Đề tài Một số phương pháp giải phương trình chứa căn

PHẦN THỨ NHẤT - MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên. Dạy học sinh học toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách. Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THPT thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Trong chương trình toán bậc THPT, chuyên đề về phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt 3 năm học của học sinh.Trong những vấn đề về phương trình, phương trình chứa căn lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loại phương trình này. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi đại học và thi học sinh giỏi thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua, ngoài ra nếu nắm vững và có kỹ năng giải thành thạo các dạng phương trình chứa căn thì đó là tiền đề tốt để giải các dạng bất phương trình chứa căn cũng như các dạng phương trình mũ và logarit có chứa căn sau này . Là một giáo viên giảng dạy toán bậc THPT, bản thân tôi lại được nhà trường giao trách nhiệm dạy một số chuyên đề bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán tham dự kì thi cấp tỉnh và luyện thi đại học tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình chứa căn? Và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình chứa căn các em cũng có thể tìm ra cách giải một cách tốt nhất? Với tất cả những lí do nêu trên. Tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình chứa căn ” trong khuôn khổ chương trình bậc THPT . II. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra những phương pháp giải phương trình chứa căn một cách hiệu quả nhất . III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường THPT . Cụ thể là những học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi toán của trường và học sinh ôn thi đại học, cao đẳng . IV. CƠ SỞ NGHIÊN CỨU Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở trường ĐHSP, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn toán bậc trung học phổ thông . V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp khảo sát thực tiễn – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp quan sát – Phương pháp kiểm tra – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm VI. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Đề tài được thực hiện từ ngày 15.10.2010 đến ngày 30.10.2011 VII. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI Đề tài được sử dụng trong việc bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh , và bồi dưỡng học sinh ôn thi ĐH- CĐ, học sinh yêu thích bộ môn toán . PHẦN THỨ HAI - NỘI DUNG ĐỀ TÀI I. Khảo sát tình hình thực tế Năm học 2010 – 2011, tôi được BGH nhà trường phân công dạy một số chuyên đề bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn toán và dạy lớp ôn thi ĐH, CĐ theo chuyên đề. Đây là một cơ hội rất tốt để tôi thực hiện đề tài này. Phương trình vô tỉ là một trong những dạng phương trình khó. Trong quá trình giải toán học sinh còn rất lúng túng, kể cả những học sinh tham gia trong đội tuyển thì những dạng phương trình vô tỉ cũng là một dạng toán mà học sinh hay gặp những vướng mắc khi thực hiện. Mặc dù học sinh đã làm quen và được học cách giải một số dạng phương trình chứa căn ở lớp 10, song do một thời gian trải qua lớp 11 học sinh không được nhắc lại, hơn nữa ở một số dạng phương trình chứa căn nếu biết vận dụng kiến thức đã học ở lớp 11, và đang học ở lớp 12 thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn so với cách giải trước kia ở lớp 10. Hoặc có những bài toán cần phải sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để tìm ra kết quả. Cho