Đề tài Phương trình một ẩn không chứa căn bậc hai, phương trình nhiều hơn một ẩn, đặc biệt là phương trình phương vô tỉ

PHẦN MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài. Việc chăm lo bồi dưỡng học sinh giỏi ở các khối lớp là điều luôn luôn cần thiết và thực hiện trong mỗi năm học . Đáp ứng được nhu cầu đó đòi hỏi tất cả các giáo viên, học sinh cần trau dồi cho mình những kiến thức cần thiết trong tất cả các bộ môn học. Môn toán trong trường THCS là bộ môn cơ bản để vận dụng cho các kiến thức ở các khối học tiếp theo. Trong chương trình này việc giải phương trình là hết sức quan trọng nó xuyên suốt hầu hết các bài học. Đối với SGK đã trình bày đầy đủ các bước giải cơ bản của dạng toán này. Nhưng trong thực tế có những bài toán mà áp dụng các phương pháp giải thông thường đó thật là khó khăn cho học sinh. Sau 6 năm học, được trường phân công ôn thi HSG môn toán tôi nhận thấy rằng khi dạy học sinh phần giải phương trình, ngoài cách giải thông thường áp dụng cho một số dạng phương trình quen thuộc. Đối với một số dạng phương trình các phương pháp ở SGK không thực hiện được hoặc rất khó thực hiện. Tôi tìm hiểu trong một số sách dành cho học sinh giỏi có phần dùng bài toán Max, Min để giải những phương trình trên. Đối với học sinh ôn thi HSG thì đây là một phương pháp hoàn toàn mới, đòi hỏi các học sinh phải tư duy theo kiểu mới để nhận dạng bài toán, trên cơ sở của bài toán cực trị ( Max, Min ) mà các em đã biết. Việc vận dụng phương pháp này trong giải một số dạng phương trình là rất hiệu quả. Cách giải cũng rất dễ hiểu và áp dụng cho một số dạng phương trình khác nhau như: phương trình một ẩn không chứa căn bậc hai, phương trình nhiều hơn một ẩn, đặc biệt là phương trình phương vô tỉ, . Với những suy nghĩ và thực tế đã qua trong một số năm ôn thi HSG tôi đã tóm tắt được sơ lược về nội dung khi dạy dạng toán giải phương trình này cho học sinh và rút ra được những bài học kinh nghiệm cho bản thân. Tôi mong rằng với hệ thống này sẽ thật sự giúp ích cho tất cả các giáo viên trong việc ôn thi HSG và giúp các em học sinh ôn thi được tốt hơn. II. Biện pháp - Phương pháp thực hiện Kinh nghiệm “Dùng bài toán Max, Min để giải một số phương trình trong ôn thi học sinh giỏi” tôi đã thực hiện dạy cho học sinh từ năm 2002 đến nay. Để học sinh thực hiện được thành thạo cách giải này tôi đã thông qua quá trình dạy như sau: + Dạy cho học sinh bài toán cực trị ở dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( đa thức, phân thức đại số, căn thức đại số .) Với yêu cầu giải tốt các dạng bài tập liên quan. + Bắt đầu nối những bài toán trên lại với nhau cho phù hợp thành bài toán giải phương trình ( dạng tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất ). Với yêu cầu tìm ra được giá trị bằng nhau của hai vế phương trình. + Nhận dạng bài toán cho và đưa những bài toán về dạng trên để giải. Với cách dạy như trên tôi đã thấy được sự hứng thú, say mê tìm tòi của học sinh, phát huy tối đa khả năng tư duy và sự tiến bộ của học sinh qua từng buổi ôn, qua cách giải mới biết. PHẦN NỘI DUNG I. Tóm tắt cách giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất. 1. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (Min) Bài toán. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x). Giải.Ta biến đổi Với ,TXĐ, a là hằng số Vậy Khi g(x) =0 2. Bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max) Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất của f(x). Giải.Ta biến đổi Với ,TXĐ, a là hằng số Vậy Khi g(x) =0 * Hoặc dùng định lí Cơsi để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. * Lưu ý: với f(x) là phân thức hoặc biểu thức chứa căn thức bậc hai còn có điều kiện có nghĩa và f(x) có bậc cao nhất là bậc chẵn. 3. Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: f(x) = x2 + 2x – 3 Giải. Ta có: f(x) = x2 + 2x – 3 = x2 + 2x + 1 -4 = (x + 1)2 – 4 - 4 Với Vậy Khi x + 1 = 0 x = -1. Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Giải. Ta có Vậy A = Vì ; Vậy Min A = 3 Khi 2x – 1 = 0 x = Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của h(x) = -13 + 6y – y2 Giải. Ta có: h(x) = -(y2 – 6y + 9) – 4 = -(y – 3)2 – 4 - 4 Vì –(y – 3)2 0 với Vậy Max h(y) = -4 khi y -3 = 0 y = - 3 Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của B = - 16x2 +16x -1 Giải. Ta có: B = - 16x2 +16x -1 = -16x2 + 16x – 4 +3 = -4(4x2 -4x + 1) + 3 = -4(2x – 1)2 + 3 3 ; vì -4(2x – 1)2 0 với Vậy Max B = 3 khi 2x – 1 = 0 x = II. Giải một số dạng phương trình bằng bài toán dùng giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) 1. Dạng phương trình một ẩn. Bài toán 1. Giải phương trình sau: x2 + 2x = 6x -10 - x2 * Bài toán trên giải theo công thức nghiệm: Vậy: Phương trình vô nghiệm * Chứng minh biểu thức luơn cĩ giá trị dương : Sau khi chuyển vế thu gọn phương trình được : 2x2 – 4x + 11 = 0 Ta có: 2x2 – 4x + 11 = 2( x2 – 2x + 1) + 9 = 2(x – 1)2 + 9 > 0 với mọi x Vậy: 2x2 – 4x + 11 = 0 vô nghiệm. * Dùng bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Giải. Ta có vế trái: x2 + 2x – 3 = x2 + 2x + 1 – 4 = (x – 1)2 – 4 -4 với Vế phải: 6x -13 - x2 = -(x2 - 6x + 9) – 4 = -(x – 3 )2 – 4 -4 với Vậy dấu bằng xãy ra khi cả hai vế bằng -4 hay Vậy phương trình vô nghiệm. Bài toán 2. Giải phương trình sau: -36x2 – 36x = 4x2 + 4x + 10 * Bài toán này có thể giải như bài toán 1. VD: phân tích đa thức thành nhân tử: Giải. -36x2 – 36x = 4x2 + 4x + 10 -36x2 – 36x - 4x2 - 4x – 10 = 0 - 40x2 – 40x – 10 = 0 4x2 + 4x + 1 = 0 (2x + 1)2 = 0 * Dùng bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Giải. -36x2 – 36x = 4x2 + 4x + 10 -36x2 – 36x – 7 = 4x2 + 4x + 3 Ta có vế trái: -36x2 – 36x – 7 = -[(6x)2 + 2.6x.3 + 9] + 2 = -(6x + 3)2 + 2 2 với vế phải: 4x2 + 4x + 3 = [(2x)2 + 2.2x.1 + 1] + 2 = (2x + 1)2 + 2 2 với Vậy dấu bằng xảy ra khi cả hai vế bằng 2 hay 6x + 3 = 0 x = và 2x + 1 = 0 x = - Vậy phương trình có nghiệm x = - Nhận xét: Như vậy khi dùng bài toán giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong bài toán học sinh thấy được sự ứng dụng của kiến thức mới gây tính tò mò, hứng thú hơn. Với cách giải này chúng ta có thể dạy cho đối tượng học sinh lớp 8 khi chưa học công thức nghiệm. Còn nếu phân tích đa thức thành nhân tử là không được vì đa thức luôn dương ( âm) với mọi x hoặc gặp khó khăn khi tìm nhân tử chung. 2. Dạng phương trình nhiều hơn một ẩn. Bài toán 1. Giải phương trình sau: 4x2 + 4xy +4y2 – 6y = -3 * Bài toán nếu giải theo công thức nghiệm của phương trình bậc hai thì phải coi một ẩn là tham số. Giải theo hướng phân tích đa thức thành nhân tử đưa về phương trình tích, việc này sẽ gặp khĩ khăn khi phân tích tìm nhân tử chung . * Dùng bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Giải. Ta có: 4x2 + 4xy +4y2 – 6y = -3 4x2 + 4xy + y2 + 3y2 – 6y + 3 = 0 (4x + y)2 + 3(y – 1)2 = 0 Vì (4x + y)2 0 ; 3(y – 1)2 0 với Để phương trình có nghiệm thì Vậy nghiệm của phương trình là: Bài toán 2. Tìm x, y biết 2x2 + y2 = 4(x – y) - 6 * Có thể giải như bài toán 1. * Dùng bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Giải. Ta có: 2x2 + y2 = 4(x – y) -6 2x2 – 4x + 2 - 1= -y2 -4y – 4 -1 2(x – 1)2-1 = -(y + 2)2 – 1 Ta thấy 2(x – 1)2-1 -1 với ; -(y + 2)2 – 1 -1 với Vậy dấu “=” xảy ra khi cả hai vế bằng -1 hay Vậy nghiệm của phương trình là: Bài toán 3. Tìm x, y, z thoả đẳng thức sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0 * Có thể giải như bài toán 1, 2 và gặp khó khăn khi phân tích đa thức thành nhân tử . * Kết hợp bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Giải. Ta có: 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0 