Đề tài Phương pháp giải bài toán bất đẳng thức trong trường phổ thông THCS

Mục lục A. Phần mở đầu............................................................................ Trang 2 1/ Lý do chọn đề tài..................................................................... Trang 2 2/ Mục đích của đề tài.................................................................. Trang 4 3/ Phạm vi đối tượng của đề tài.................................................. Trang 4 4/ Phương pháp nghiên cứu......................................................... Trang 4 5/ Dự kiến kết quả của đề tài ...................................................... Trang 5 B. Nội dung và phương pháp tiến hành..................................... Trang 5 1/ Cơ sở lý luận............................................................................. Trang 5 2/ Tình hình thực tiễn.................................................................. Trang 6 3/ Nội dung và PP tiến hành........................................................ Trang 7 4/ Một số ứng dụng của BĐT...................................................... Trang 32 5/ Kết quả...................................................................................... Trang 37 C. Kết luận - Bài học kinh nghiệm............................................. Trang 38 D. Tài liệu tham khảo.................................................................. Trang 39 A-Phần mở đầu 1/ Lý do chọn đề tài: Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên rất cần thiết và quan trọng trong khoa học kỹ thuật cũng như trong đời sống sinh hoạt của loài ngừơi. Toán học xuất hiện từ lâu đời và đã mang lại không ít những thành quả vĩ đại .Ngày nay với sự phát triển của các ngành khoa học cơ bản , các ngành công nghệ then chốt như viễn thông , dầu khí ... đến các lĩnh vực các đều không thể thiếu Toán học và càng không thể thiếu đối với học sinh THCS. Toán học không những cung cấp cho học sinh những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lô gic, một phương pháp luận khoa học. Là giáo viên dạy Toán trong trường THCS tôi nhận thấy học yếu môn Toán vì các lý do sau: + Không thuộc kiến thức cơ bản và không nắm vững kiến thức cơ bản. + Lý do quan trọng hơn là: các em chưa biết cách làm toán mà ta gọi đó là phương pháp giải, nhất là các phương pháp đặc trưng cho các dạng, cho từng loại toán.Muốn chứng minh một đẳng thức hay một bất đẳng thức ta phải làm sao? muốn giải phương trình, hệ phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức ta làm thế nào? các em không nắm chắc . Vì vậy làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các loại toán , vận dụng kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phương pháp giải một loại toán như thế nào. Giải quyết được vấn đề đó không phải là dễ khi mà phân phối chương trình môn Toán THCS không dành một tiết nào cho giáo viên dạy một hệ thống các phương pháp giải các loại toán cụ thể mà chỉ xuất hiện đơn lẻ một số bài toán . Đặc biệt là giải toán bất đẳng thức trong đại số. Trong chương trình THCS, một hiện trạng hiện nay là khi dạy Toán bất đẳng thức giáo viên chỉ chữa bài tập là xong mà ít khai thác phân tích đề bài, mở rộng bài toán mới. Dẫn đến khi học sinh gặp một bài toán tương tự hay khác một chút là lúng túng không có hướng giải. Chính vì vậy học sinh thường ngại học Toán bất đẳng thức, vì kiến thức ít không liền mạch, phương pháp giải hạn chế, học sinh không tự tư duy vận dụng các bất đẳng thức vào giải các loại toán như cực trị , giải phương trình, hệ phương trình được . Muốn khắc phục tình trạng này người thầy phải dày công nghiên cứu và học hỏi đúc rút kinh nghiệm, phác hoạ ra một chương trình học theo từng chuyên đề, mỗi chuyên đề phải mang tính khả thi, đi từ yếu tố rất đơn giản nhưng lại đề cập đến những vấn đề mới mẻ và đặc biệt phải có tính sáng tạo. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phương pháp dạy nói chung và phương pháp giảng dạy môn Toán cấp THCS nói riêng, để thực hiện điều đó vai trò người thầy hết sức quan trọng. Do đó bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong sách giáo khoa mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển ra và tìm ra những kiến thức mới giúp học sinh lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống. Vì vậy tôi luôn suy nghĩ, lựa chọn phương pháp mới đối với bài học mới mà ở đó tính tích cực, tính linh hoạt của tư duy và tính tự lập của các em được thực hiện, các kỹ năng trí tuệ được khêu gợi, yêu cầu tư duy suy ngẫm được nêu cao. Đó chính là phương pháp giúp các em tự nghiên cứu, tự khám phá ra một vấn đề mới, một phương pháp mà người thầy phải định hướng cho học sinh làm theo sao cho nó phải trở thành một "thói quen" trong học Toán. Đây là một phương pháp trái ngược với phương pháp tiếp thu thụ động, khuôn mẫu lệ thuộc. "Phương pháp giải bài toán bất đẳng thức trong trường THCS"(phần đại số) theo tôi là một dạng Toán khó, nhưng thông qua đó góp phần hình thành, phát triển tư duy, năng lực học Toán, tính sáng tạo của học sinh. Đồng thời bồi dưỡng rèn luyện phẩm chất đạo đức thao tác tư duy Toán học. Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu, qua nghiên cứu thực tế giảng dạy của giáo viên, cách học tập của học sinh, qua những năm dạy toán ở trường THCS tôi rút ra được một số kinh nghiệm. Đặc biệt là những bài học rút ra sau những năm đuợc đào tạo tại trường Đại học. Vì vậy tôi chọn đề tài: " Phương pháp giải bài toán bất đẳng thức trong trường THCS"( phần đại số). 2- Mục đích nghiên cứu của đề tài: Trang bị cho học sinh một số kiến thức để học tập tốt môn toán nói chung và việc đưa ra phương pháp dạy và học "giải toán bất đẳng thức" nói riêng để học sinh ứng dụng làm bài tập một cách chủ động, linh hoạt, tránh lúng túng, mất hướng giải. Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp khi giải các dạng bất đẳng thức trong quá trình dạy học. Củng cố niềm tin cho học sinh khi học môn Toán, có ý thức vươn lên học tốt môn Toán. Dần dần hình thành năng lực, phát triển tư duy, sáng tạo, hình thành kỹ năng, tính cẩn thận, chính xác cho học sinh. Đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục. 3- Phạm vi nghiên cứu - đối tượng của đề tài 3.1. Phạm vi nghiên cứu: Phát triển năng lực, tư duy của học sinh thông qua các bài toán bất đẳng thức đối với học sinh THCS. 3.2. Đối tượng nghiên cứu Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là học sinh lớp 8, lớp 9 trong giờ luyện tập, bồi dưỡng học sinh mũi nhọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn tập cuối năm và ôn tập cho các kỳ thi ở trường, thi học sinh giỏi các cấp, thi vào cấp TPTH. 4- Các phương pháp nghiên cứu và tiến hành: 4.1. Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo thu thập tài liệu. - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm. - Kiểm tra kết quả chất lượng học sinh. 4.2. Phương pháp tiến hành Thông qua các bài toán cơ bản về bất đẳng thức, nghiên cứu tìm ra phương pháp giải cho từng dạng. Từ dó, ứng dụng giải các bài tập, chú ý khắc phục một số sai lầm hay gặp và đưa ra một số bài tập vận dụng. 5- Dự kiến kết quả của đề tài: Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho học sinh ở trường THCS trong việc học và giải các bất đẳng thức trong đại số hoặc ứng dụng các bất đẳng thức vào giải bài toán cực trị,giải phương trình, hệ phương trình ... Qua đó các em có phương pháp giải đúng, tránh được tình trạng định hướng sai khi giải bài toán hoặc còn lúng túng trong việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực hơn, đạt kết quả cao trong các kỳ thi. B. Nội dung 1/ Cơ sở lý luận: Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức: a) Định nghĩa: Cho hai số a và b ta có: a lớn hơn b, kí hiệu a > b Û a- b > 0 a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b Û a - b < 0. b) Các tính chất của bất đẳng thức: 1) a > b Û b < a 2 ) Tính bắc cầu: a > b; b > c ị a > c. 3) Tính đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức: a > b ị a + c > b + c 4) Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng đã cho: a > b; c > b ị a + c > b + c . Chú ý : Không được trừ từng vế của bất đảng thức cùng chiều. 5) trừ từng vế cúa hai bất đẳng thức ngược chiều , được bất đẳng thức cùng chiều với đẳng thức bị trừ. a > b c b - d 6)Tính chất đơn điệu của phép nhân : a .Nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số dương : a > b ;c > o ị ac > bc . b.Nhân hai vế bất đẳng thức vối một số âm và đổi chiều của bất đẳng thức : a > b ; c < o ị ac < bc . 7) Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm : b o c > d o ị ac > bd . 8) Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức : a > b >o ị an > bn . a > b Û an > bn với n = 2k ( k N ). Û an >bn với n = 2k ( k N ) . 9)So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương : Nếu m > n > o thì a >1 ị am > bn . a=1 ị am = bn . o < a < 1 ị am < bn . 10)Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu : a > b > o hoặc b < a < o Û < Chú ý: Ngoài các BĐT chặt (a > b) ta còn gặp các BĐT không chặt (a ³ b) tức là a > b hoặc a = b. Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “ > “ (hoặc “ < “ ) có thể thay bởi dấu “ ³ “ (hoặc dấu “ Ê “ ). c) Các hằng bất đẳng thức cần nhớ: 1) a2 ³ 0 ; - a2 Ê 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 2) . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 3) - . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 4). Xảy ra dấu đẳng thức khi ab ³ 0. 5)ẵa-bẵ ³ ẵaẵ -ẵbẵ. Xảy ra dấu đẳng thức khi ab ³ 0; ẵaẵ ³ ẵbẵ. 2/ Tình hình thực tiễn Trong đề tài này tôi xin giới thiệu với các bạn "Phương pháp giải bài toán bất đẳng thức trong trường THCS" ( phần đại số). Kết quả thu được rõ ràng đã có thể vận dụng giải nhiều dạng toán và ứng dụng của các bài toán này không phải là ít. Nếu như rèn luyện cho học sinh dạng toán này thì chúng ta đã trang bị cho các em lượng kiến thức không phải là nhỏ. Trong chương trình toán phổ thông của chúng ta còn rất nhiều phương pháp nữa. Trên đây tôi chỉ trình bày một số phương pháp thông dụng trong chương trình THCS. Tuy nhiên, với dạng toán này thì không phải đối tượng nào cũng tiếp thu một cách dễ dàng, vì vậy giáo viên cần phải khéo léo lồng vào các tiết dạy nhằm thu hút và phát huy sự sáng tạo của học sinh. Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen dần. Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những bài toán đơn giản, học sinh trung bình có thể giải nhờ các kiến thức cơ bản sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức, biết tư duy sáng tạo giải bài toán mới, tập trung "sáng tạo" ra các vấn đề mới. *). Khảo sát trước khi áp dụng đề tài a. Kết quả: Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 40 học sinh từ trung bình đến khá, giỏi, tôi thấy kết quả tiếp thu "phương pháp giải bài toán bất đẳng thức" như sau: Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10 SL % SL % SL % SL % 26 65% 10 25% 3 7,5% 1 2,5% b. Nguyên nhân của thực tế trên: Đây là một dạng toán tương đối mới lạ và khó đối với học sinh, học sinh chưa được trang bị phương pháp giải, nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không có lối thoát dẫn đến kết quả thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các em không có hướng giải quyết. 3/ Nội dung và phương pháp tiến hành Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số : 3.1. Phương pháp dùng định nghĩa : a) Cơ sở toán học : Để chứng minh : A > B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B > 0 . A < B ta xét hiệu A - B và chứng tỏ A - B < 0 . Khi giải các bất đẳng thức bằng phương pháp này học sinh cần ghi nhớ các hằng đẳng thức sau : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 0. ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 0. ( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ac 0. b) Các ví dụ : Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : a). b). Giải Ta có : - = - = - = ( 2a2 + 2b2 - a2 - b2 - 2ab ) = ( a2 + b2 - 2ab ) =( a - b )2 0. ( đpcm ). Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b. b). Ta có hiệu : - = - = - = ( 3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab -2bc - 2ac ) = ( 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab -2bc - 2ac ) = ( a2 -2ab+ b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ac + a2) = ( a - b )2 + ( b - c )2 + ( c - a )2 0. ( đpcm ). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c . Lưu ý : Từ hai bài toán trên giáo viên yêu cầu HS tìm cách chứng minh dựa trên các hằng đẳng thức ( a + b )2 ; ( a - b )2 từ đó rút ra bài toán tổng quát : Ví dụ 2 : Với x ,y z . Chứng minh rằng: a) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx . b) x2 + y2 + x2 + 3 2( x + y + z ). Giải: a) Ta có hiệu: x2 + x2 + z2 - ( xy + yz + xz ). = x2 + x2 + z2 - ( xy + yz + xz ). = ( x2 + 2xy + y2 ) + (y2 - 2yz + z2) + ( z2 - 2zx + x2) = ( x - y2) + ( y - z)2 + (z - x)2 0. Do đó: x2 + y2 + z2 xy + yz + zx (đpcm) Dấu "=" xảy ra x - y = 0 y - z = 0 hay x = y = z . z - x = 0 b) Ta có hiệu : x2 + y2 + z2 + 3 - 2( x + y + z ) = ( x2 - 2x + 1 ) + ( y2 - 2y +1 ) + ( z2 - 2z + 1 ) = ( x - 1 )2 + ( y -1 )2 + ( z -1 )2 0. Suy ra : x2 + y2 + x2 + 3 2( x + y + z ). ( đpcm ). Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Ví dụ 3 : Chứng minh : + b2 + c2 ab - ac + 2bc Giải Ta có hiệu : + b2 + c2 - ab + ac - 2bc = ( - b + c )2 0 + b2 + c2 ab - ac + 2bc ( đpcm ). Ví dụ 4 : Chứng minh : ( x - 1 ) ( x - 3 ) (x - 4 ) ( x - 6 ) > -10. Giải Ta có hiệu : ( x - 1 ) ( x - 3 ) (x - 4 ) ( x - 6 ) + 10 = ( x2 - 7x ) + 6 ( x2 - 7x ) + 12 + 10 = ( x2 - 7x + 9 )2 +1 > 0 ( vì ( x2 - 7x + 9 )2 0 ). ( x - 1 ) ( x - 3 ) (x - 4 ) ( x - 6 ) > -10. ( đpcm ). *)Bài tập áp dụng : 1) Chứng minh : x2 + y2 + z2 2xy - 2xz + 2yz 2) Chứng minh : a ) a2 + b2 + 1 ab + a + b b) x4 + y4 +1 2x( xy2 - x + z +1 ) 3 ) Chứng minh : a2 + 5b2 - 4ab +2a - 6b +3 > 0 4) Cho : a , b , c , d , e là các số thực . Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b + c + d + e ). Hãy rút ra bài toán tổng quát . 5) Với a b 1 thì . 3. 2. