Đề tài Tìm cách chứng minh môt bài toán Hình 8

Phần I: Phần mở đầu 1-Lý do chọn đề tài: Toán học là một môn khoa học đòi hỏi tính sáng tạo tư duy logic cao, quá trình giải một bài toán giúp con người hình thành những khả năng đặc biệt của trí tuệ. Những khả năng đặc biệt này đem lại cho chúng ta những thành tưụ lớn trong quá trình nghiên cứu khoa học, cũng như mọi lĩnh vực của đời sống con người. Bởi “trí tụê” là một trong những biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt động của con người và sự phát triển trí tuệ biểu hiện rõ nét thông qua các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, tưởng tượng, khái quát hoá ...” Trong quá trình giải toán. Do đó, muốn phát triển trí tuệ ngay từ đầu chúng ta phải hình thành thói quen suy luận có lý để thành thạo các tư duy đó. Để giải bài toán hình học nói chung và bài toàn chứng minh hình học lớp 8 nói riêng yêu cầu khả năng tư duy cao hơn, nhất là chương trình hình học lớp 8 theo chương trình mới bây giờ . Điều đó lý giải tại sao đa số học sinh ở cấp THCS đều lúng túng trong quá trình giải các bài tập hình học, hầu hết các em không biết phải tiến hành từ đâu, tiến hành các thao tác tư duy nào, phải làm những gì, phải sử dụng công cụ nào để giải ... đôi khai việc giải một bài toán hình học của các em chỉ là “ Sự mày mò” không có cơ sở. Là giáo viên đang trực tiếp giảng dạy toán , tôi nghĩ rằng việc giảng dạy của giáo viên không đơn thuần là việc “ Chỉ cho học sinh kết quả của bài toán” mà là quá trình “ hướng dẫn cho các em hình thành thói quen suy luận, lập luận có lý” để chứng minh một bài toán hình học. Việc làm này sẽ phát triển trí thông minh của các em và góp phần sự thúc đẩy sự phát triển trí tuệ của học sinh, gây hứng thú học tập bộ môn hình học. 2-Mục đích nghiên cứu: Giải toán là một nghệ thuật và việc hướng dẫn cho học sinh giải toán còn yêu cầu tính nghệ thuật cao hơn . Việc hướng dẫn học sinh lập luận có lý luận để chứng minh bài toán hình học lớp 8 cũng vậy, đòi hỏi quá trình tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi lâu dài . Vì vậy đối với bài viết này, tôi không ấp ủ một khát vọng là giới thiệu một vài phương pháp lập luận tối ưu có thể giải tất cả các bài toán chứng minh hình học lớp 8 mà mục đích chính của tôi là cố gắng giới thiệu một vài thủ thuật có hiệu quả để rút ra từ kinh nghiệm mà tôi tích luỹ đựợc trong các giờ dạy môn hình học lớp 8 với mong muốn trao đổi và phát huy khả năng sáng tạo trong quá trình dạy học , giúp học sinh không ngừng phát triển hơn nữa khả năng tư duy, suy luận logic. 3-Đối tượng nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh đại trà. Cụ thể là học sinh lớp 8 D – Trường THCS thị trấn Vạn Hà - Thiệu Hoá - Thanh Hoá, tìm cách chứng minh một bài toán hình học. 4-Phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu hình học lớp 8, tại trường THCS thị trấn Vạn Hà - Thiệu Hoá - Thanh Hoá. 5-Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng phương pháp thực nghiệm. - Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu. 6-Thời gian nghiên cứu. Đề tài được tích luỹ, đúc rút từ kinh nghiệm thực tiễn của năm học 2004 – 2005. Cụ thể từ tháng 9 – 2004 tới tháng 03 – 2005. Phần II: Nội dung A-Cơ sở lý luận chung : Hướng dẫn học sinh tư cách tư duy suy luận logic để giải một bài toán chứng minh hình học lớp 8 bao gồm nhiều quá trình kết hợp một cách chặt chẽ , đó là yêu cầu mà học sinh hình thành để học cách “ Phải suy nghĩ như thế nào ?”