Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minhEDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. H­íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ) b) (0,75đ) Xét (0,25đ) Với x Z thì A B khi Z 7 ( 2x – 3) (0,25đ) Mà Ư(7) = x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A B (0,25đ) c) (1,5đ) Biến đổi = = ( do x + y = 1 y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ) = (0,25đ) = (0,25đ) = = (0,25đ) = = (0,25đ) = Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ) (y + 6)(y - 2) = 0 y = - 6; y = 2 (0,25đ) * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ) * x2 + x = 2 x2 + x - 2 = 0 x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ) x(x + 2) – (x + 2) = 0 (x + 2)(x - 1) = 0 x = - 2; x = 1 (0,25đ) Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1 b) (1,75đ) (0,25đ) (0,5đ) Vì ; ; A B E I D C O F 2 1 1 2 Do đó : (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 x = -2009 Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE =CDF (c.g.c)EDF cân tại D Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c) Mà = 900 = 900 = 900. VậyEDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD A D B C E MàEDF vuông cân DI =EF Tương tự BI =EF DI = BI I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) = 2(x –)2 + (0,25đ) Ta có DE nhỏ nhất DE2 nhỏ nhất x = (0,25đ) BD = AE = D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Ta có: SADE =AD.AE =AD.BD =AD(AB – AD)=(AD2 – AB.AD) (0,25đ) = –(AD2 – 2.AD + ) + = –(AD – )2 + (0,25đ) Vậy SBDEC = SABC – SADE – = AB2 không đổi (0,25đ) Do đó min SBDEC =AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)