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si : a)Cơ sơ toán học : *) Dạng tổng quát ( n số ) : x1, x2, ...,xn 0 ta có : Dạng 1 : (Trung bình nhân của n số không âm không lớn hơn trung bình cộng của chúng ) Dạng 2 : x1 + x2 + ... + xn ³ n Dạng 3 : Dấu “ = ” xảy ra Û x1 = x2 = ... =xn. *) Dạng cụ thể ( hai số, ba số): *Với n = 2, mọi x,y ³ 0. Khi đó: Û x + y ³ 2 Dấu “ = ” xảy ra Û x = y *Với n = 3: mọi x,y,z ³ 0. Khi đó Û x + y + z ³ 3 Dấu “ = ” xảy ra Û x = y = z. *Hệ quả: ( x,y > 0 ) Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh dạng 1 có vẻ tầm thường nhưng lại giúp nhận dạng khi sử dụng bất đẳng thức Cô Si. Đặc biệt có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi từ trung bình nhân sang trung bình cộng ngay cả khi không có căn thức. b)Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi: Khi giải BĐT bằng phương pháp sử dụng BĐT Côsi, GV cần đưa ra một số kỹ thuật giải dưới đây ,đó là những phương pháp giải ngắn gọn, có thể đưa bài toán từ dạng phức tạp về đơn giản. Tuy nhiên khi sử dụng các kỹ thuật này GV cần lưu ý cho HS tránh những sai lầm thường mắc phải . b.1) Kỹ thuật sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ( a2 + b2 )( b2 + c2 )( c2 + a2 ) ³ 8a2b2c2, a,b,c. + Sai lầm thường gặp: Sử dụng : x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x - y )2 ³ 0 Û x2 + y2 ³ 2xy Đúng Đúng Đúng Do đó: Nhân vế với vế 3 BĐT trên ta được: ( a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ³ 8a2b2c2 ( Sai ) Ví dụ: 1 ³ -5 (đúng) 2 ³ -3 (đúng ) 3 ³ 2 (đúng) Nhân vế với vế 3 BĐT trên ta được: 6 ³ 30 ( Sai) + Lời giải đúng: Sử dụng bất đẳng thức Cô si: x2 + y2 ³ 2 = 2, ta có: Nhân vế với vế 3 BĐT trên ta được: (a2 + b2)(b2 + c2 )(c2 + a2) ³ 8 = 8a2b2c2 *Lưu ý: Giáo viên cần lưu ý cho HS chỉ nhân các vế của các BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm. Nói chung ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay BĐT Cô si như bài toán trên mà thường phải biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng đến BĐT Cô si như sau: Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: ³ 8 Giải Vế trái: = = Theo Cô si ta có: Tương tự ta có: Suy ra VT = ³ .. = 8 ( đpcm) * Ta tìm ra bài toán tổng quát: Chứng minh rằng *)Bài tập áp dụng: 1) Chứng minh rằng: ( 1 + a + b)(a + b + ab) ³ 9ab, với mọi a,b ³ 0 2) Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 ³ 9ab2, với mọi a,b ³ 0 3) Cho a,b,c,d ³ 0 và . Chứng minh rằng: abcd Ê . Tuy nhiên không phải giải BĐT nào ta cũng có thể áp dụng kỹ thuật trên. Có những bài toán HS rất lúng túng khi tìm cách giải. Trong quá trình sử dụng BĐT Côsi thường có một kỹ thuật giúp giải quyết bài toán nhanh chóng. Đó là “kỹ thuật tách nghịch đảo” nghĩa là tách thành 2 hay nhiều số hạng có tổng là nghịch đảo của nhau. Sau đây tôi xin trình bày kỹ thuật thứ 2: b.2) Kỹ thuật tách nghịch đảo: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: > 0 Giải Theo Cô si ta có = 2 ( đpcm) Với bài toán trên HS có thể nhìn nhận một cách dễ dàng. Nhưng với bài toán sau đây GV cần hướng dẫn HS tách như thế nào? Ví dụ 2 : Chứng minh rằng: ³ 2 Giải Với bài toán này ta làm như sau: Ta có: = = = 2( đpcm) Kỹ thuật tách nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số. *Bài tập áp dụng: 1) Chứng minh rằng : với mọi a > b và ab = 1. 2) Chứng minh rằng : a + với mọi a, b > 0. b.3) Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng : Ví dụ 1: Chứng minh rằng : (1) với mọi a, b, c > 0. Với bài toán này rõ ràng ta không thể áp dụng BĐT Côsi , do đó GV cần hướng dẫn HS sử dụng theo chiều ngược lại có nghĩa là đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng : Giải Ta có: (1) Û Theo bất đẳng thức Cô si ta có: VT Ê = = 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng : (1) Với mọi a > c > 0 và b > c > 0. Giải Û Theo bất đẳng thức Cô si ta có : VTÊ (đpcm). *Bài tập áp dụng: Cho a, b, c ³ 0 và a + b + c =1. Chứng minh rằng : 16abc Ê a + b. Cho a, b, c ³ 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: abc(a + b)(b + c)(c + a) Ê 30 < 101a + 17b +999c với a, b, c ³ 1. b.4) Kỹ thụât nhân thêm hằng số : Để sử dụng bất đẳng thức Cô si từ trung bình nhân sang trung bình cộng ta cần chú ý : Chỉ số căn là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy nhiêu. Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì phải nhân thêm ( hằng số ) để số các số hạng bằng chỉ số căn. Ví dụ 1: Chứng minh : a với mọi a, b ³ 1 Giải a (1) b (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: a + b Ê + = ab Ví dụ 2: Cho Chứng minh rằng: + + Ê Giải = Cộng vế với vế của BĐT trên ta được: + + Ê *)Bài tập áp dụng : 1/ Cho Tìm maxA = (3 - x) ( 4 - y) ( 2x + 3y) 2/ CMR: Cho Tìm Max B = 3/ Cho a,b,c > 0 CM: ++ Ê b.5.Kỹ Thuật ghép đối xứng: Phép cộng: Phép nhân: Ví dụ1: CMR: Giải áp dụng BĐT Cô si ta có: Cộng vế với vế các BĐT trên ta được: + + ³ a + b + c ( đpcm) Tương tự như cách ghép trên ta có thể vận dụng để giải bài toán như sau: Ví dụ 2: Cho tam giác ABC: CMR: (P - a) ( P - b) ( P - c) Ê abc Giải Ta có: P - a = nên theo BĐT Cô si ta có: Nhân vế với vế các BĐT trên ta được: 0 Ê ( p - a) ( p - b) ( p - c) Ê abc Ví dụ 3: Cho tam giác ABC CMR: ( b + c - a) ( c + a - b) ( a + b - c) Ê abc Giải Theo BĐT Cô si ta có: Nhân vế với vế các BĐT ta được: 0 Ê (b + c - a) ( c + a - b) ( a + b - c) Ê abc *)Bài tập áp dụng: 1/ CMR: abc 0 2/ Cho tam giác ABC. CM: 3/ a3 + b3 + c3 ³ + + a,b,c ³ 0 Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này cần chú ý: Sử dụng các BĐT đã được CM với điều kiện chặt chẽ để có BĐT cần áp dụng. Nếu không sẽ dẫn đến sai lầm, thiếu sót. Ví Dụ: cho a,b 0. CMR: có HS giải như sau: Ta có (1) Û (1) (2) Vì: (2) luôn đúng với " a, b 0. Vậy (1) luôn đúng " a, b 0. ị (đpcm). Bài toán đã sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức với điều kiện a, b không đúng. Lời giải đúng: Đặt x = ị ẵxẵ = ẵ ẵ = ẵẵ+ẵẵ 2 Vì ẵẵ và ẵẵ cùng dấu ị x ³ 2 hoặc x Ê 2. Khi đó : BĐT (1) Û x2 - 3x + 2 ³ 0 Xét bất phương trình: t2 - 3x + 2 ³ 0 Û ( t - 2 )( t - 1 ) ³ 0 Û Từ x ³ 2 hoặc x Ê - 2 ị x nằm trong miền nghiệm của bất phương trình đã xét . Vậy x phải thoã mãn : t2 - 3x + 2 ³ 0 tức là x2 - 3x + 2 ³ 0 đúng. Mà (1) Û x2 - 3x + 2 ³ 0 ị (1) đúng. Vậy ta có . *) Bài tập áp dụng: Chứng minh rằng nếu các số dương a, b, c có tổng a + b + c = 1 thì : Cho ẵxẵ < 1; ẵyẵ < 1 .CMR: CMR: với a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Cho a ³ 1; b ³ 1.CMR: 3.3.Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: a) Cơ sở toán học: * Dạng tổng quát : Cho a1, a2, ... , an ,b1, b2 , ... , bn là hai số thực tuỳ ý, khi đó: * Dạng 1: (a12 + a22 + ... + an2 )( b12 + b22 + ... + bn2 ) ³ (a1b1 + a2b2 +... + anbn _)2 (1) * Dạng 2 : (2) * Dạng 3 : (3) Dấu bằng ở (1) và (2) xảy ra Û . Dấu bằng ở (3) xảy ra Û ³ 0. * Hệ quả 1: Nếu a1x1 + ...+ anxn = C (const) thì: Min (x12 + ...+ xn2) = Dấu bằng xảy ra Û * Hệ quả 2: Nếu x12 + ...+ xn2 = c2 thì Max(a1x1 + ...+ anxn) = Dấu bằng xảy ra Û ³ 0. Min(a1x1 + ...