Đề tài Phát triển năng lực và tư duy cho hoc sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức

Mục lục A.Mở Đầu: 1) Lý do chọn đề tài. 2) Mục đích nghiên cứu 3) Phương pháp nghiên cứu 4) Nhiệm vụ đề tài. 5) Phạm vi đề tài. 6) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành. 7) Dự kiến kết quả của đề tài. B.Nội dung: phần i : áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số i. một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. ii.một số phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức trong đại số. 1) Phương pháp dựa vào định nghĩa. 2) Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. 3) Phương pháp biến đổi tương đương. 4) Phương pháp dùng phương pháp phản chứng. 5) Phương pháp dùng quy nạp toán học. 6) Phương pháp đổi biến. 7) Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết. 8) Phương pháp tam thức bậc hai. iii. một vài ứng dụng của bất đẳng thức. 1) Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số,biểu thức đại số. 2) Tìm điều kiện của tham số để phương trình,hệ phương trình có nghiệm,vô nghiệm. 3) Giải phương trình,hệ phương trình. phần ii: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong hình học. 1) Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học. 2)Một vài dạng toán và phương pháp giải. c. thực nghiệm sư phạm. d. kết luận. e. tài liệu tham khảo. A.Mở Đầu. 1)Lý do chọn đề tài: Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cơ bản củng như ứng dụng và tất cả những ngành công nghiệp then chốt như dầu khí,viễn thông,hàng không,.....đều không thể thiếu toán học và càng gắn bó mật thiết với toán học.Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin thực sự đã dẩn đến hiện tượng bùng nổ các ứng dụng của toán học,đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội. Toán học có vị trí đặc biệt tong việc nâng cao và phát triển dân trí.Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học toán) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic,một phương pháp luận khoa học. Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc,hệ thống bài tập,sử dụng đúng phương pháp dạy học.Góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh.Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng,rèn luyện về phẩm chất đạo đức,các thao tác tư duy để giải các bài tập toán trong đó các bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy,trí tuệ cho học sinh. Tuy nhiên,giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến thức rộng,đặc biệt là đối với học sinh T.H.C.S. Là giáo viên dạy ở T.H.C.S tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là: - Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là xong,ít khai thác,phân tích đề bài,mở rộng bài toán mới. Dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải được. - Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch,phương pháp giải hạn chế,các bài toán bất đẳng thức thường khó, phải áp dụng các kiến thức khó như: Quy nạp toán học,phản chứng...nên học sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó như: Cực trị,hàm số.. Vì vậy: Phát triển năng lực, tư duy cho hoc sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trường phổ thông tôi đã tích luỹ được một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin được trình bầy dưới góc độ nhỏ. 2)Mục đích nghiên cứu. a) Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chuyên môn,phục vụ cho quá trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức