Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 năm 2011 - Sở GD&ĐT Lai Châu (Có đáp án)

Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Sở giáo dục và đào tạo lai châu (Đề thi gồm 01 trang) kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2011 môn: toán - lớp 9 cấp THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Câu 1: (4 Điểm) a, Chứng minh rằng số tự nhiên abcd chia hêt cho 11 nếu ab cd+ chia hết cho 11 b, Chứng minh (520 -1) chia hết cho (55 -1) c, Tìm nghiệm nguyên và nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình: 7x + 23y = 120 Câu 2: (3 điểm) a, Thực hiện phép tính sau: A = 3 31 12 2 3 31 1 1 12 2 + − + + + − − b, Rút gọn biểu thức sau: 2010 2011 2 2010− + c, Không khai ph−ơng h9y so sánh: 2009 + 2011 và 2 2010 Câu 3: (5 điểm) 1, Cho x + y = 1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x3 + y3 + xy 2, Cho ph−ơng trình: x2 + 6x + 6m - m2 = 0 (Với m là tham số) a, Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm cùng dấu. b, Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho: x1 = x2 3 - 8x2. Câu 4: (4 điểm) Cho đ−ờng tròn tâm (O) bán kính R, A là một điểm cố định trên (O). Kẻ tia Ax tiếp xúc với (O) tại A. Lấy điểm M trên tia Ax (M ≠ A). Kẻ tiếp tuyến MB với (O), B là tiếp điểm. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MA, K là giao điểm thứ hai của BI và đ−ờng tròn (O). Nối m với K. a, Chứng minh các tam giác IAK và IBA đồng dạng với nhau. b, Chứng minh góc IMK và góc IBM bằng nhau c, Gọi H là trực tâm của tam giác MAB. Khi điểm M di động trên tia Ax thì điểm H chạy trên hình nào? Câu 5: (4 điểm) 1, Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, có các đ−ờng cao AA', BB', CC', đồng quy tại H. Chứng minh rằng: AH BH CH 6A'H B'H C'H+ + ≥ 2, Cho hình thang ABCD (AB//CD), Một đ−ờng thẳng qua giao điểm I của hai đ−ờng chéo và song song với hai đáy cắt BC tại J. Chứng minh rằng: 1 1 1 AB CD IJ+ = Hết đề chính thức Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1: a, Chứng minh rằng số tự nhiên abcd chia hêt cho 11 nếu ab cd+ chia hết cho 11 Ta có: abcd = ab .100 + cd = 99. ab + (ab + cd ) Vì: 99ab ⋮ 11 và (ab + cd ) ⋮ 11 (gt) ⇒ abcd ⋮ 11 (đpcm) b, Chứng minh (520 -1) chia hết cho (55 -1) Ta có: (520 - 1) = (55)4 - 1 = [(55)2 - 1][(55)2 + 1] = (55 - 1)(55 + 1)[(55)2 + 1] ⋮ (55 -1) (đpcm) c, Tìm nghiệm nguyên và nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình: 7x + 23y = 120 +) Tìm nghiệm nguyên của ph−ơng trình: Từ 7x + 23y = 120 ⇒ x = 1 2y17 3y 7 − − + . Đặt 1 - 2y = 7a (a ∈ Z) ⇒ 2y = 1 - 7a ⇒ y = -3a + 1 a 2 − Đặt 1 - a = 2t (t ∈ Z) ⇒ a = 1 - 2t ⇒ y = -3(1 - 2t) + t = 7t - 3 ⇒ x = 27 - 23t Vậy ph−ơng trình có nghiệm nguyên là: x 27 23t y 7t 3 = −  = − (t ∈ Z) +) Tìm nghiệm nguyên d−ơng: Do x 0 27 23t 0 3 27 t y 0 7t 3 0 7 23 > − >  ⇒ ⇔ < <  > − >  Nh−ng vì t ∈ Z ⇒ t = 1 ⇒ x = y = 4 Vậy: Nghiệm nguyên d−ơng của ph−ơng trình là x = y = 4 Câu 2: (3 điểm) a, Thực hiện phép tính sau: A = 3 31 12 2 3 31 1 1 12 2 + − + + + + − Giải ⇒ A = 2 3 2 3 2 4 3 2 4 3 + − + + + − − 2 2 2 3 2 3 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) + − = + + + − − 2 3 2 3 2 3 1 2 3 1 + − = + + + − + 2 3 2 3 3 3 3 3 + − = + + − (2 3)( 3 1) (2 3)( 3 1) 2 3 1 3( 3 1)( 3 1) 2 3 + − + − + = = = + − . Vậy A = 1. Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên b, Rút gọn biểu thức sau: B = 2010 2011 2 2010− + = 22010 ( 2010 1)− + = 2010 - 2010 - 1 = 1. Vậy B = -1 c, Không khai ph−ơng h9y so sánh: 2009 2011+ và 2. 2010 Vì 2010 + 2009 < 2011 + 2010 ⇔ 1 1 2010 2009 2011 2010 < − − ⇔ 2010 - 2009 > 2011 - 2010 ⇔ 2. 2010 > 2009 2011+ Vậy: 2009 2011+ < 2. 