+ anxn) = - Dấu bằng xảy ra Û Ê 0. *Dạng cụ thể : Với n = 2 , a, b, c,d R : (a2 + b2)(c2+ d2) ³ (ac + bd )2 b) Các ví dụ : * Dạng đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca với mọi a, b, c. Giải Ta có: a2 + b2 + c2 = Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 cặp số: ab +bc +ca (đpcm) Ví dụ 2: Cho a + b = 2. Chứng minh a4 + b4 2. Với bài toán này để sử dụng BĐT Bunhiacôpsi thì ta cần sử dụng cho 2 cặp số nào? GV cần hướng dẫn phải biết cách tách và ghép cặp cho hợp lí như sau: Giải Ta có : a4 + b4 = Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki: (a2 + b2)2 = . = (a +b)4 + .24 = 2. Vậy a4 + b4 2 với a + b = 2. Ví dụ 3: Chứng minh rằng : , Giải Với bài toán này học sinh thường hay mắc sai lầm như sau: = Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi: = Sai lầm là do ta đã sử dụng BĐT Côsi cho các số chưa chắc đã lớn hơn hoặc bằng 0, với mọi a, b, c 0. Do đó GV cần chú ý cho học sinh tránh những sai lầm trên. Sau đây là giải đúng: = Theo bất đẳng thức Côsi: (đpcm). Ghi nhớ: . *Bài tập áp dụng : 1) Chứng minh rằng: a) 2(a2 + b2) (a + b)2 b) 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 2) Chứng minh: 3) Cho a(a-1) + b(b-1) +c(c-1) Chứng minh rằng : a + b + c 4. * Dạng đánh giá từ vế nhỏ sang vế lớn : Ví dụ 1: Cho a2 + b2 + c2 = 1 .Chứng minh rằng: a + 3b + 5c Giải Tacó: a + 3b + 5c Vậy a + 3b + 5c . Ví dụ 2: Cho a > bc và b > c > 0. Chứng minh : Giải áp dụng BĐT Bunhiacôpxki, ta có: . Ví dụ 3: Cho x2 + y2 = u2 + v2 = 1. Chứng minh rằng: - (1) Giải (1) Tacó: = Từ đó: - (đpcm). *Bài tập áp dụng: cho a2 + b2 + c2 +d2 = 1.Chứng minh (t2 +at + b)2 + (t2 + ct + d)2 (2t2 + 1)2 . Cho a, b, c > 0 và p =.Chứng minh rằng: Cho a1, a2, ...,an bất kỳ. Chứng minh rằng: (a1 + a2 +...+ an)2 n(a12 + a22 + ...+ an2). 3.4. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức phụ: a) Cơ sở toán học : Đối với phương pháp này HS thương sử dụng các bất đẳng thức phụ như sau: *) Bất đẳng thức phụ: x2 + y2 2 Với bất đẳng thức phụ này HS có thể dễ dàng chứng minh như sau: Ta có: x2 + y2 2 (luôn đúng) * Hệ quả : i) x2 + y2 2xy ii) (x+y)2 4xy Chứng minh : i) Ta có: x2 + y2 2 2xy ii) (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy 4xy *) Bất đẳng thức phụ: x + (với x > 0) Chứng minh: Ta có: x + x2 + 1 2x (x – 1)2 0 (luôn đúng) * Hệ quả: ab > 0 thì ab < 0 thì Chứng minh: +) ab > 0 ta có: a2 + b2 2ab (a – b)2 0 (luôn đúng) +) ab < 0 ta có: a2 + b2 - 2ab (a – b)2 0 (luôn đúng). *) Bất đẳng thức phụ: (x, y > 0) Chứng minh: Ta có: (x + y)2 4xy (x – y)2 0 (luôn đúng) * Hệ quả: Chứng minh: Từ Suy ra: hay . b) Các ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a +b)(b +c)(c + a) 8abc với a, b, c 0. Giải áp dụng bất đẳng thức phụ: (x+y)2 4xy. Tacó: (a+b)2 4ab (b+c)2 4bc (c+a)2 4ca Vì a, b, c 0 nên nhân từng vế của BĐT trên lại với nhau ta được: (a+b)2(b+c)2(c+a)2 64a2b2c2 Suy ra: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a, b, c, d tuỳ ý ta luôn có: a2+ b2+c2 +d2 (a + b)(c + d) Giải áp dụng BĐT phụ: xy Ta có: VP = (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd + + + = a2+ b2+c2 +d2. VP a2+ b2 + c2 + d2 Vậy a2+ b2+c2 +d2 (a + b)(c + d) (đpcm). Ví dụ 3: Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1 Chứng minh rằng: a2+ b2+c2 +d2 + a(b + c) + b(c + d) + d(c + a) 10. Giải Ta có: a2+ b2 2ab c2+ d2 2cd Do abcd = 1 nên cd = Do đó: a2+ b2+c2 +d2 2(ab +cd) = 2(ab + ) 4 (1) Mặt khác: a(a + b) + b(c + d) + d(c + a) = (ab + cd) + (ac +bd) + (bc + ad) = (ab + ) + (ac + ) + (bc + ) 2 + 2 + 2 = 6 (2) Từ (1) và (2) suy ra: a2+ b2+c2 +d2 + a(b + c) + b(c + d) + d(c + a) 10 (đpcm). Ví dụ 4: Cho hai số dương a, b có a + b = 1, chứng minh rằng: Giải áp dụng BĐT phụ: 4ab (a + b)2 ta có: 4ab 1 suy ra 4 (1) ( vì a, b > 0) áp dụng BĐT phụ: ta có: = Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = . *Bài tập áp dụng: Chứng minh rằng: Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng: 3) Cho a, b, c > 0 thoã mãn: . Chứng minh bất đẳng thức: 4) Cho hai số dương a, b có a + b = 1