b) Đối với học sinh : - Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động,sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức. - Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK,sách tham khảo,giúp học sinh tự giải được một số bài tập. - Giải đáp những thắc mắc,sữa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học. - Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập. - Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức. 3) Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý thuyết thông qua sách giáo khoa,tài liệu của học sinh ở trường. - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm,học hỏi đồng nghiệp. - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp. 4).Nhiệm vụ của đề tài: - Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh T.H.C.S . - Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức,áp dụng để làm bài tập. - Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp. - Chọn lọc,hệ thống một số dạng bài hay gặp cho phù hợp với từng phương pháp giải,cách đổi biến. - Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị,giải một số phương trình dạng đặc biệt. 5). Phạm vi đề tài: Phát triển năng lực,tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9. 6).Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành: - Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập,ôn tập cuối kỳ,cuối năm,kỳ thi học sinh giỏi,tốt nghiệp T.H.C.S và thi tuyển vào cấp 3. - Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản,đưa ra phương pháp giải,bài tập áp dụng,sai lầm hay gặp,bài tập tự giải (Học sinh về nhà làm bài tập). 7)Dự kiến kết quả của đề tài: Khi chưa thực thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được một số bài tập về bất đẳng thức đơn giản,hay mắc những sai lầm,hay gặp khó khăn,ngại làm bài tập về bất đẳng thức. Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn,tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức có dạng tương tự , hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức. B.Nội dung PHần i:áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở trường t.h.c.s i. một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. 1.Định nghĩa: Cho hai số a và b ta nói: a lớn hơn b,kí hiệu: a > b a - b > 0 a nhỏ hơn b, kí hiệu: a < b a - b < 0 2. Các tính chất của bất đẳng thức: 2.1. a > b b < a 2.2. Tính chất bắc cầu: a > b ; b > c a > c 2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức . a > b a + c > b + c 2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b ; c > d a + c > b + d Chú ý: Không được trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều. 2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều,được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. a - c > b - b 2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân: a)Nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số dương. a > b ; c > 0 ac > bc b)Nhân hai vế bất đẳng thức với một số âm và đổi chiều của bất đẳng thức. a > b ; c < 0 ac < bc 2.7 Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm. ac > bd 2.8 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức. a > b > 0 a> b a > b a> b với n =2k (kN) 2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương. Nếu m > n > 0 thì: a > 1 a> b a =1 a= b 0 < a < 1 a< b 2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đối chiếu bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu. a > b > 0 hoặc b < a < 0 < Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thứ không chặt (ab) tức là a > b hoặc a = b. 3. Các hằng bất đẳng thức cần nhớ: 3.1. a 0 ; - a 0 Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0 3.2. 