nên vừa phải hệ thống hóa lại các phương pháp giải đã biết, vừa giới thiệu thêm cách giải mới và đặc biệt rèn cho học sinh kỹ năng trình bày bài trong khi giải toán. Trước khi bồi dưỡng học sinh giỏi và dạy luyện thi theo chuyên đề, tôi đã thực hiện việc khảo sát môn toán trên 52 học sinh của lớp 12A1. Kết quả thu được như sau: Giỏi: 4 em – 7,7% Khá: 14 em – 27% Trung bình: 19 em – 36,5% Yếu : 15 em – 28,8% Đội tuyển học sinh giỏi môn toán đầu tháng 10 gồm 6 học sinh, qua quá trình bồi dưỡng, chọn lọc trực tiếp. Chúng tôi đã chọn ra được 4 em vào đội tuyển để tiếp tục bồi dưỡng cho các em trong năm học này II. Một số phương pháp giải phương trình chứa căn A . Phương pháp và ví dụ minh họa 1. Phương pháp nâng lên lũy thừa a) Dạng 1: Û Ví dụ. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 b) Dạng 2: Ví dụ. Giải phương trình: (2) Giải. Với điều kiện x ≥ 2. Ta có: (2) Û Û Û Û Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 6 c) Dạng 3: Ví dụ. Giải phương trình: (3) Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có: (3)Û Û Û Û 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 Û 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0 Û 5x2 – 84x + 352 = 0 Û x1 = ; x2 = 8 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = 8 d) Dạng 4: Ví dụ. Giải phương trình: (4) Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có: (4) Û Û Û Û Û 45 + 14x + 14 = 0 Với x ≥ 4 Þ vế trái của phương trình luôn là một số dương Þ phương trình vô nghiệm 2) Phương pháp trị tuyệt đối hóa Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Û Với điều kiện x ≤ 8. Ta có: (1) Û |x – 2| = 8 – x – Nếu x < 2: (1) Þ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm) – Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) Þ x – 2 = 8 – x Û x = 5 Đáp số: x = 5. Ví dụ 2. Giải phương trình (2) Giải: (2) Û Û Đặt y = (y ≥ 0) Þ phương trình đã cho trở thành: (1) – Nếu 0 ≤ y < 1 . Ta có (1) Û y + 1 + 3 – y = 2 – 2y Û y = –1 (loại) – Nếu 1 ≤ y ≤ 3 . Ta có (1) Û y + 1 + 3 – y = 2y – 2 Û y = 3 – Nếu y > 3. Ta có (1) Û y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm) Với y = 3 Û x + 1 = 9 Û x = 8 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8 3) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm Ví dụ 1. Giải phương trình Cách 1. điều kiện x ≥ 1 Với x ≥ 1 thì: Vế trái: Þ vế trái luôn âm Vế phải: ≥ 1 Þ vế phải luôn dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm Cách 2. Với x ≥ 1, ta có: Û Û Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 Þ phương trình vô nghiệm b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế( đánh giá ) Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải: Ta có (1) Û Ta có: Vế trái ≥ . Dấu “=” xảy ra Û x = –1 Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = –1 Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1 Ví dụ2. Giải phương trình : = (*) Giải: ĐK : x Ta có ()2 = 4+2 4 2 (1) Mà -2 2x -1 2 0 ( 2x -1)2 4 ( 2). Từ (1) và (2) ta có phương trình (*) tương đương Vậy tập nghiệm của (*) là S = Ví dụ 3. Giải phương trình : x4 +4x3 +6x2 + 4x + = 2 (1) Giải: TXĐ : R . Ta có (1) Û (x+1)4 + Ta thấy (x+1)4 + , dấu bằng xảy ra khi x =-1 . Vậy phương trình (1) có một nghiệm là x = -1 c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất) Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình – Nếu : VT = . Mà: VP < – Nếu x > 2: VP = 2x2 + > 2.22 + = . VT < Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2 Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải: Thử với x = 2. Ta có: (1) Û Nếu x > 2: VT < VP Nếu x VP Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 3. Giải phương trình: Giải: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x < : và Þ . Tương tự với < x < 2: Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải: (1) Nếu 3x = –(2x + 1) Û x = thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng . Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Với : 3x < –2x – 1 < 0 Þ (3x)2 > (2x + 1)2 Þ Suy ra: Þ (1) không có nghiệm trong khoảng này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) không có nghiệm khi Cách khác: H/S có thể đưa về khảo sát hàm đặc trưng (tương tự như ví dụ 5 sau ) Ví dụ 5 :Giải phương trình : ( 1) Giải TXĐ : R Ta có (1) Xét hàm số f(t) = t + là hàm số đồng biến trên R . Từ f() = f() ta suy ra . Giải phương trình này tìm được x = -, hoặc x =. Ví dụ 6 : Giải phương trình : (1) Giải: ĐK : x 1 *) Ta có với thì VT(1) 0 nên phương trình (1) không có nghiệm trong . **) Với x = 2 thì ( 1) không thỏa mãn vì VT = 0 , VP > 0 ***) Ta xét phương trình (1) với x > 2 : ( 1) = 0 . Đặt f(x) = , x >2 ta có > 0 với mọi x >2 suy ra hàm số f(x) đồng biến trên (2;) . Mặt khác f(3) = 0 . vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3 d) Sử dụng bất đẳng thức : Ví dụ. Giải phương trình Giải: điều kiện Áp dụng bất đẳng thức với ab > 0 Với điều kiện . Nên: . Dấu “=” xảy ra Û Û 4. Phương pháp đưa về phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trình: Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình: Û Þ PT vô nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: | x | ≤ 1: (1) Û Û x1 = 0; x2 = Ví dụ 3. Giải phương trình: (1) Giải. Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1). (1) Û Û x = 2 Ví dụ 4. Giải phương trình : x- 2- (x-1)+ = 0 ( 1) ĐK : x≥ 1 . Ta có (1) Û(- 1)( - 1 - = 0 Û Û Xét (*)Û (x-1)2 +1 + 2= 0 ( phương trình này vô nghiệm ) Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = 2 5) Phương pháp đặt ẩn phụ a) Sử dụng một ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = y (y ≥ 0) Þy2 = x + 1 Û x = y2 – 1 Û x2 = (y2 – 1)2 Þ (2) Û (y2 – 1)2 + y – 1 = 0 Û y(y - 1)(y2 + y - 1) = 0. Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là: Ví dụ 2. Giải phương trình: (1) HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt = y (1) Û Û y3 + y2 – 2 = 0 Û (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 Û y = 1 Û x = 1 b) Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 (3) Giải. Đặt u = , v = (ĐK: x ≥ -1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó: u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1. (3) Û 2(u2 + v2) = 5uv Û (2u - v)(u - 2v) = 0 Giải ra, xác định x. Kết quả là: x Î Ví dụ 4. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) (1) Û Û u – (v2 – u2) – v = 0 Û (u – v)(1 + u + v) = 0. Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v. Giải ra ta được: x = 2 c) Sử dụng ba ẩn phụ Ví dụ 1 Giải phương trình: (1) Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) Û Đặt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0): (1) Û ab + c = b + ac Û (a – 1)(b – c) = 0 Û a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 2. Giải phương trình : Giải. Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0) Þ x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu Từ đó ta có hệ: Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (4) Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến: Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: (8) Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có: Ví dụ 3. Giải phương trình :- += 2 (1) Giải. Đặt y = , z = - , t = Ta có phương trình y + z + t = 2 . Mà y3 +z3 +t3 = 8 , ( y+z+t)3 = 8 Mặt khác Ta có ( y+z+t)3 – (y3 +z3 +t3) = 3(y+z)(z+t)(t+y ) suy ra (y+z)(z+t)(t+y ) = 0 hay y +z = 0 , z+t = 0 , t+y = 0 . Trở lại cách đặt ta có : - =0 += 0 - = 0 trên ta tìm được nghiệm của phương trình (1) là x d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình Ví dụ 1. Giải phương trình: (1) Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) Þ (1) Û Ví dụ 2 : Giải phương trình : 7x2+7x = , với x>0 Giải. Đặt = t + , khi x> 0 thì > nên t > 0 Ta có hệ phương trình : Û Nghiệm phương trình (1) là x = Ví dụ 3. Giải phương trình : 8x3 + 53x = 36x2 + =25 (1) Giải. Ta có (1) Û ( 2x -3)3 = (2) Đặt , ta có hệ phương trình Trừ từng vế các phương trình trong hệ và biến đổi ta được : ( x-y)= 0 Û x = y Thay x= y vào (3) giải phương trình tìm được x = 2 , x = . e) Sử dụng ẩn phụ đưa về phương trình có chứa ẩn phụ và ẩn chính là tham số Ví dụ 1. Giải phương trình : (4x-1) = 2x2 +2x+1 Giải. Đặt t = , đk t ≥ 1 , ta có phương trình bậc hai ẩn t sau : 2t2 – (4x-1)t + 2x – 1 = 0 , giải pt này tìm được t = , hoặc t = 2x -1 Với t = < 1 ( loại ) Với t = 2x -1 . Giải phương trình = 2x -1 được nghiệm x = . Ví dụ 2. Giải phương trình : 2(1-x) = x2 – 2x – 1 ( 1) Giải. Đặt t = , t ≥ 0 , có t2 = x2 + 2x – 1 , thay trở lại (1) ta có phương trình ẩn t sau : t2 – 2(1-x)t – 4x = 0 (*) Giải phương trình (*) ta được t = 2 hoặc t = -2x Thay trở lại cách đặt tìm được x = -1 6. Phương pháp lượng giác : Ví dụ. Giải phương trình : Giải. ĐK : . Đặt x = cost có phương trình dạng : cos3t = sint ( *) , với t . Giải phương trình (*) ta được , , . Thay trở lại cách đặt ta có x = - , x = , x = - . 7. Phương pháp véc tơ : Ví dụ 1. Giải phương trình : ( 1) Giải. Đặt =( 1-x; 2) , =( 1+x; 3 ) Ta có = , = , = ( 2;5) , . Ta có (1) có dạng + = ( **) Mặt khác (**) chỉ xảy ra khi và cùng hướng hay > 0 , từ đó suy ra x = . Vậy (1) có nghiệm là x = . Ví dụ 1. Giải phương trình : = 9+x2 (1) Giải. TXĐ : D = Đặt =(1;1) , = , ta có = , = 3= 3x , vì x D . .= 6x , .= . Vậy (1) 9+x2 = . Mặt khác .. (2) , nên 9+x2 6x hay x = 3 (3) Dấu bằng xảy ra trong (2) khi và cùng hướng hay . Giải phương trình này tìm được x = 3 thuộc D ( 4) Từ (3) và (4) ta có x = 3 là nghiệm của (1) B. Một số bài tập vân dụng Bài 1. Giải phương trình : (1) Giải : ĐK x ≥ 4 ta có (1) Û Û Û( x-5) = 0 Û x= 5 hoặc = 0 Do vậy phương trình (1) có nghiệm x = 5 Nhận xét : Trong bài toán trên học sinh chỉ cần khéo léo thêm, bớt vào hai vế và sử dụng biểu thức liên hợp sẽ đưa về dạng phương trình tích . Ở đây cần nhận xét được x=5 thỏa mãn phương trình (1) từ đó mới có thể tìm ra lượng thêm bớt ở hai vế . Bài 2. Giải phương trình : = 2+ (1) Giải : ĐK -1x 1 . Đặt u = , v = với u,v 0 . Hệ trở thành : (I) Ta có 1+uv = Và , như vậy hệ (I) có dạng : Nghiệm của (1) là x = . Bài 3. Giải phương trình: ( 3x +1) = 5x2 +x – 3 (1) Giải : ĐK : . Đặt t = ; t 0 phương trình (1) ẩn t có dạng : 4t2 – 2(3x+1)t + 2x2 + 3x – 2 = 0 . (2) Giải (2) ta được t = hoặc t = Thay trở lại cách đặt ta có phương trình : Nghiệm của (1) thỏa ycbt là . Nhận xét : Đây là dạng phương trình đặt ẩn phụ và đưa về dạng phương trình chứa ẩn phụ , còn ẩn chính đóng vai trò tham số , học sinh cần khéo léo khi thay thế t2 = 2x2 – 1 vào vị trí 4x2 tách ra từ 5x2 = 4x2 +x2 , có như vậy việc tìm t theo x không gặp khó khăn . Bài 4. Giải phương trình : =7x (1) , với x≥ 0 . Giải . TXĐ : R – Với x = 0 không thỏa (1) -Với x >0. Ta có (1) Û = 7 (2) Đặt t = , phương trình (2) có dạng = 7 ( 3) (3) Û Với t = 5 , giải phương trình tìm được x= 1, x=2 thỏa điều kiện . Bài 5. Giải phương trình :2x +1 +x +(x+1) = 0 (*) Giải : TXĐ : R . Đặt u = , v = , ta có u, v > 0 . Khi