9x2 - 18x + 9 + y2 – 6y + 9 + 2z2 + 4z + 2 = 0 9(x2 – 2x + 1) + ( y2 – 6y + 9) +2(z2 + 2z + 1) = 0 9(x – 1)2 + (y – 3)2 + 2(z + 1)2 = 0 (do 9(x – 1)2 0 ; (y – 3)2 0 ; 2(z + 1)2 0 Với mọi x, y, z) Vậy thỏa đẳng thức trên. Bài toán 4. Tìm x, y, z thoả phương trình sau: x2 + z2 + 4y2 + 14 = 2x + 12y + 4z * Có thể giải như bài toán 1, 2, 3. * Kết hợp bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. x2 + z2 + 4y2 + 14 = 2x + 12y + 4z Giải. Ta có: x2 + z2 + 14 = 2x + 12y +4z – z2 (x2 – 2x + 1) + (4y2 - 12y + 9) = -(z2 - 4z + 4) (x – 1)2 + (2y – 3)2 = -(z – 2)2 vì (x – 1)2 0 ; (2y – 3)2 0 ; -(z – 2)2 0 Với Nên ta có: Vậy là nghiệm của phương trình. Nhận xét : Sự quen thuộc của học sinh sẽ bị dừng lại khi gặp một phương trình có nhiều hơn một ẩn, sự khó khăn khi phân tích đa thức thành nhân tử, dùng công thức nghiệm, hình dung về dạng phương trình nghiệm nguyên. Sự định hướng sử dụng kết hợp bài toán giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất để xét giá trị từng vế là rất hiệu quả và dễ hiểu. 3. Dạng phương trình vô tỉ.( chứa căn thức bậc hai ) * Phương pháp giải cơ bản theo SGK là dùng định nghĩa căn bậc hai ( phép khai phương ) và bình phương hai vế với điều kiện không âm làm mất biểu thức chứa căn. Bài toán 1. Giải phương trình: = - 16x2 +16x -1 a. Học sinh có thể giải theo cách sau: : 4x2 – 4x + 10 = 4x2 – 4x + 1 +9 = (2x – 1 )2 + 9 9 ; ĐKXĐ: Giải. Ta có: = - 16x2 +16x -1 * Nếu tính tiếp thì phương trình lúc này là bậc bốn đầy đủ. Học sinh chưa biết cách giải tổng quát, việc phân tích đa thức thành nhân tử là rất khó. b. Dùng bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Giải. ĐKXĐ: Ta có: Vế trái: Với ; Vế phải: - 16x2 +16x -1 = -16x2 + 16x – 4 +3 = - 4(4x2 -4x + 1) + 3 = - 4(2x – 1)2 + 3 3 ; vì -4(2x – 1)2 0 ; Dấu “=” xảy ra khi cả hai vế đều bằng 3 hay 2x – 1 = 0 x = thỏa điều kiện Vậy phương trình có nghiệm x = Bài toán 2. Giải phương trình: a. Học sinh có thể giải theo cách sau: Điều kiện: Lúc này vế trái có vế phải là đa thức bậc 4. Nếu tiếp tục bình phương hai vế nữa thì vế phải là đa thức bậc 8 đầy đủ không giải được. b. Dùng bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Giải. Điều kiện: Aùp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Dấu “=” xảy ra khi: Mặt khác : x2 – 6x + 13 = (x2 – 6x + 9) + 4 = (x – 3)2 + 4 4 Dấu “=” xảy ra khi x – 3 = 0 x = 3 Do đó: = 4 Vậy phương trình vô nghiệm. Bài toán 3. Giải phương trình: a. Học sinh có thể giải : Tìm điều kiện, bình phương hai vế * Lúc này vế trái có vế phải là đa thức bậc 4. Nếu tiếp tục bình phương hai vế nữa thì vế phải là đa thức bậc 8 đầy đủ không giải được. b. Dùng bài toán Max, Min Giải. Điều kiện: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Dấu “=” xảy ra khi Mặt khác: 3x2 – 12x + 14 = 3x2 – 12x + 12 + 2 = 3(x2 – 4x + 4) + 2 = 3(x – 2)2 + 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x – 2 = 0 x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 2. Bài toán 4. Giải phương trình: a. Học sinh có thể giải theo cách sau: Giải. Điều kiện: Ta có: * Nếu tính tiếp thì phương trình lúc này là bậc bốn đầy đủ. Học sinh chưa biết cách giải tổng quát, việc phân tích đa thức thành nhân tử là rất khó. Hoặc học sinh phân tích đưa về phương trình tích là rất khó. b. Kết hợp phương pháp giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất. Điều kiện: Ta có: Vì ; với Vậy ta có: Giá trị x = -3 > - Vậy phương trình có nghiện duy nhất x = -3 Nhận xét : Việc vận dụng phương pháp khai phương và bình phương hai vế với một số phương trình vô tỉ nêu trên là rất khó và có bài không thực hiện được dẫn đến sự khó khăn cho học sinh khi giải. Lúc này sự kết hợp và sử dụng bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo công thức và định lí Côsi giải là rất hiệu quả và