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0 3.3. - a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0 3.4. + . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0 3.5 - . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0 ; Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng. a). a + b 2ab b). ab hay (a+b) 4ab (Bất đẳng thức Cô Si) c). + Với a ; b > 0 d). + 2 với ab > 0 e). (ax + by) (a+ b)(x+ y) ( Bất đẳng thức Bunhia Côpski ). II. một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số 1. Phương pháp dùng định nghĩa: 1.1. Cơ sở toán học: Để chứng minh: A > B ta xét hiệu : A - B > 0 A < B ta xét hiệu : A - B < 0 1.2. Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1 Giải: Xét hiệu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = (x- 5x + 4)(x-5x + 6) + 1 Đặt: (x- 5x +5) = y . Biểu thức trên bằng: (y-1)(y+1) +1 = y-1 + 1 = y0 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) 0 Hay (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) -1 Ví dụ 2: Chứng minh: 2 (x+ y) (x+y) Giải: Xét hiệu hai vế: 2 (x+ y) - (x+y)= 2x+ 2y- x- 2xy - y= x- 2xy + y= (x-y) 0. Vậy: 2 (x+ y) (x+y). Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì: Dấu bằng xảy ra a = b Giải: Xét hiệu: - = = 0 đúng với mọi a , b 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b. 1.3. Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. 2. x+ 4x + 1 > 3x Với x 0 3. x- x > 4. Cho a + b = c + d . Chứng minh rằng : c+ d+ cd 3ab 5. a+ b+ c ab + bc + ca (a , b , c0) 6. Với a b 1 thì : + 2.Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. 2.1. Cơ sở toán học. - Xuất phát từ bất đẳng thức đã biết rồi vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh . - Thường là áp dụng những tính chất cơ bản của bất đẳng thức ( Đã nêu ở phần trên ) 2.2. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho a + b >1. Chứng minh rằng: a+ b> . Giải: Ta có: a + b > 1 > 0 (1) Bình phương hai vế ta được: (a+b)>1 a + 2ab + b>1 (2) Mặt khác: (a-b) 0 a + 2ab + b 0 (3) Cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a+ b) >1 (a+ b) > (4) Bình phương hai vế của (4) ta được: a+ 2ab+ b> (5) Mặt khác: (a- b) 0 a- 2ab+ b 0 (6) Cộng từng vế của (5) và (6) ta được: 2 (a+ b) > Hay: a+ b> Ví dụ 2: Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: + + + + Giải: Xét + Với a + b - c > 0 ; b + c - a > 0 áp dụng bất đẳng thức CôSi với x,y0 . Ta có: + Vì vậy ta được: + = Tương tự ta có: + + Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cả hai vế cho 2 ta được: + + + + Dấu bằng xảy ra khi : a = b = c Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 Thì : + +....+ < Giải: Phân tích,hướng dẫn : Gọi A là vế trái của bất đẳng thức trên. Ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội. Để chứng minh: A< B ta làm trội A thành C (A < C ) Rồi chứng minh rằng: C B ( C đóng vai trò trung gian ) . Ta có với k N : < Do đó: A < Đặt C = Ta lại thấy: Nên: C = Vậy : + +....