dài cạnh là 1cm ị Khoảng cách lớn giữa 2 điểm thuộc miền của hình vuông là cm. 0,25 Không mất tính tổng quát, giả sử 3 điểm đó là A, B, C ị AB Ê cm AC Ê cm ị A; B; C thuộc hình tròn tâm A bán kính cm (2) 0,25 0,25 0,25 Từ (1) (2) chứng tỏ rằng tồn tại ít nhất 1 hình tròn có tâm là một trong 2009 điểm đã cho, có bán kính cm chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm đã cho. 0,25 Chú ý: 1. Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước theo giới hạn chương trình đến tuần 25 của lớp 9; yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lí mới được công nhận cho điểm. 2. Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm. 3. Chấm từng phần. Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.