. Việc thành thạo các thao tác tư duy này sẽ giúp học sinh giải bài toán chứng minh hình học lớp 8 một cách độc lập. Nó được chia làm 4 quá trình sau: 1- Quá trình phân tích, phán đoán: Phân tích bài toán để phán đoán một cách khoa học, có cơ sở kết quả của bài toán. 2- Quá trình bổ sung, cấu tạo và phân nhóm lại bài toán. Dựa vào mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán và yêu cầu của bài toán có thể vẽ thêm đường phụ. 3-Quá trình huy động tri thức cũ : Tìm phương pháp giải dựa trên cơ sở khoanh vùng kiến thức cần sử dụng trong bài toán, cách ly, liên hợp các yếu tố của bài toán. 4- Quá trình tổ chức giải bài toán. Mỗi quá trình trên có liên quan chặt chẽ với nhau trong quá trình giải toán, tuy nhiên cũng có thể những suy luận có lý từ một quá trình sẽ đem lại kết quả cho bài toán. B-Cơ sở thực tiễn: Trong thực tế cho chúng ta thấy, hình học là một bộ môn khó đối với nhiều học sinh , nhưng nếu như chúng ta biết cách hướng dẫn học sinh giải một bài toán chứng minh hình học thì ắt hẳn tư tưởng trên sẽ không còn nữa. Thực tế cho tôi biết để thực hiện được điều này thì phải biết phân loại học sinh ( Giỏi, khá, trung bình, yếu kém). Tuỳ vào từng đối tượng học sinh mà chúng ta áp dụng với phương pháp thích hợp . Ngay từ đầu năm, tôi được nhà trường phân công dạy bộ môn toán lớp 8 D. Qua tìm hiểu giáo viên dạy lớp năm trước, tôi biết đây là một lớp có nhiều học sinh xếp vào loại trung bình, yếu kém về bộ môn toán. Thực tế tôi đã khảo sát chất lượng bộ môn toán đầu năm như sau. Sĩ số lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu SL TL SL TL SL TL SL TL 36 0 0 5 14% 20 56% 11 30% Nguyên nhân dẫn tới kết quả trên là do : Các bài kiểm tra hình của các em đều bị điểm kém bởi vì các em không biết chứng minh các bài toán hình học. Với thực chất, chất lượng của lớp như vậy tôi rất lo và đã trăn trở, tìm tòi, nghiên cưú tài liệu với mong muốn là sẽ giúp học sinh biết cách chứng minh một bài toán hình học. C-Nội dung cụ thể: 1-Quá trình phân tích, phán đoán. Khi gặp một bài toán, sau khi đã ghi giả thiết, kết luận, vẽ hình chính xác, phần lớn học sinh thường lao vào giải bài toán ngay, điều này thực sự không có lợi cho việc giải toán bởi có thể các em chưa thực sự nắm được yêu cầu của bài toán . Những yếu tố mà đề bài cho hoặc có thể lệch hướng giải quyết vấn đề . do đó giáo viên nên hình thành cho học sinh thói quen phân tích bài toán một cách kỹ lưỡng trước khi bắt tay vào tìm lời giải cho bài toán . Dựa vào việc phân tích bài toán để tìm mối liên hệ giữa các yếu tố có liên quan của bài toán từ đó xác định cụ thể yêu cầu của bài toán, phán đoán hướng giải quýêt bài toán. Tuy nhiên cần hiểu rằng việc phán đoán không có nghĩa là dự đoán một cách thông thường mà khi phán đoán một vấn đề cần thiết phải biết cách lập luận để kiểm tra phán đoán đó một cách có