+ < Với mọi số tự nhiên n 2. Ví dụ 4: Cho x0 , y0 ,z0 . Chứng minh: (x+y)(y+z)(z+x) 8xyz . (1) Giải: Vì hai vế của (1) không âm nên đẻ chứng minh (1) ta sẽ chứng minh: (x+y)(y+z)(z+x) 64xyz Ta có: (x+y) 4xy (y+z) 4yz (z+x) 4zx Hai vế của 3 bất đẳng thức trên đều không âm nên nhân từng vế với nhau ta được: (x+y)(y+z)(z+x) 64xyz (8xyz) (x+y)(y+z)(z+x) 8xyz . ( Vì xyz 0 ; (x+y)(y+z)(z+x) 0 ) Dấu đẳng thức xảy ra x = y = z = 0 2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh các sai lầm sau: 1. a - c > b - d 2. ac > bd (Nhân vế với vế hai bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có không âm hay không) 3. Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế không âm: a > b a > b 4. Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng. > ad > bc 5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế cùng dấu: a > b > 6. Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội trong từng nhóm: Ta xét ví dụ sau: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n 2 thì 1 + + +....+ < n . Giải: Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là A , ta có: A=1+ ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số lớn nhất trong nhóm , ta được: A< 1+. 2.4. Bài tập tự giải. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1/ (a > 0 ; b > 0) 2/ a +b + c + d 4 3/ Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng: a + b 3. Phương pháp biến đổi tương đương. 3.1. Cơ sở toán học. -Để chứng minh bất đẳng thức A B ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất của bất đẳng thức) A B ... C D Và cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C D Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A B -Để dùng phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau: (A ± B)= A± 2AB + B (A + B + C )= A+ B+ C+ 2AB + 2BC + 2AC 3.2. Các ví dụ minh hoạ. Ví dụ1: Chứng minh: x- x + 1 > 0 x Giải: Ta có: x- x + 1 = (x- 2.x. +) + = > 0 x (Điều phải chứng minh) Ví dụ2: Chứng minh rằng: Với a,b,c,d,eẻR thì: a+ b+ c+d+e a(b + c + d + e) (1) Giải: Nhân cả hai vế của bất phương trình (1) với 4 ta được: 4a+ 4b+ 4c+ 4d+4e 4a(b + c + d + e) (a- 4ab +4b)+(a- 4ac +4c)+(a- 4ad + d)+(a- 4ae + e) 0 (a - 2b)+ (a - 2c)+ (a - 2d)+ (a - 2e) 0 (2) Vì (a -2b) 0 a,b ẻR (a -2c) 0 a,c ẻR (a -2d) 0 a,d ẻR (a -2e) 0 a,e ẻR Bất đẳng thức (2) đúng a,b,c,d,eẻR Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Với 4 số bất kì a,b,x,y ta có: (a+b)(x+y) (ax+by) (1) Dấu ²=” xảy ra Giải: Ta có: (1) 0 (ax-by) 0 (2) Ta có bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng Ví dụ 4: Cho các số dương a và b toả mản điều kiện : a +b = 1 Chứng minh rằng: Giải: Ta có: (1) (Vì a , b > 0) . Nên bất phương trình ab + a + b + 1 9ab a + b +1 8ab 2 8ab (Vì a + b = 1) 1 4ab (a + b) 4ab (a - b) 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng , mà các phép biến đổi trên tương đương. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức: Với a > 0 ; b > 0 Giải: Ta có: (1) Nhân cả 2 vế của (1) với 8 ta được: 4.(a+ b) (a + b) 4.(a + b)(a- ab + b) (a + b)(a+ 2ab + b) 4.(a- ab + b) a+ 2ab + b 4a- 4ab + 4b a+ 2ab + b 3a- 6ab + 3b 0 3(a- 2ab + b) 0 3(a - b) 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng và các phép biến đổi đều tương đương nên bất đẳng thức (1) đúng 3.3. Chú ý. - Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giải trên thay các dấu tương đương ²” bằng các dấu kéo theo ²”. Thật vậy , nếu (1)(2) mà bất đẳng thức (2) không đúng thì chưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) đúng hay không. - Khi sử dụng phép biến đổi tương đương,học sinh thường bỏ các biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ . Vì vậy cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện. 3.4. Bài tập tự giải: Bài 1. So sánh 2 số A=3-3 và B=2- 1 Bài 2. Chứng minh rằng với 2 số nguyên dương x,y thoả mản xy1 thì: Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức: Bài 4. Chứng minh rằng với x > 1 ta có: Bài 5. Với a > 0 , b > 0 Chứng minh bất đẳng thức: Bài 6. Chứng minh rằng: a,b,cẻR Ta có: a) a+b ab + ab b) a+b+c ab + bc+ca 4. Phương pháp phản chứng. 