Đề tài Về tỷ lệ thức

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc - - - –²— - - - Sáng kiến kinh nghiệm đề tài: tỷ lệ thức * * * Giáo viên: lê thị kim anh A . Phần mở đầu: 1- lý do chọn đề tài: Toán học không những là môn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng trong phát triển chủ thể xã hội đó là con người. chính vì vậy môn toán không thể thiếu được: “ toán học là môn thể thao của trí tuệ giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp học tập, phương pháp giảI quyết vấn đề và giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo”. Là một giáo viên dạy toán 7 nhiều năm cả chương trình trình cũ và chương trình đổi mới thay sách. Tôi nhận tháy đa phần học sinh lớp 7 (kể cả học sinh có năng lực) từ việ tiếp thu kiến thức về lý thuyết định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau. để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập và tỉ lệ thức học sinh còn lúng túng nhiều. Từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải, kể cả những bài tương đối bình thường đến những bài toán khó. Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bàng nhau khá quan trọng trong việc tìm độ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác, trong các tam giác đồng dạng (ở lớp 8-9)..vv. Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 7B (lớp tội trực tiếp giảng dạy) ra đề bài một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bàng nhau và thấy kết quả như sau: Lớp Số HS được khảo sát Số học sinh giải được Số HS biết hướng nhưng không giải được Số HS không thể giải được SL % SL % SL % 7B 38 2 5.0 8 21.0 28 74.0 Đây là một két quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và băn khoăn. chính vì thế nên tôi đã đisâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giảI bài tập về tỷ lệ thức. 2 - Giới hạn đề tài: Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau trong chương trình toán học ở lớp 7 THCS. Vì điều kiện về thời gian cũng như trình độ kiến thức còn hạn chế nên tôi chỉ đi vào một số vấn đề sau: Lý thuyết: + Định nghĩa về tỷ lệ thức. + Tính chất của tỷ lệ thức. + Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau. + Các kiến thức liên quan. Các dạng toán: a, liệt kê các tỷ lệ thức từ các phân tử (Nếu có thể). b, Cho một tỷ lệ thức, hay suy ra các tỷ lệ thức khác. c, Tìm các số chưa biết khi cho biết tỷ lệ thức hoặc các đẳng thức. d, Các bài toán thực tế trong đời sống con người liên quan đến tỷ lệ thức. 3. Phương pháp nghiên cứu: - Đọc các tài liệu tham khảo. - Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp. 4. Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 8 năm 2010 đến hết tháng 1 năm 2011. B. Nội dung: 1. Lý thuyết: 1.1- Định nghĩa về tỷ lệ thức: Tỷ lệ thức là một đẳng thức của hai tỷ số hoặc a : b = c : d. Trong đó các số: a,b,c,d được gọi là các số hạng của tỷ lệ thức. Các số a và d gọi là ngoại tỷ, b và c gọi là trung tỷ. 1.2- Tính chất của tỷ lệ thức. + Tính chất 1: trong mội tỷ lệ thức, tích 2 trung tỷ thì bằng 2 ngoại tỷ. Nếu thì a.d = b.c + Tính chất 2: Nừu tích của 2 thừa số khac 0 bằng 1 tích của 2 thừa số khác 0 thì ta có thể lập được 4 tỷ lệ thức: Nếu có: a.d = b.c (a,c,d ≠ 0) thì có: ; ; và 1.3- Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau: a, = (b ≠ ) b, = (Các mẫu số khác 0). 1.4- Các kiến thức có liên quan. a, tính chất cơ bản của phân số: Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. ( b ≠ 0, m ≠ 0). Nếu ta chia cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. ( b ≠ 0, n ≠ 0). b, Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800: + + = 1800 c, Quãng đường đi được của chuyển động bằng tích của vận tốc với thời gian đi hết quãng đường đó: S = V.T 2 - Các dạng toán, cách giải và bài tập áp dụng. 2.1 - Dạng 1: Cho tập hợp các phần tử, hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử đã cho: a, Cách giải: sử dụng tính chất tỷ lệ thức: Nếu thì a.d = b.c b, Ví dụ: Cho tập hợp số A= . Hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử của A. Giải: Một tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau nếu: a ≠ b, a ≠ c, d ≠ ab, b ≠ c, b ≠ d, c ≠ d, và a.d ≠ b.c . Xét các nhóm 4 phần tử của A, xếp theo thứ tự: Hưỡng dẫn học sinh xét tích 2 số này bằng tích 2 số kia ta có: + Với nhóm: thì 4 x 32 = 8 x 16 và ta có 4 tỉ lệ thức như sau: ; ; ; . + Với nhóm: thì ta có: 4 x 64 = 8 x 