Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Phòng GD&ĐT Đông Hà (Có đáp án)

PHÒNG GD-ĐT ĐÔNG HÀ ------------'&'------------- ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn Toán. Thời gian 150 phút *Ma trận đề kiểm tra : Chủ đề chính Vận dụng Tổng 1)Phân tích ĐT thành nhân tử, biến đổi đồng nhất. 1 1 1 1 2) Bất đẳng thức 2 2 2 2 3)Phép chia hết, phép chia có dư 1 1 1 1 4)Số chính phương 2 1,5 2 1,5 5)Phương trình nghiệm nguyên 2 1,5 2 1,5 6)Diện tích tam giác, tam giác đồng dạng 2 3 2 3 Tổng 10 10 10 10 Câu 1: (1đ) Cho 3 số x, y, z khác không thoả mãn . Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z luôn tồn tại 2 số đối nhau. Câu 2: (1đ) Cho n Î N*. Chứng minh rằng : Câu 3: (1đ) Cho các số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Câu 4: (1đ) Chứng minh rằng : không chia hết cho 125, n N. Câu 5:(1,5đ) a) Tìm số tự nhiên n sao cho là số chính phương. b) Cho a + 1 và 2a + 1 (a Î N) đồng thời là hai số chính phương. Chứng minh rằng a chia hết cho 24. Câu 6: (1,5đ)Tìm nghiệm nguyên của các phương trình: a) b) Câu 7: (3đ) Cho tam giác đều ABC với tâm O. Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác ABC. Kẻ a) Chứng minh rằng: MH + MK + MI = h ( h là chiều cao của tam giác ABC). b) Đường thẳng MO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng: . ---------------Hết---------------- ĐÁP ÁN Câu 1: Từ Vậy trong 3 số x, y, z luôn tồn tại 2 số đối nhau. Câu 2 : Với n = 1, ta có : (đúng) Với n ³ 2, ta có : Mặt khác: Vậy (đpcm) Câu 3: Vì x > 0, y > 0, z > 0 nên Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) Þ (vì x + y + z = 1) Þ 2A ³ 2 Þ A ³ 1 Vậy Min A = 1 Û Câu 4: Giả sử tồn tại n Î N sao cho 125 Þ P 5 Þ Þ k lẻ Đặt k = 2m + 1, m Î N ta có : 2n = 5(2m + 1) – 1 Þ n = 5m + 2 Khi đó : không chia hết cho 125, trái với điều giả sử. Vậy không chia hết cho 125, với mọi n N. Câu 5: a) Đặt , với a Î N (1) Từ (1) Þ a chẵn Þ Þ (2) Mặt khác: (3) Từ (2) và (3) Þ n chẵn Þ n = 2m, (m Î N) pt (1) (*) Vì nên từ (*) Þ Với m = 1 Þ n = 2 Þ Với m = 3 Þ n = 6 Þ Vậy thì là số chính phương. b) Đặt a + 1 = k2, 2a + 1 = m2 , (k, m Î N) Vì 2a + 1 lẻ nên m2 lẻ Þ m lẻ Þ m = 2t + 1, (t Î N) Þ 2a + 1 = (2t + 1)2 Þ a = 2t(t + 1) là số chẵn Þ a + 1 lẻ Þ k2 lẻ Þ k lẻ Þ k = 2n + 1, (n Î N) Do đó từ a + 1 = k2 Þ a = (k – 1)(k + 1) = 4n(n + 1) 8 (1) Mặt khác: k2 + m2 = a + 1 + 2a + 1 = 3a + 2 hay (2) Từ (1) và (2) Þ , (vì (3; 8) = 1) Vậy a chia hết cho 24. Câu 6: a) (1) Ta có Þ Do đó từ (1) Þ (*) Vì x2 và x2 + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên từ (*) Þ Þ Vậy pt đã cho có 2 nghiệm nguyên là : (0 ; 1), ( ; -1) b) (1) Từ (1) Þ 2x > 1 Þ x > 0 Þ Xét y là số chẵn : Ta có : (vì y chẵn) Do đó từ pt(1) Þ Þ x = 1 Þ y = 0 Xét y là số lẻ : đặt y = 2m + 1, (m Î N) .Ta có : Do đó từ pt(1) Þ Þ x = 2 Þ y = 1 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm nguyên : (1; 0), (2; 1) Câu 7: Chứng minh: a) Ta có: (đpcm) b) Từ O kẻ Theo kết quả câu a ta có: OH’ + OK’ + OI’ = h Mà O là tâm của tam giác đều ABC nên: Ta có: MH // OH’ nên: (1) OK’ // MK nên: (2) IM // OI’ nên: (3) Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta có: (vì OH’ = OK’ = OI’) Vậy (đpcm) --------------Hết--------------