2010 Câu 3: 1, Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x3 + y3 + xy Thậy vậy: Q = x3 + y3 + xy = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy = x2 + y2 ⇒ Q = x2 + y2 Mặt khác theo Bunhiacopxky ta có: (x + y)2 ≤ (1 + 1)(x2 + y2) ⇒ x2 + y2 ≥ 1 2 . Dấu "=" xảy ra khi x = y Vậy: MinQ = 1 2 khi x = y 2, Cho ph−ơng trình: x2 + 6x + 6m - m2 = 0 a, Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệu cùng dấu: Điều kiện để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là 2 2 2 ' 0 9 (6m m ) 0 m 3(m 3) 0 ac 0 0 m 60 m 61.(6m m ) 0 ∆ > − − > ≠ − >  ⇒ ⇔ ⇔    >   Vậy với 0 < m < 6 và m ≠ 3 thì ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu b, Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho: x1 = x2 3 - 8x2 Điều kiện để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt là: m ≠ 3 Khi đó ta có: 3 1 2 1 21 2 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x 6 x x 6 x (1)x x 8x x x 6 6 x x 8x x 7x 6 0 (2) x .x 6m m x .x 6m m x .x 6m m (3) = − − = − −= −      + = − ⇔ − − = − ⇔ − + =      = − = − = −   Giải (2): x2 3 - 7x2 + 6 = 0 ⇔ (x2 - 1)(x2 - 2)(x2 + 3) = 0 TH1: x2 = 1 ⇒ x1 = - 7 thay vào (3) ta có: m 2 - 6m - 7 = 0 ⇔ m = -1 hoặc m = 7 (T/m) TH2: x2 = 2 ⇒ x1 = - 8 thay vào (3) ta có: m 2 - 6m - 16 = 0 ⇔ m = -2 hoặc m = 8 (T/m) TH3: x2 = - 3 ⇒ x1 = - 3 (Loại vì ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt) Vậy m = {-2; -1; 7; 8} Câu 4: Cho đ−ờng tròn tâm (O) bán kính R, A là một điểm cố định trên (O). Kẻ tia Ax tiếp xúc với (O) tại A. Lấy điểm M trên tia Ax (M ≠ A). Kẻ tiếp tuyến MB với (O), B là tiếp điểm. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MA. K là giao điểm thứ hai của BI và đ−ờng tròn (O). Nối M với K. a, Chứng minh các tam giác IAK và IBA đồng dạng với nhau. b, Chứng minh góc IMK và góc IBM bằng nhau c, Gọi H là trực tâm tam giác MAB. Khi M di động trên tia Ax thì điểm H chạy trên đ−ờng nào? Giải HS: Tự ghi GT/KL Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên a, Xét ∆IAK và ∆IBA có: Iɵ - chung;  IAK IBA= ( = 1 2 sđ AK ) ⇒ ∆IAK # ∆IBA(g.g) b, Vì ∆IAK # ∆IBA(g.g) ⇒ IA IK IB IA = Theo giả thiết thì: IA = IM ⇒ IM IK IB IM = ⇒ IM IB IK IM = Xét ∆IMK và ∆IBM có: IM IB IK IM = (C/m trên) Iɵ - chung ⇒ ∆IMK # ∆IBM (c.g.c) ⇒  IMK IBA= (góc t−ơng ứng) c, Gọi N là giao của AH với AM Khi đó:  1 1A B= (cùng phụ với NAB ) mà  1 2A B= (∆OAB cân tại O) ⇒   1 2 1B B A= = Mặt khác: AB ⊥ OH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ AOBH là hình thoi. ⇒ H luôn nhìn điểm A với một khoảng cách không đổi R ⇒ Khi M di động trên Ax thì H di động trên nửa đ−ờng tròn tâm A bán kính R đồng thời H ≠ O ( Vì H ≡O ⇒ A, O, B thẳng hàng ⇒ không tồn tại M) Vậy khi M di động trên Ax thì H di động trên nửa đ−ờng tròn tâm A bán kính R và H ≠ O (Xem hình vẽ) O K I M B A D C 2 N 1 1 H O K I M B A Đỗ Văn Lâm - Tr−ờng THCS TT Tân Uyên Câu 5: 1, Cho tam giác ABC với ba góc nhọn, có đ−ờng cao AA', BB', CC' đồng quy tại H. Chứng minh rằng: AH BH CH 6 A'H B'H C'H + + ≥ Giải Đặt SHAB = S1; SHBC = S2; SHAC = S3 +) 3 1 3 1 HCA' HBA' 2 AH S S S S A'H S S S + = = = +) BH B'H = 1 2 1 2 HAB' HCB' 3 S S S S S S S + = = +) CH C'H = 3 2 3 2 HAC' HBC' 1 S S S S S S S + = = ⇒ AH BH CH A'H B'H C'H + + = = 3 1 2 S S S + + 1 2 3 S S S + + 3 2 1 S S S + = 1 2 2 3 1 3 2 1 3 2 3 1 S S S S S S 2 2 2 6 S S S S S S      + + + + + ≥ + + =           ⇒ (đpcm) 2, Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đ−ờng thẳng đi qua giao điểm I của hai đ−ờng chéo và song song với hai đáy cắt BC tại J. Chứng minh rằng: 1 1 1 AB CD IJ + = Giải +) Vì AB // IJ ⇒ IJ CJ AB CB = (hệ quả đlí Talet) +) Vì CD // IJ ⇒ IJ BJ CD BC = (hệ quả đlí Talet) ⇒ IJ AB + IJ CD = CJ CB + BJ BC ⇒ IJ AB + IJ CD = CJ JB 1 CB + = ⇒ IJ AB + IJ CD = 1 ⇒ 1 1 1 AB CD IJ + = S3 S2 S1 H C' C B' B A' A J I D C BA