4.1 Cơ sở toán học. Gọi mệnh đề cần chứng minh là luận đề: ²AB ”. Phép toán mệnh đề cho ta: ==A=A. Như vậy muốn phủ định một mệnh đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó. Ta thường dùng 5 hìng thức chứng minh phản chứng như sau: a.1. Dùng mệnh đề phản đảo. ị a.2. Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết. a.3. Phủ định luận đề rồi suy ra 2 điều trái nhau. a.4. Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng. a.5. Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của Aị B. 4.2.Ví dụ minh hoạ. Ví dụ1: Cho a2 + b2 Ê 2 . CMR: a + b Ê 2. Giải: Giả sử a + b > 2. Û (a + b)2 > 4 Û a2 + 2ab + b2 > 4 (1) Mặt khác ta có: 2ab Ê a2 + b2 ị a2 + 2ab + b2 Ê 2(a2 + b2) Ê 4 (2) Ta thấy (2) mâu thuẩn với (1). Vậy : a + b Ê 2. Ví dụ 2: Cho a, b, x, y Liên hệ bởi : a + b = 2xy . CMR: ít nhất một trong hai BĐT sau là đúng: x2 ³ a ; y2 ³ b là đúng. Ví dụ 3: Cho 3 số thực a , b , c thoả mản 3 điều kiện sau : CMR : Cả 3 số đều dương. Giải: Vì abc > 0 nên trong 3 số a , b , c có ít nhất một số dương. Giả sử ngược lại cả 3số đều âm ị abc 0 . Mà abc > 0 ị bc > 0.Nếu b 0 ị a + b > - a ị (b + c)2<-a(b+c). ị b2+ 2bc + c2 < - ab - ac Û ab + ac < - b2- 2bc - c2 Û ab + bc +ca < - b2- bc - c2 < 0 ị ab + bc +ca 0 ). Vậy b > 0 , c > 0 ị Cả 3 số đều dương. 4.3. Chú ý: Với những bài toán chứng minh BĐT có dạng như trên ta nên sử dụng phương pháp phản chứng.Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này cần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của BĐT để biến đổi lập luận. 4.4. Bài tập tự giải. 1. Cho a > b > 0 và < 1 . CMR: Không thể có: a < 1 ; b < 1. 2. Cho a , b , c thoả mản: 0 ; b(1 - c) > ; c(1 - a) > . Hãy phát biểu tổng quát . 5.Phương pháp quy nạp toán học. 5.1. Cơ sở toán học. Giải: Với " xẻR ta có: (a1x-b1)2 ³ 0 (a2x-b2)2 ³ 0 ..................... (anx-bn)2 ³ 0 Từ đó suy ra: a12x2-2a1b1x+b12 ³ 0 a22x2-2a2b2x+b22 ³ 0 ............................... an2x2-2anbnx+bn2 ³ 0 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: (a12+a22+...+an2)x2-2(a1b1+a2b2+...+anbn)+(b12+b22+...+bn2)³ 0. Vế trái là một tam thức bậc 2: f(x)=(a12+a22+...+an2)x2-2(a1b1+a2b2+...+anbn)+(b12+b22+...+bn2). (Với a12+a22+...+an2 ạ 0). Mà f(x)³ 0 , "x ẻR nên ta có: D’Ê 0 tức là: D ‘=B ‘2-AC Hay: D ‘= (a1b1+a2b2+...+anbn)2-(a12+a22+...+an2)(b12+b22+...+bn2)Ê 0. Û (a1b1+a2b2+...+anbn)2Ê (a12+a22+...+an2)(b12+b22+...+bn2). (Nếu A=0 thì: a1 = a2 = ... = an =0, Do đó bất đẳng thức cần chứng minh là tầm thường) Dấu ²=” xảy ra khi và chỉ khi : D ‘= 0 Û (a1x-b1)=(a2x-b2)=...=(anx-bn)=0 Û b1=ka1 ; b2=ka2 ; ... ; bn=kan. Với " k ẻ R. Ví dụ 3: Cho các số : a , b , c , d thoả mản: a + d = b + c. Chứng minh rằng: Nếu lấy số m sao cho: 2m > thi với mọi x ẻ R ta luôn có: (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2 ³ 0 (1). Giải: Dựa vào giả thiết cho : a + d = b + c nên ta có: Bất phương trình (1) Û Û [ x2- (a+d)x +ad ][ x2- (b+c)x +bc ] +m2 ³ 0. Vì : a + d = b + c Nên ta đặt : y = x2- (a+d)x = x2- (b+c)x . Bất đẳng thức Û ( y +ad )( y +bc ) +m2 ³ 0 Û Û y2 + (ad + bc)y + abcd +m2 ³ 0. Đặt F(y) = y2 + (ad + bc)y + abcd +m2 . Ta có: D y= (ad + bc)2 - 4.1.