Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Sở GD&ĐT Bình Thuận (Có đáp án)

Sở Giáo dục & Đào tạo Kỳ thi chọn HSG truyền thống 19/4 Bình Thuận Năm học 2008-2009 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Cho A = 1. Rút gọn A 2. Tìm x biết A ³ Bài 2: (4 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2. Giải phương trình: x4 + 9 = 5x(3 – x2) Bài 3: (4 điểm) 1. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 2. Chia 10 số: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 12; 14 làm thành hai nhóm rồi lấy tích các số trong mỗi nhóm. Gọi M là tổng của hai tích số đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và chỉ ra ít nhất 4 cách chia sao cho M nhỏ nhất. Bài 4: (5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Tiếp tuyến tại điểm M tuỳ ý của (O) cắt Ax và By lần lượt tại C và D. 1. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DOCD. 2. Cho AB = 8cm. Tìm vị trí của C để chu vi tứ giác ABDC bằng 28cm, khi đó tính phần diện tích của tứ giác nằm ngoài (O). Bài 5: (3 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là số nguyên và hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi. ---------------------- HẾT------------------------- HƯỚNG DẪN Bài 1: (4 điểm) 1. A xác định khi: –1 £ x £ 1 A = = = 2. A ³ Khi 0 £ x £ 1 thì Û Khi –1 £ x £ 0 thì Û Vậy A ³ Û hoặc Bài 2: (4 điểm) 1. Nhận xét: x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ Nếu x ¹ 0 thì y và z ¹ 0, khi đó chia các vế của từng phương trình cho xy; yz; zx, ta được: Û Û Û Û 2. Vì x = 0 không phải là nghiệm của nên chia 2 vế của phương trình cho x2, ta được: x4 + 9 = 5x(3 – x2) Û Û Û Û (có thể dùng PP nhẩm nghiệm để đưa về phương trình tích) Bài 3: (4 điểm) 1. a, b > 0, ta có: Û 2. Gọi a và b là các tích số trong từng nhóm thì: ab = 2.3.4.5.7.8.9.10.12.14 = 210.34.52.72 M = a + b ³ 2 = 2.25.32.5.7 = 20160 MinM = 20160 Û a = b = 10080 Và có ít nhất 4 cách chia như sau: Nhóm 1 Nhóm 2 2; 7; 8; 9; 10 3; 4; 5; 12; 14 8; 9; 10; 14 2; 3; 4; 5; 7; 12 2; 4; 9; 10; 14 3; 5; 7; 8; 12 2; 3; 10; 12; 14 4; 5; 7; 8; 9 Bài 4: (5 điểm) 1. DOCD vuông tại O (OC và OD là phân giác 2 góc kề bù) I là trung điểm của CD thì IO = IC = ID và IO ^ AB tại O Nên AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DOCD 2. Đặt AC = x (cm) và BD = y (cm) CABDC = AB + 2(AC + BD) Þ x + y = 10 Mặt khác : OM2 = MC.MD Þ xy = 16 Giải hệ: ta được Vậy C cách A 1 đoạn AC = 2cm và BD = 8cm hoặc AC = 8cm và BD = 2cm Cả 2 trường hợp trên hình thang vuông ABDC có cùng diện tích: S1 = 40 (cm2) Diện tích nửa hình tròn (O): S2 = 8p (cm2) Vậy phần diện tích tứ giác ABDC nằm ngoài đường tròn: S = S1 – S2 = 40 – 8p (cm2) Bài 5: (3 điểm) Gọi a, b, c lần lượt là cạnh huyền và 2 cạnh góc vuông của D vuông. Khi đó: a, b, c Î N và a ³ 5; b, c ³ 3 Ta có hệ phương trình: (1): a2 = b2 + c2 = (b + c)2 – 2bc = (b + c)2 – 6(a + b + c) Û a2 + 6a + 9 = (b + c)2 – 6(b + c) + 9 Û (a + 3)2 = (b + c – 3)2 Û a + 3 = b + c – 3 Û a = b + c – 6 (2): bc = 3(b + c – 6 + b + c) = 3(2b + 2c – 6) Û (b – 6)(c – 6) = 18 Nên ta có các trường hợp sau: 1. b – 6 = 1 và c – 6 = 18 thì b = 7; c = 24 và a = 25 2. b – 6 = 2 và c – 6 = 9 thì b = 8; c = 15 và a = 17 3. b – 6 = 3 và c – 6 = 6 thì b = 9; c = 12 và a = 15 ----------------------------------------------