cơ sở. Muốn kiểm tra phán đoán, có thể đặt ra một số câu hỏi như “ Nhận biết này có liên hệ với vấn đề cần chứng minh không ? Nếu có thì cần liên quan như thế nào?, “ Vấn đề phán đoán này có hợp lý không ? “ nếu có thì liên quan như thế nào ?” , “ vấn đề phán đoán này có hợp lý không?” “ Giả thiết này cho nhằm mục đích gì ? có liên quan tới yêu cầu của bài toán không”. Những câu hỏi này khi đặt ra sẽ kèm theo một loạt các thao tác tư duy hoặc là có thể chỉ đạo người giải toán bíêt phải hành động như thế nào ? Để tìm được cách giải bài toán giáo viên có thể giúp học sinh vận dụng phương pháp phân tích đi lên để giải quyết bài toán. Đây là phương pháp mà ngay bản chất của nó đã yêu cầu học sinh phải biết tự kiểm tra những dự đoán. “ Nếu có điều này thì sẽ như thế nào ?” Khi sử dụng phương pháp này chúng ta sẽ thấy lợi ích của việc phân tích bài toán tìm ra mối liên quan giữa các yếu tố của bài toán. Ví dụ áp dụng: Bài toán 1: Cho Tam giác ABC và một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AC qua E ta kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC ở D và đường thẳng song song với BC, cắt AC ở F sao cho AE = AB. Chứng minh rằng tam giác AED cân. Giáo viên: Yêu cầu học sinh vẽ hình ghi giả thiết,kết luận. GT ∆ABC, E є AC, ED // AB, EF //BC, EA = BF KL ∆ AED cân. A F E B C D Hướng dẫn: Để giải được bài này yêu câù học sinh tìm tòi theo các bước say đây. Bài toán cho biết gì ? cần chứng minh điều gì ? (yêu cầu phân tích). - Dự đoán ∆ AED cân ở đỉnh nào ? (yêu cầu phán đoán) - Muốn chứng minh ∆ AED cân ta phải chứng minh điều gì ? (yêu cầu cần phân tích) Xuất phát từ yêu cầu trên bài toán trên AE = FB nhằm mục đích gì? có thể chứng minh được FB = ED không? Nếu được ta suy ra điều gì ( yêu cầu phân tích tìm mối liên quan) Với cách phân tích và phán đoán như trên, học sinh có thể dễ dàng trình bày bài toán như sau: Lời giải: Vì : ED // AB ( gt ) a ED // FB. a Tứ giác FEDB là hình bình hành. FE // BC (gt) a EF // BD. Nên :FB = ED mà FB = AE (gt) a AE = ED. Vậy ∆ AED cân tại E. ( đpcm). Sau khi giải quyết song bài toán, học sinh đang lưu ý đến kết quả vừa tìm được mà thường không chú ý những công việc, những thao tác mình vừa làm bởi vấn đề đã được giải quyêt. Song thực tế nếu chỉ tích luỹ những kết quả đó thì chưa thể gọi là có sự phát triển tư duy? Sự phát triển tư duy ở đây là sự thành thạo các thao tác phân tích độc lập của các em đối với các bài toán tương tự khác. Chính vì vậy giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh “ hình thành thói quen tìm tòi cách giải toán” như trên. Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DC, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Giáo viên: yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận. GT Tứ giác ABCD. MA = MB, NB = NC, PC = PD, QA = QD KL MNPQ là hình bình hành. A M B Q N D P C Sau khi đã hình thành được thói quen phân tích một cách độc lập học sinh có thể tự đặt ra các câu hỏi và trả lời câu hỏi và trả lời câu hỏi ( phân tích, phán đoán và kiểm tra phán đoán) Đối với bài toán 2 như sau: Hỏi: nếu MNPQ là hình bình hành thì ta suy ra điều gì ? ( yêu cầu phân tích). Trả lời: a- MN // PQ và QM //NP. b- MN // PQ và MN //PQ. c- MN = PQ và MQ = NP hoặc các góc đối bằng nhau. d- NQ và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hỏi: Theo đề bài giả thiết cho phù hợp với cách nào trong 4 cách trên ?. Giả thiết cho M,N,P,Q là các trung điểm của các cạnh nhằm mục đích gì? ( Tìm mối liên hệ giữa giả thiết với yêu cầu bài toán để đưa ra phán đoán) Trả lời: Cách b – Vì M, N là lần lượt là trung điểm AB và BC ( gt) nên : MN //AC và MN = 1/ 2 AC a NM // PQ và MN = PQ Tương tự: PQ //AC và PQ = 1/2 AC. Vậy : Tứ giác MNPQ là hình bình hành ( kiểm tra phán đoán ) Tóm lại: Khi giải một bài toán chứng minh hình học, giáo viên cần hướng dẫn và hình thành cho học thói quen phân tích và cách phân tích bài toán. Tuy nhiên không phải bất cứ đối với một bài toán nào cũng có thể phân tích mà thấy ngay được hướng giải quyết vấn đề, bởi một bài toán bao gồm tổ hợp nhiều cách thao tác tư duy khác chứ không riêng phân tích, mà mỗi thao tác tư duy đó lại nằm trong quá trình có liên quan chặt chẽ với nhau. 2- Quá trình bổ sung, cấu tạo loại bài toán. Rất nhiều những bài toán chứng minh hình học phức tạp mà đôi khi không thể khai thác ngay các yếu tố giải thiết của bài toán cho để giải quyết bài toán. Chính vì thế mà khi bắt gặp những bài toán như vậy giáo viên phải giúp học sinh bổ sung hoặc cấu tạo lại bài toán một cách hợp lý mà không làm thay đổi cấu trúc của bài toán. Những bổ sung hoặc cấu tạo lại như vậy sẽ cung cấp cho chúng ta thêm những yếu tố có triển vọng để giải quyết yêu cầu của bài toán thông thường những bổ sung hoặc cấu tạo lại bài toán chứng minh hình học ở chương trình lớp 8 mà tôi muốn nói ở đây là việc khai thác bài toán để kể thêm đường kẻ phụ, các đường kẻ phụ có thể là chiếc chìa khoá giúp cho chúng ta giải quyết những yêu cầu của bài toán. Tuy nhiên cũng cần phải nói rõ hơn rằng việc kẻ thêm đường kẻ phụ là một việc làm khó mà đối với học sinh đại trà lại càng khó hơn. Chính vì vậy mà đa số học sinh không thực sự chắc chắn trong thao tác này, đôi khi việc làm của các em chỉ là mày mò, kẻ thêm đường thẳng này hay kẻ thêm đường thẳng kia với hy vọng xuất hiện một vấn đề nào đó có liên quan chứ chưa thực sự xuất phát từ những mối liên hệ chặt chẽ giữa các yếu tố của bài toán với mục đích phương hướng hướng tư duy logic, của các em có thể đối với một số học sinh còn chưa hề xuất hiện một ý tưởng nào để chứng minh hoặc chưa xác định hướng chứng minh cho bài toán. Đối với những bài toán chứng minh hình học khác nhau thì việc kẻ thêm đường kẻ phụ cũng khác nhau, không có một phương pháp cụ thể nào. Tuy nhiên tôi muốn đề xuất một ý tưởng mang tính thủ thuật có thể giúp học sinh thành công trong việc bổ sung câú tạo lại bài toán bằng cách kẻ thêm đường kẻ phụ đó là ngay sau khi phân tích bài toán, nếu xét thấy cần thiết kẻ thêm đường kẻ phụ giáo viên cần giúp học sinh tìm hướng xuất phát, mà cụ thể là nên xuất phát từ những yếu tố mà tôi “ tạm gọi” là “yếu tố đặc biệt” của bài toán. Lúc đâù có thể học sinh chưa biết là yếu tố đặc biệt, do đó giáo viên có thể chỉ cho các em thấy rằng những yếu tố hoặc chi tiết có liên quan nhiều đến yêu cầu của bài