dễ hiểu giải quyết được khâu bế tắc của học sinh. Bài toán 5. Giải phương trình: a. Học sinh có thể giải: Phân tích đa thức thành nhân tử đưa về phương trình tích và trong đó có số vô tỉ nên việc giải là rất khó khăn khi biến đổi. b. Kết hợp bài toán giá trị lớn nhất, gí trị nhỏ nhất. Giải. Ta có: Vì và ; Nên phương trình vô nghiệm. * Nhận xét: Sự nhẫm lẫn của học sinh có thể xãy ra khi sử dụng và kết hợp phương pháp giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong khi biến đổi. Ví dụ: với phương trình Sau khi biến đổi đến đây học sinh có thể giải: Vì ; Vậy phương trình vô nghiệm. Biểu thức : là không xãy ra với KẾT QUẢ THỰC HIỆN Việc sử dụng và kết hợp bài toán giá trị lớn nhất và giá rị nhỏ nhất giải một số dạng phương trình trong ôn thi học sinh giỏi trong những năm qua tôi nhận thấy được những kết quả như sau: Học sinh nhận diện được bài toán phải giải theo phương pháp nào. Dạng phương trình như thế nào thì kết hợp và sử dụng bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và dùng định lí Côsi. Học sinh đã làm quen với phương pháp giải mới nhanh chóng, hiệu quả và vận dụng tốt trong việc giải phương trình, đặc biệt là dạng phương trình vô tỉ. Tuy nhiên đôi khi học sinh còn vấp phải một số sai lầm khi vận dụng bài toán trên giải phương trình như đã nêu trong phần nội dung . BÀI HỌC KINH NGHIỆM “ Với một bài toán đưa ra, đi kèm với những lời giải chính xác chưa đủ phát huy vốn tò mò, tìm kiếm và khả năng tư duy của học sinh ôn thi học sinh giỏi, điều làø làm thế nào để học sinh có thể nghĩ ra một cách giải khác, làm thế nào để tự mình phát hiện ra cách giải đó được ?”. Đó chính là điều trăn trở và ước muốn của bao thế hệ của những người yêu toán. Dùng bài toán Max, Min để giải một số phương trình phần nào giúp cho các em say mê toán học thêm một phương tiện để phát triển khả năng giải toán của mình. Bởi sau cái mong muốn giải một bài toán cụ thể còn có sự tò mò sâu sắc hơn, một sự mong muốn hiểu được những đường lối và phương tiện, lập luận và quá trình dẫn tới từ cách giải. Một trong những nhiệm vụ hàng đầu của giáo viên ôn thi học sinh giỏi là làm cho học sinh có thể tìm thấy sự liên hệ của bài toán này với bài toán khác, phương pháp giải này với phương pháp giải khác. Vì thế khi giải phương trình bằng cách sử dụng bài toán Max, Min thì giáo viên chỉ cho học sinh cách đưa bài toán Max, Min như thế nào là phù hợp. So sánh giữa cách giải bài phương trình bình thường như sách giáo khoa với cách giải phương trình bằng cách sử dụng bài toán Max, Min để học sinh thấy được cái hay, cái lí thú của nó. Như thế cuối cùng học sinh có thể thấm nhuần kiến thức và phát triển tốt được thói quen tư duy của trí óc, góp phần vào sự thành công trong công tác giảng dạy của giáo viên và kết quả học tập của học sinh. Qua đó nhận thấy rằng đây là một trong những chuyên đề về ôn thi học sinh giỏi không thể thiếu đối với bản thân tôi qua từng năm. Đã được sự đóng góp chân thành của đồng nghiệp trong trường, nhưng thiết nghĩ rằng việc viết chuyên đề này hẵn còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp, để cho tôi được hoàn thiện hơn nữa trong việc dạy học, góp phần nhỏ cho công cuộc xây dựng nhân tài cho quê hương đất nước. TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán nâng cao chọn lọc Đại số 8 Lời giải đề thi toán 9 ( Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh ) Lời giải đề thi toán 8 ( Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh ) Lời giải môn toán kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 TP. Hồ Chí Minh 36 đề thi vào trường PTTH chuyên. Học, học nữa, học mãi * XÉT DUYỆT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN * XÉT DUYỆT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG * XÉT DUYỆT CỦA PHÒNG GIÁO DỤC