(abcd + m2) = (ad - bc)2 - 4m2. Vì : 2m > . Nên : 4m2 ³ (ad - bc)2 Û Û Û F(y) ³ 0. Hay: (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2 ³ 0. (Điều phải chứng minh) . Ví dụ 4: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác , các số x , y , z thay đổi sao cho: ax + by + cz = 0 (1). Chứng minh rằng: : ayz + bxz + cxy Ê 0 . (2) Giải: Từ đẳng thức (1) ị z = - (c > 0). Thay vào (2) ta có: -ay.- bx. +cxy Ê 0 Û - (ax +by)(ay+bx)+c2xy Ê 0 Û Û abx2 + y(a2x+b2x-c2x) +aby2 ³ 0 Û abx2 + y(a2+b2-c2)x +aby2 ³ 0. Đặt: F(x )= abx2 + y(a2+b2-c2)x +aby2 . Ta chứng minh: F(x) ³ 0 Với " y ẻ R. Ta có: Dx= y2(a2+b2-c2)2 - 4a2b2y2 = y2[(a2+b2-c2)2 - 4a2b2]= = y2(a-b-c)(a+b+c)(a+b-c). Vì a , b , c là 3 cạnh của một tam giác và y2 ³ 0 ị ị F(x )³ 0 " y ẻ R. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh (Dấu ²=” xảy ra Û x = y = z). 8.3. Chú ý. Khi sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 cần lưu ý: + Nắm chắc định lý về dấu của tam thức bậc 2. + Thường dùng phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: Hoặc Trong đó: F(x) ; F(y) là tam thức bậc 2 đối với biến x hoặc y. 8.4. Bài tập tự giải. 1/ Chứng minh rằng với mọi a ẻ R ta đều có: 2/ Cho a , b , c thoả mản hệ thức: a2+b2+c2=2 và ab + bc + ca =1 Chứng minh rằng: . 3/ Cho các số x1, x2 , y1, y2 , z1 , z2 thoả mản các điều kiện: y1. y2 >0 (1) ; y1.x1 ³ z12 (2) ; y2.z2 ³ z22 (3). Chứng minh rằng: (y1+y2)(x1+x2)³ (z1+z2)2. 4/ Cho b > c > d. Chứng minh rằng: với mọi a ẻ R ta luôn có: (a+b+c+d)2 >8.(ac+bd) 5/ Cho 6 số a , b , c, d , m , n thoả mản: a2+b2+c2+d2 < m2+n2. Chứng minh rằng: (m2-a2-b2)(n2-c2-d2) Ê (mn-ac-bd)2. iii. một số ứng dụng của bất đẳng thức. a. một số định lý , bất đẳng thức cần dùng. 1. Mệnh đề 1. Nếu tổng các số thực dương x1 , x2 ,..., xn bằng một số cho trước , thì tích của chúng lớn nhất khi: x1 = x2 =...= xn *Định lý 1: Nếu có n số thực dương x1 , x2 ,..., xn có tổng bằng S không đổi thì tích: P=x1 . x2 .... xn có giá trị lớn nhất khi: . Trong đó: mi là các số hữu tỉ dương. 2. Mệnh đề 2. (Đối ngẫu). Nếu tích của các số dương x1 , x2 ,..., xn bằng một số cho trước thì tổng của chúng bé nhất khi : x1 = x2 =...= xn . *Định lý 2: Nếu n số thực dương x1 , x2 ,..., xn có tích P= x1 . x2 .... xn không đổi thì tổng S = x1 + x2 +...+ xn có giá trị bé nhất khi: . Trong đó: mi (i=1,...,n) là các số hữu tỷ dương cho trước. 3. Mệnh đề 3. Cho a1,a2,...,an ẻ R. Ta có: (1). Dấu ²=” xảy ra Û ai cùng dấu ( a1,a2,...,an ³ 0 ). Đặc biệt: b. áp dụng. 1. Tìm cực trị của hàm số. Biểu thức đại số. Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = . Giải: Dễ thấy hàm số xác định " x ẻ R. Ta có : y=. áp dụng bất đẳng thức: , ta được: y ³ ị y ³ 1. Dấu ²=” xảy ra Û (x-1993)(x-1994) ³ 0 Û 1993 Ê x Ê 1994 Do đó: ymin = 1. Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y= Giải: Điều kiện để hàm số xác định là: x ³ 1. Khi đó: y = ị y ³ ờờ = 2. Dấu ²=” xảy ra Û Û 1 Ê x Ê 2. Do đó: ymin = 2. Bài 3. Cho các cặp số x1 , x2 ,..., x1993 Thoả mản: ỗx1ỗ + ỗx2 ỗ+...+ ỗx1993 ỗ = 1994 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = ỗx1-1ỗ + ỗx2 -1ỗ+...+ ỗx1993-1ỗ. Giải: áp dụng bất đẳng thức: ta có: ỗx1-1ỗ ³ ỗx1ỗ-1 ỗx2 -1ỗ³ ỗx2 ỗ-1 ............................. ỗx1993-1ỗ³ ỗx1993ỗ-1 Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: M ³ ỗx1ỗ + ỗx2 ỗ+...+ ỗx1993 ỗ- (1+1+...