toán, ẩn số hoặc cùng có thể là phương pháp giải bài toán ta đang hình thành trong đầu. Khi nghiên cứu bài toán một cách kỹ lưỡng chúng ta sẽ thấy ở các chi tiết của bài toán có gì đó giống như là thứ bậc, những chi tiết chính thường là những chi tiết bậc cao hơn gần hơn với các giả thiết, kết luận của bài toán hơn. Tuy nhiên khi nghiên cứu bài toán giáo viên cũng cần lưu ý học sinh không nên nhìn nhận phân định ranh giới quá rạch ròi, bởi thực ra có thể các chi tiết đặc biệt đó không hoàn toàn là chìa khoá để giải bài toán . Khi bắt đầu nghiên cứu bài toán, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh xem xét bài toán trong cái toàn bộ, không nên để cho một số chi tiết thu hút làm lạc hướng và lúc mà chúng ta chưa hoàn toàn mổ xẻ được bản chất của vấn đề , chưa nắm được mục đích đặt ra thì chúng ta nên nhường quyền suy nghĩ cho tổng thể bài toán, sau đó hãy xem các chi tiết đặc biệt trong mối liên hệ chặt chẽ giữa giả thiết bài toán, kết luận của bài toán, định hướng tư duy giải bài toán ( nếu có) Ví dụ áp dụng. Bài toán 3: Cho Tứ giác lồi ABCD : Gọi M và N lần lượt là trung điểm hai cạnh AD và BC. Chứng minh rằng : MN ≤ AB + CD ? ( Yêu cầu phân tích dự đoán) 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi giả thiết kết luận. GT Tứ giác ABCD . MA = MD, NB = NC KL C/m : MN ≤ AB + CD 2 E A B N I M P D C F Hướng dẫn Giáo viên hướng dẫn học sinh làm theo các bước sau. - Làm thế nào để chứng minh được MN ≤ AB + CD ( yêu cầu phân tích dự đoán) 2 - Giả thiết bài toán cho đã sử dụng để chứng minh trực tiếp yêu cầu của bài toán chưa ? ( yêu cầu khai thác bài toán.) Với bài toán này giáo viên nên lưu ý học sinh phải bổ sung lại bài toán bằng cách kẻ thêm đường kẻ phụ . - Lưu ý các điểm đặc biẹt của bài toán : Trong bài toán này có những yếu tố nào đặc biệt ? ( Yêu cầu cần xác định yếu tố đặc biệt). Dễ dàng nhận ra rằng 2 điểm M và N là các yếu tố đặc biệt, bởi chúng có liên quan nhiều đến yêu cầu của bài toán . Xuất phát từ yêu cầu bài toán MN ≤ AB + CD . Khi M là trung điểm hai 2 cạnh AD và BC . Thì ta tháy bất đẳng thức này có liên quan tới sự tồn tại của một tam giác có độ dài 3 cạnh là MN ; AB , CD . Ta đặt chúng vào mối liên quan với 2 2 các yếu tố khác của bài toán như MA = MD và NB = NC. Tới đây nếu như học sinh vẫn chưa dựng được giáo viên tiếp tục hướng dẫn cách tư duy, suy luận trong mối liên hệ giữa các yếu tố . Nếu như MN ≤ AB + CD . Như vậy sẽ có một điểm P bất kỳ nào đó sao cho MN≤ 2 PN + PM, trong đó MP = 1 DC, NP= 1 AB.Vậy điểm P sẽ nằm ở đâu? 2 2 Học sinh dễ nhận ra nếu MP = 1 CD thì MP phải là đường trung bình của ∆ABC 2 Nếu NP = 1 AB. Thì NP phải là đường trung bình của ∆ ABC do đó điểm P là 2 trung điểm của AC. Vậy là việc kẻ thêm đường phụ xuất phát từ các yếu tố đặc biệt và xét các yếu tố đặc biệt đó trong mối liên hệ với yêu cầu của bài toán ,các yếu tố khác của bài toán,học sinh đã bổ sung lại bài toán dựa trên những tư duy chặt chẽ.Do đó sau khi kẽ xong đường kẽ phụ ,việc giải bài toán chỉ còn là việc sắp xếp lại các công đoạn của quá trình suy luận trên bằng cách vận dụng các kiến đã học có liên quan. Học sinh có thể trình bày lại bài toán như sau: Gọ P là trung điểm của AC. Theo tính chất đường trung bình của ∆ ta có : MP = 1 DC và NP = 1 AB. 2 2 Do đó : MP + NP = 1/2 ( AB + CD ) . Mặt khác trong ∆ NMP ta luôn có MN < PN + PM. Vì vậy MN ≤ 1/2 (AB + CD ). Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 điểm M,N,P thẳng hàng. Nhưng do MP // CD; PN //AB nên AB //CD. Vì vậy tứ giác ABCD là hình thang. Với đường lối đi như trên giáo viên có thể cho học sinh khai thác chứng minh nhanh đối với trường hợp E là trung điểm AB, F là trung điểm CD. Rõ ràng theo cách vẽ đường phụ như trên học sinh chứng minh một các dễ dàng: EF ≤ (AB + CD ) / 2. Bài toán 4: Cho hình thang ABCD ( AD// BC, AD > BC ) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình của hình thang. Chứng minh rằng ∆ ACM cân. GT ABCD có AD // BC, AC ⊥ BD; EF = 1/2(AD+BC); Mẻ AD; AM = EF KL C/M D ACM cân B C I E F D N A M Đối với bài toán này ,giáo viên cần làm rõ cho học sinh hiểu rằng muốn dựng được đường kẽ phụ cần xuất phát từ những yếu tố đặc biệt, những chi tiết đặc biệt của bài toán và sau đó phải đặt được chúng vào trong mối liên hệ giữa các chi tiết khác của giả thiết và kết luận của bài toán. Giáo viên giúp học sinh dựa vào mối liên hệ đó để suy luận và tìm ra cách dựng cho bài toán. Tất nhiên công việc của học sinh phải nghiên cứu tỉ mỉ các khía cạnh của bài toán và việc làm tiếp theo là phải đi tìm những khả năng giải bài toán theo hướng đã xác định bằng những thói quen suy luận một cách khoa học. (Trong bài toán này hướng xác định là chứng minh cho 2 cạnh của tam giác AMC bằng nhau vì giả thiết cho liên quan nhiều đến đoạn thẳng cần chứng minh.) Hướng dẫn : + Tam giác AMC cân tại điểm nào? ( yêu cầu phán đoán) + Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân ta chứng minh như thế nào ? ( phương pháp chứng minh ). Để chứng minh một tam giác là tam giác cân thì học sinh dễ dàng nghĩ ngay tới việc chứng minh hai cạnh bên bằng nhau hoặc hai góc kề một cạnh bằng nhau. + Muốn chứng minh tam giác AMC cân ta chứng minh theo cách nào? Hãy suy nghĩ chứng minh ( yêu cầu kiểm tra phán đoán ). + Vơí bài toán này ta nên dựng thêm đường kẻ phụ nào để có thể chứng minh 2 cạnh MA = MC ? ( Bổ sung vào tìm hướng giải quyết ). + Bài toán cho có yếu tố hoặc chi tiết nào đặc biệt liên quan nhất đến yêu cầu của bài toán? ( yêu cầu chỉ ra chi tiết đặc biệt và đặt vaò mối liên hệ). Giả thiết đã cho EF = 1/2 ( AD + BC), AM = EF . Như vậy mục đích của chúng ta chỉ còn là chứng minh cho CM=1/2 (AD+BC) + Để việc so sánh này trở nên dễ dàng người ta thường đưa tổng độ dài 2 đoạn thẳng về bằng độ dài của một đoạn thẳng. Hãy tìm cách thực hiện điều đó ? ( yêu cầu suy luận dựa vào mối liên hệ vừa xác định ) . Học sinh dễ dàng xác định trên tia đối của DA lấy điểm N sao cho DN = BC, ta có hình bình hành BCND và AM = 1/2 ( AD + BC ) = 1/2 AN. + Bây giờ chúng ta chỉ còn phải chứng minh điều gì nữa bài toán sẽ được giải quyết? ( yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức đã học để chứng minh điều vừa suy luận). Học sinh dễ dàng nhận ra vì CM là trung tuyến do đó phải chứng minh cho CM = 1 /2 AN . Suy ra phải chứng minh cho tam giác CAN