đó : Ta có (*) có dạng : (v2 – u2) + Û (v –u) Û u = v , vì vô nghiệm với u >0 , v >0 . Khi u=v thay trở lại cách đặt ta có : = . Giải phương trình này ta được : x = - . Bài 6. Giải phương trình : 2x2 – 11x +21 – 3 = 0 (1) Giải . TXĐ : R . Ta có (1) Û 2x(x-3) – 5(x-3) = 3(- 2) Û ( 2 ) *) Với x = 3 Thỏa (2) **) Với x 3.Ta xét phương trình : 2x – 5 = ( 3) - Nếu x >3 VT(3) >1 , còn VP(3) < 1 nên (3) vô nghiệm -Nếu 1 nên (2) vô nghiệm -Nếu x thì ( 3) hiển nhiên vô nghiệm . Vậy phương trình (1) có nghiệm x= 3 Bài7. Giải phương trình :2(x2 +2x + 3) = 5. ( Đề thi H/S giỏi tỉnh Hưng yên năm 2009-2010) Giải : Nhận xét x3 +3x2+3x+2 = ( x+2)(x2 + x + 1) . ĐK : x ≥ - 2 x2 + 2x + 3 = ( x+2) +(x2 + x+ 1) Đặt u = , v = , với u 0, v0 . Ta có phương trình dạng : 2(u2 +v2) = 5uv hay 2u = v hoặc 2v = u Với 2u = v ta có 2 = Û x = Với 2v = u ta có 2= ( phương trình này vô nghiệm ) Vậy nghiệm phương trình đã cho là x = Bài 8 .Giải phương trình : (1) Giải: Ta có (1) Û ( 2) . ĐK : x (2) Û x ( 3) Áp dung bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki cho hai bộ : ( x;1) và () ta được : (4) . Từ (3) và (4) ta có dấu bằng , vì thế ta có : Û 2x3 – x2 – 3x – 1 = 0 Û x= - và x = . So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình (1) là x = . Bài 9 . Giải phương trình : ( 1) Giải : ĐK x ≥ 0 - Với x = 1 là nghiệm của phương trình (1) - Ta có : (1) Û = x + 80 ( 2) Đặt f(x) = Ta có f(x) là hàm số đồng biến trên (0;+) . Mặt khác f(1) = 80 Nếu x > 1 thì Nếu 0 x < 1 thì Vậy mọi x ≥ 0 và x 1 không là nghiệm của phương trình (2) . Hay phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 1 . Bài 10. Giải phương trình: ( 1) Giải. TXĐ :R Ta có (1) Û ( 2) Nếu x thì ta có VT (2) > 0 , VP (2) 0 nên phương trình (2) vô nghiệm Nếu x > xét hàm số f(x) = . Ta có f/(x) = 3 + x. > 0 với mọi x > . Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng . Mà f(1) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1 .Vậy tập nghiệm phương trình (1) là S = . Bài 11. Giải phương trình : ( 1) . Giải : ĐK x . Đặt f(x) = ta có f/(x) = 5x4+3x2+> 0 Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên . Mặt khác f( -1) = 0 . Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = - 1 Bài 12. ( Khối B – 2010) . Giải phương trình : (1) . Giải . ĐK : . Ta có (1) Û () +(1-) +3x2 – 14x – 5 = 0 Û Û x = 5 hoặc = 0 Do > 0 với . Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x = 5 . Bài 13. Giải phương trình : (1) Giải : TXĐ: D = -Với x = 0 phương trình luôn nghiệm đúng - Với x 1 ta có ( 1) ÛÛ 2= 2x -1 Û x= ( tmđk) Với x - 2 thì (1) ÛÛ2= -2x +1 Û x= ( L) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = . C. Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau : 1) x2 += 3x +7 2) 3) . 4) 5) 6) x2+3x+1= (x+3) 7) 8) x+= 2+3x 9) 11) 12) III. Kết quả đạt được : Qua việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán, tôi đã áp dụng các nội dung đề tài vào việc bồi dưỡng cho các em học sinh ôn thi ĐH-CĐ và học sinh tham gia thi học sinh giỏi cấp tỉnh . Kết quả đạt được như sau: -Kết quả khảo sát học sinh lớp 12A1 : ( sĩ số 52 học sinh ) Giỏi: 14 em – 27% Khá: 27 em – 52% Trung bình: 9 em - 17,3% Yếu : 2 em – 3,7% - Học sinh giỏi cấp tỉnh: Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh: 3em Số học sinh đạt giải: 2em ( một giải ba, một giải khuyến khích ) VI. Bài học kinh nghiệm Qua việc thực hiện chuyên đề giải phương trình chứa căn trong chương trình của cấp THPT và việc bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn toán. Bản thân tôi đã rút ra được một số bài học kinh nghiệm như sau: 1. Về phía học sinh Để gặt hái được những thành tích cao trong công tác mũi nhọn. Học sinh là nhân vật trung tâm trong việc bồi dưỡng đào tạo, đây là nhân tố giữ vai trò quyết định trong sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy, bồi dưỡng. Vì chính các em mới là người học, là người đi thi và là người đem lại những thành tích đó. Tuy nhiên, để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải có một sự nỗ lực rất lớn. Một sự quyết tâm học tập trên 100% khả năng của bản thân mình. Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và những giáo viên tham gia làm công tác bồi dưỡng là rất lớn. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 12 chuẩn bị bước vào các kỳ thi quyết định cuộc đời sau này của các em. Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo viên làm công tác bồi dưỡng cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có một sự đam mê trong công việc học tập của mình. Đặc biệt là với những học sinh tham gia học tập bộ môn toán, đây là một môn học khó, có rất ít học sinh lựa chọn tham gia thi học sinh giỏi môn này. Cũng chính vì lí do này, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán càng trở nên khó khăn hơn rất nhiều 2. Về phía giáo viên tham gia trực tiếp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Nếu học sinh giữ vai trò trung tâm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thì vị trí của người thầy lại giữ vai trò chủ đạo. Để thực hiện thành công việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt với môn toán thì khó khăn hơn rất nhiều so với các môn học khác. Chính vì vậy, những giáo viên tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán cần phải có thời gian bồi dưỡng nhiều hơn, phải đầu tư thời gian, công sức, nhiều hơn so với những giáo viên tham gia bồi dưỡng những môn học khác. Vấn đề là thời gian, vì học sinh không phải là những cái máy, chúng ta không thể cùng một lúc nhồi nhét vào đầu các em mọi vấn đề mà chúng ta cho rằng các em nên học. Mà việc tiếp thu, học tập của các em là cả một quá trình bền bỉ, lâu dài thì mới mong đạt được hiệu quả. Dần dần giáo viên phải tạo cho học sinh niềm say mê yêu thích bộ môn toán có như vậy học sinh mới không nản chí. Để thực hiện được điều đó về phía giáo viên cần: Một là, kiến thức của người thầy, giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn toán trong bậc học của mình, phải là người giải toán thường xuyên, cập nhật thường xuyên những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả. Nói tóm lại là kiến thức của thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là người giỏi toán Hai là, cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực. Cập nhật thường xuyên những kiến thức mới mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt là phải kích thích được các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em để công việc học tập của các em đạt được hiệu quả cao. PHẦN THỨ BA -KẾT LUẬN Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong khuôn khổ chương trình cấp THPT, mà cụ thể là những phương pháp giải phương trình chứa căn. Đề tài này đã được áp dụng trong năm học 2010-2011 và đang phát triển và nhân rộng trong năm học 2011-2012. Ngoài những phương pháp mà tôi chắt lọc nêu trên, chắc chắn còn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân tôi, do năng lực còn hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của tôi không thể không còn những sơ suất. Chính vì vậy, tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn. Người thực hiện Đặng Thị Ngạn Nhận xét, đánh giá đề tài của Hội đồng giám khảo ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------