32, ta có 4 tỉ lệ thức sau: ; ; ; . + Với nhóm: thì ta có: 8 x 64 = 16 x 32, ta có 4 tỉ lệ thức sau: ; ; ; . Như vậy ta có 12 tỉ lệ thức có các số hạng khác nhau thuộc tập hợp A. Giáo viên có thể hướng dẫn thêm: Nếu trong bài toán này ta không đòi hỏi các số hạng khác nhau thì ngoài 12 tỉ lệ thức trên ta còn có các tỉ lệ thức khác nữa: Ví dụ: ; ; ; ; ; ; ; c, bài tập vận dụng: * Bài 1: Cho tập hợp A= . Hãy liệt kê mọi tỉ lệ thức có các số hạng là các phần tử của tập hợp A. Với bài tập này số lượng học sinh hiểu và nắm bắt được cách giải từ việc vận dụng ví dụ mà giáo viên đã ra có tăng từ 10 em 15 em trong thời gian 15 phút đã làm xong và có kết quả (có sự giúp đỡ của máy tính bỏ túi). Số học sinh còn lại cũng lập được một số tỷ lệ thức. Giải: từ các phần tử của tập hợp A ta có các hệ thức: + 2 x 3 = 8 x 8 từ hệ thức này có các tỷ lệ thức : và . + 8 x 128 = 32 x 32. Suy ra các tỉ lệ thức sau: và . + 32 x 512 = 128 x 128 ta có hệ thức sau: và . + 2 x 512 = 32 x 32 ta có các tỉ lệ thức sau: và . + 2 x 128 = 8 x 32 ta có các tỉ lệ thức sau: và . + 8 x 512 = 32 x 128 ta có các tỉ lệ thức sau: và . + 2 x 512 = 8 x 128 ta có các tỉ lệ thức sau: và . Như vậy từ các phần tử tập hợp A có thể lập được 20 tỷ lệ thức khác nhau. * Bài 2: Tìm x biết: a, b, Với bài tập này học sinh muốn tìm giá trị của x phải sử dụng tính chất 1 của tỷ lệ thức. x.x = (-15).(-60) x2 = 900 x=. Tương tự b, Học sinh tìm được : x2 = x = . d, Bài tập tự giải: * có thể lập được tye lệ thức các số sau đây không? nếu lập được hãy viết tỉ lệ thức đó: 2,2 ; 4,6 ; 3,3 và 6,7. * lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các đẳng thức sau: a, 7.(-28) = (-49).4 b, 0,36 x 4,25 = 0,9x 1,7 2.2 - Dạng 2: cho tỉ lệ thức, hãy suy ra tỉ lệ thức khác: a, Ví dụ: Cho tỉ lệ thức: ; hãy chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: ( giả sử a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ 0 ) b, Các cách giải: * Cách 1: Để chứng minh ta xét tường tích a.(c-d) và c.(a-b). Ta có: a.(c-d) = ac - ad (1) c.(a-b) = ac - cb (2) Ta lại có: a.d = b.c (3) Từ (1), (2), (3) a(c-d) = c(a-b) Do đó: * Cách 2: Dùng phương pháp đặt = K thì a = bK ; c = dK Ta tính giá trị của các tỷ số: theo K ta có: (1) (2) Từ (1) và (2) . * Cách 3: Hoán vị các trung tỷ của tỷ lệ thức: ta được áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta được: Hoán vị các trung tỷ của ta được . * Cách 4: từ . Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét. Để chứng minh tỷ lệ thức thường ta dùng 2 phương pháp chính : Phương pháp 1: chứng tỏ rằng ad=bc. Phương pháp 2: Chứng tỏ 2 tỷ số và có cùng một giá trị. Nếu trong đề tài đã cho trước một tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị của mội tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh theo K (cách 2). Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức nhưng hoán vị các số hạng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4). c, Bài tập vận dụng: Bài 1: cho tỷ lệ thức sau Hãy chứng minh rằng các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa). a, b, c, . Từ 4 cách giải ở ví dụ mà giáo viên đã ra, Học sinh có thể giải theo một cách, Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách 2 và hưỡng dẫn học sinh cùng thực hiện. Giải: Đặt = K thì a = bK và c = dK a, (1). (2). Từ (1) và (2) Câu: (b, c) học sinh tự giải. d, bài tập tự giải: * Bài 1: cho a, b, c, d ≠ 0 Từ tỷ lệ thức hãy suy ra tỉ lệ thức * bài 2: Chứng minh rằng tỷ lệ thức: . * Bài 3: Chứng minh rằng tỷ lệ thức: Hệ thức a2 = bc. 2.3 - Dạng III: Tìm các số chưa biết khi biết các tỷ lệ thức a, Cách giải: * áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau. * Vận dụng tính chất cơ bản của phân số. * Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng K. tìm mối quan hệ của ẩn số qua K. b, Ví dụ: + Ví dụ 1: Tìm 2 số x, y biết: và x + y = 21 Biết: 7x = 3y và x – y = 16 Giải: Từ áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: Do đó: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6. Từ 7x = 3y x = ; y = . Ví dụ 2: Tìm các số x, y, z biết rằng và 2x + 3y – z = 186 Với bài này giáo viên cho học sinh nhận thấy và phải đưa về các phân số ( hoặc tỉ số) có cùng chung mẫu số là 20. Vậy: hay (1) Tương tự: (2) Giải: Từ giải thiết: ; Theo tính chất bằng nhau của tỉ lệ thức: c, Bài tập vận dụng: Tìm các số x, y, z biết rằng: Giải: áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có: = = vì ( x + y + y ≠ 0 ). Do đó: x + y + z = 0,5 x + y = 0,5 – z. Tương tự tìm x + z và y + z; thay kết quả này vào đề bài ta được: . Tức là: Vậy: . d, Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm các số a, b, c biết rằng: a, và a + 2b - 3c = -20. b, và a – b + c = -49. c, và . Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: a, và 5x + y - 2z = 28. b, 3x = 2y ; 7y = 5z và x – y + z = 32. c, và 2x – 3y + z = 6. d, và x + y +z = 49. e, và 2x + 3y – z = 50. g, và xyz = 810. 2.4 - Dạng IV: Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con người, vào hình học . a, Ví dụ 1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỷ lệ với 2, 3, 4. Giải: Số đo các góc của rABC là ; ; . Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với 2, 3 và 4 nghĩa là : : = 2 : 3 : 4 hay Do đó: ; ; b, Ví dụ 2: Một người đi A B đã tính rằng nếu đi với vận tốc là 6km/h thì từ B lúc 11h45’. Vì rằng người đó chỉ đi được quãng đường với vận tốc định trước và quãng đường còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5km/h nên ddén B lúc 12h. Hỏi người đi bộ khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB dài bao nhiêu km ? Giải: Gọi AC là quãng đường đi với vận tốc 6km/h. CB là quãng đường đi với vận tốc 4,5km/h. theo đề bài ta có: A B CB = AB, Giải sử để đi quãng đường CB với vận tốc 6km/h cần thời gianlà giời. Còn đi với vận tốc 4,5km/h với thời gian giờ. Ta có: - = 12h – 11h45 = (h) và 6 = 4,5 Từ đó = 1h; = Quãng đường Ab là : 4,5 . 5 = 22,5km Quãng đường Cb là : = 4,5km Thời gian để đi bộ từ A B là 4 + = 3h + 1h = 4h Thời gian khởi hành để đi bộ là 12 - 4 = 8h. c, Bài tập tự giải: * Bài 1: Có 16 tờ giấy bạc loại 2 000đ; 5 000đ và 10 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều như nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ ? * Bài 2: Trên một công trường xây dựng có 3 đội coong nhân làm việc. Biết rằng số công nhân đội I bằng số công nhân đội II bằng số công nhân đội III. Biết rằng số công nhân đội I ít hơn tổng số công nhân của đội I và đội II là 18 người. Tính số công nhân của mỗi đôi. B. Kết luận Với sự nỗ lực không ngừng của cả giáo viên và học sinh. Cô trò tôi đã thu được những kết quả đáng mừng. Điều trước tiên tôi thấy được là học sinh hăng say học tập trong các giờ lên lớp cũng như các giờ ôn luyện học sinh khá, giỏi. Với học sinh lớp 7B mà tôi giảng dạy. các dạng bài toán liên quan đến tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại nữa. Với đề tài này trước hết tôi đã ra phần lý thuyết ở mỗi phần có kèm theo ví dụ mà tôI cho là điển hình. Cơ bản nhằm giúp các em cũng cố và nắm vững hơn về lý thuyết. Sau khi các em đã nắm vững lý thuyết thì tôi đã ra phần bài tập vận dụng lý thuyết và những hiểu biết đã học để làm. Mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vướng mắc nhưng với sự gợi ý của tôi hầu hết các em đều tìm ra hướng giải quyết và làm được hết bài tập mà tôi đã ra. Trong đó một số em có tiến bộ rõ rệt. Ngoài bài toán trên các em còn có sưu tầm thêm các bài toán liên quan đến tỷ lệ thức ở các sách nâng cao để làm. Sự tiến bộ và sự đam mê của các em luôn là nguồn sức mạnh tiếp thêm cho tôi trong công tác giảng dạy và nghiên cứu của mình. Những thành tựu mà cô trò tôi đạt được làm tôi liên tưởng đến lời bác dạy “ Không có việc gì khó, chỉ sợ lòng không bền, đào núi và lấp biển quyết trí ắt làm nên”. Để một làn nữa khẳng định lại kết quả mà cô trò tôi đã đạt được và khép lại phần tỷ lệ thưc. cũng là lúc kết thúc của đề tài. Tôi đã tiến hành khảo sát lại và kết quả thật đáng mừng như sau: Lớp Số HS được khảo sát Số học sinh giải được Số HS biết hướng nhưng không giải được Số HS không thể giải được SL % SL % SL % 7B 38 28 8 2 Kết quả trên là sự cố gắng không ngừng của cả cô lẫn trò chúng tôi. Với những kiến thức mà các em đã thu được cùng với sự nỗ lực vươn lên của các em. TôI hy vọng rằng khả năng học toán nắm vứng trí thức sau mỗi phần, mỗi lĩnh vực kiến thức sự ham mê học toán của các em ngày một tăng lên. Do điều kiện về thời gian và trình độ có hạn của tôi nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vậy tôi rất mong các đồng nghiệp và hội đồng thẩm định các cấp góp ý kiến chân tình để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi chân thành xin cảm ơn ! Ngày 30 tháng 1 năm 2011 Người thực hiện: Lê Thị Kim Anh