vuông tại C. + Giả thiết cho BD vuông góc với AC có mục đích gì ? ( Nếu học sinh vẫn chưa nhận ra thì giáo viên tiếp tục gợi mở cho học sinh ) . Học sinh có thể trình bày lại bài toán như sau: *Trên tia đối của DA lấy điểm N sao cho DN = BC suy ra tứ giác BCND là hình bình hành ( vì AD // BC nên BC // DN ). Ta có BD // CN ị AC ⊥ CN hay D ACN là tam BD ⊥ AC (gt) giác vuông tại C (1) * Mặt khác ta lại có: EF là đường trungbình của hình thang ABCD nên EF = 1/2(AD + BC) mà AM = EF (gt) ị AM = 1/2(AD+BC) = AN/2 ị M là trung điểm của AN nên CM là trung tuyến của D ACN (2). Từ (1) và (2) ta có CM là trung tuyến của tam giác vuông ACM nên: CM = 1/2 AN hay CM = AM Vậy D ACM cân tại M. Sau khi hướng dẫn học sinh một vài bài toán như trên, học sinh sẽ hình thành cách suy luận một cách có lý để kẻ thêm đường kẻ phụ cần thiết bổ sung thêm các yếu tố có ích cho việc giải bài toán và chí ít là các em không phải mày mò một cách vô định và nếu như việc suy luận như trên chưa giúp các em thành công trong một vài trường hợp thì cũng giúp các em hiểu sâu hơn bản chất của bài toán. Để từ đó tìm hướng giải quyết khác. 3. Quá trình huy động tri thức cũ: Tìm cách giải dựa trên cơ sở “khoanh vùng kiến thức” cần sử dụng trong bài toán, “cách ly, liên hợp” các yếu tố của bài toán và “hồi tưởng lại kiến thức” đã tích luỹ vận dụng vào giải toán. Như tôi đã trình bày ở trên, sự phát triển trí tuệ của học sinh không phải đơn thuần là sự tích luỹ thật nhiều tri thức mà vấn đề là việc chúng ta sử dụng những tri thức tích luỹ đó như thế nào và phát triển chúng như thế nào. Đó là chưa nói đến việc đòi hỏi cao hơn nữa là chúng ta giải quyết được nnhững vấn đề hoàn toàn xa lạ như thế nào? Điều này cũng giống như nếu chúng ta giải được một bài toán nào đó trong số 100 bài toán chúng ta đã từng giải thì đó chỉ là việc làm bình thường của quá trình nhớ lại các thao tác cũ, chưa thể hiện sự phát triển trong tư duy. Còn nếu như chúng ta làm được một bài toán thứ 101 nào đó không thuộc trong số 100 bài đã giải nhưng nó có dạng như những bài đã làm hoặc có phương pháp tương tự thì việc giải được bài toán đó đã chứng tỏ sự phát triển trong tư duy của chúng ta. Do đó, tôi muốn nói rằng việc hướng dẫn học sinh “huy động tri thức cũ” để tìm hiểu hoặc vận dụng có chọn lọc để khám phá những tri thức mới là một việc làm rất quan trọng. Tuy nhiên, việc huy động phải thực sự là quá trình hồi tưởng có chọn lọc trong mối liên hệ của những yếu tố đã biết với những yếu tố đang nhận biết. Muốn thực hiện thành công quá trình này, giáo viên phải hướng dẫn học sinh biết “ khoanh vùng kiến thức” sau đó “cách ly, liên hợp” các vùng kiến thức đó kết hợp với việc cách ly, liên hợp các yếu tố của bài toán để tìm ra hướng giải quyết vấn đề một cách hợp lý, khoa học. Tại sao phải khoanh vùng tri thức? Có thể hiểu một cách đơn giản, một bài toán nói chung hoặc chứng minh một bài hình học lớp 8 nói riêng giống như việc chúng ta tìm một cái bút vừa bị mất.Nếu chúng ta cứ mãi suy nghĩ và tìm xem chúng ở chổ nào thì có thể sẽ mất thồi gian mà chưa chắc chắn đã có kết quả.Ngược lại nếu chúng ta chịu bình tĩnh ngồi lại và bắt đầu khoanh những