+1) = 1994-1993 =1. Vậy M nhỏ nhất bằng 1. Bài 4. Cho x , y liên hệ bởi phương trình: x2 + 2xy + 7(x+y) + 2y2 + 10 = 0 (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y +1 Giải: Phương trình (1) Û x2 + 2xy + y2 + 2(x+y) + 1 + 5(x+y) + 5 + 4 = - y2 Û (x+y)2+2(x+y)+12+5(x+y+1)+4= - y2 Û (x+y+1)2+5(x+y+1)+4= - y2 Dựa vào dấu tam thÛ S2 + 5S + 4 = -y2 (Với S = x + y +1, " x , y ẻ R ) . ị S2 + 5S + 4 Ê 0. Đặt F(s)= S2 + 5S + 4 ị F(s) có 2 nghiệm: S = -1 , S =-4. ức bậc 2 mà ị -4 Ê S Ê -1 Vậy giá trị nhỏ nhất của S = x + y + 1 là : -4 Û Giá trị lớn nhất của S = x + y + 1 là : -1 Û 2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình , hệ phương trình ,tam thức bậc 2 thoả mản điều kiện nào đó. Bài 1. Cho phương trình: a2 ờx2-2ờ + ờa2x2-1ờ + 2a2 =1 Tìm giá trị của tham số a để phương trình có đúng 2 nghiệm trên tập hợp số nguyên. Giải: Ta có: a2 ờx2-2ờ + ờa2x2-1ờ + 2a2 = ờa2x2 - 2a2 ờ+ ờ1- a2x2 ờ + 2a2 =A áp dụng bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối ta có: A ³ ờa2x2 - 2a2 +1- a2x2 + 2a2 ờ=1 Dấu ²=” xảy ra Û a2x2 - 2a2 ; 1- a2x2 ; 2a2 cùng dấu. Do đó: Nếu a ạ 0 thì 2 Ê x2 Ê Để phương trình có 2 nghiệm nguyên trên tập hợp số nguyên thì x2 chỉ có thể nhận 1 giá trị duy nhất là số chính phương trong khoảng (2 ; ). Vậy 4 Ê Ê 9 Û . Bài 2. Cho tam thức bậc 2: F(x) = ax2+bx+c . Thoả mản: ỗF(-1)ờÊ 1 ; ỗF(0)ờÊ 1 ; ỗF(1)ờÊ 1 Chứng minh rằng: ỗF(x)ờÊ khi ỗx ờÊ 1 Giải: Ta có: ị Thay vào F(x) ta được: F(x) = []x2 +[]x+F(0)= áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết ta được: ỗF(x)ỗÊ ỗx2+xỗ+ỗx2-xỗ +ỗ1-x2ỗ. Ta xét các trường hợp sau: + Với 0 Ê x Ê 1 thì : ỗx2+xỗ+ỗx2-xỗ +ỗ1-x2ỗ= 1+x+x2 (*) + Với -1 Ê x Ê 0 thì : ỗx2+xỗ+ỗx2-xỗ +ỗ1-x2ỗ= 1- x - x2 (**) Từ (*) và (**) chứng tỏ với: ờx ờÊ 1 ta có: ỗF(x)ỗÊ 1+ ờx ờ+x2 = Vậy : F(x) Ê (Điều phải chứng minh). 3. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình. Ví dụ 1. Giải phương trình sau: Giải: Ta thấy: ị . Dấu ²=” xảy ra Û Û Û Û Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (x=2; y=2). Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: Giải: Từ (1) suy ra: x3 = -1 - 2(y-1)2 Ê -1 ị x3 Ê -1 Û x Ê -1 (*) Từ (2) suy ra: x2(1 + y2) = 2y ị x2 = . Mặt khác ta lại có: ị x2 = ị x2 Ê 1 Û -1 Ê x Ê 1 (**) Từ (*) và (**) ị x = -1. Thay x = -1 vào (2) ta có: y2 - 2y +1 = 0 ị y =1. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x = -1; y = 1). Phần ii. áp dụng giải toán bất đẳng thức trong hình học. i. một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học. 1. Một số ký hiệu được dùng để chỉ các yếu tố của tam giác. 1.1. a , b , c tương ứng là độ dài 3 cạnh BC , AC , AB của DABC. 1.2. a , b , g tương ứng là độ lớn các góc tại 3 đỉnh: A , B , C. 1.3. ma , mb , mc tương ưng là độ dài các đường trung tuyến dựng từ các đỉnh A , B , C. 1.4. ha , hb , hc tương ứng là độ dài các đường cao dựng từ các đỉnh A , B , C. 1.5. la , lb , lc tương ứng là độ dài các đường phân giác dựng từ các đỉnh A , B , C. 1.6. R và r tương ứng là độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của DABC. 1.7. SABC là diện tích DABC. 1.8. ra , rb , rc tương ứng là bán kính các đường tròn bàng tiếp trong góc A , B , C của DABC. 1.9. Kí hiệu góc là: ²é ”. Ví dụ: Góc ABC kí hiệu là: éABC. 2. Một số kiến thức cơ bản cần dùng. 2.1. Với 3 điểm bất kì A , B , C ta có : AB Ê AC + BC. Dấu ²=” xảy ra khi và chỉ khi điểm C nằm giữa 2 điểm A và B. ii. một số cách chứng minh bất đẳng thức hình học. 1. Sử dụng bất đẳng thức tam giác. Bài 1: Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ta có: Giải: Xét DABM có: AM &