vùng khả nghi có liên quan nhiều đến chức năng thường sử dụng của cái bút: bàn làm việc , ngăn kéo,tại cuộc họp,....và tìm thật kĩ trong những phạp vi đã xác định đó có thể sẽ tìm thấy nhanh hơn và dễ dàng hơn. Việc khoanh vùng kiến thức như vậy giúp chúng ta có định hướng ban đầu một cách rõ ràng cho việc tìm phương án giải quyết chứ không phải là tìm một hướng chung chung, mặc dù những ý đồ giải toán có thể là khác nhau nhưng đều nằm trong vùng kiến thức đó. Tại sao phải cách ly, liên hợp các yếu tố của bài toán? Lúc nghiên cứu một chỉnh thể phức tạp , có thể chi tiết này hay chi tiết kia mà ta cảm thấy có lợi cho việc cho việc chứng minh sẽ thu hút sự chú ý của chúng ta. Chúng ta sẽ tập trung vào chi tiết đó và tác chi tiết đó ra ( cách ly chi tiết đó) tiếp theo lại sẽ tách các chi tiết khác . Cuối cùng chúng ta nghiên cứu và đánh giá lại một cách hợp lý vị trí các chi tiết và đặt chúng trong mối liên hệ chỉnh thể liên hợp của baì toán nhằm thúc đẩy quá trình nhận định hướng giải quyết vấn đề một cách chắc chắn. Tất cả những việc làm này không ngoài mục đích là tìm ra một cách giải hợp lý nhất , nhanh nhất và chặt chẽ nhất cho bài toán. Vì vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của “ phương pháp” giải toán, một khi chúng ta đã nắm được các dạng toán và phương pháp chứng minh, chúng ta sẽ không phải mày mò để tìm kết quả của bài toán nữa mà công việc còn lại của chúng ta chỉ là huy động tri thức đã tích luỹ được vận dụng vào chứng minh bài toán đó. Phân tích bài toán với phương pháp xác định như vậy sẽ giúp chúng ta thấy được các bước đi liên tiếp quan trọng và vạch ra được những luận cứ cho những bứơc đi đó. Vậy làm thế nào để xác định được phương pháp giải một bài toán ? Cách thứ nhất là thử tất cả các phương pháp đã vạch ra đối với bài toán đó ( cách này sẽ mất thời gian ) Cách thứ hai là sau khi đã phân tích, phán đoán chúng ta khoanh vùng kiến thức rồi cách ly, liên hợp các yếu tố của bài toán ( giả thiét, kết luận) và lựa chọn phương pháp nào gần với những yếu tố đó. Bởi đối với bất cứ một bài toán nào cũng có tính hợp lý, tính hợp lý này thể hiện sự ăn khớp trên mọi khía cạnh giữa phương pháp chứng minh với các yếu tố của bài toán. Do đó khi có sự ăn khớp, hợp lý giữa các yếu tố của bài toán với phương pháp mà ta đã lựa chọn thì việc chứng minh của chúng ta có thể sẽ thành công. Việc lựa chọn phương pháp thích hợp cho một bài toán giống như việc chọn dụng cụ để chặt một cái cây to. Có 5 dụng cụ để chặt cây : Dao, rìu, búa, cưa, xẻng. Chúng ta hiểu rằng không nên chọn xẻng để chặt một cái cây to mà phụ thuộc vào cái cây to nên ta chọn cưa hoặc rìu. Cách ví này để chúng ta dễ dàng hiểu được tính hợp lý trong mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán với phương pháp cần lựa chọn. Tuy nhiên đối với một bài toán chứng minh hình học muốn việc làm này trở nên dễ dàng học sinh phải nắm thật vững kiến thức cơ bản và thành thạo các thao tác chứng minh theo phương pháp đó. Ví dụ áp dụng: Bài toán 5: Cho tam giác ABC ( AB< AC ). Kẻ đường phân giác AD. Qua trung điểm E của cạnh BC, ta kẻ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh