Đề tài Một số phương pháp chứng minh chia hết

Mục lục a. phần mở đầu 1. Lý do chọn đề 2 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3 4. Giả thuyết khoa học 3 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 6. Giới hạn của đề tài 3 7. Những luận điểm bảo vệ 3 8. Những đóng góp mới cũng như ý nghĩa lý luận thực tiễn của đề tài. 3 9. Cơ sở phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu 4 B. Nội dung 5 II.Phép chia hết 6 Vấn đề 1: Phương pháp chứng minh chia hết 6 Vấn đề 2: Dấu hiệu chia hết 9 Vấn đề 3: Các bài tập khác về chia hết 10 III. Các bài tập về phép chia hết 12 c. Kết luận chung 13 Tài liệu tham khảo 15 a. phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài: Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc sống xã hội loài người. Nó có lý luận thực tiễn lớn lao và quan trọng và Số học là một bộ môn đặc biệt quan trọng của toán học. Nếu đi sâu nghiên cứu về môn số học hẳn mỗi chúng ta sẽ được chứng kiến nhiều điều lý thú của nó mang lại . “Một số phương pháp chứng minh chia hết” là một đề tài hay của số học, nó đã thực sự lôi cuốn nhiều người yêu toán học. Ngày nay xã hội đang rất cần những mẫu người thông minh, trí tuệ, sáng tạo. Học toán sẽ giúp chúng ta phát huy cao độ những đức tính ấy. “ Một số phương pháp chứng minh chia hết ”mà tôi sẽ đề cập dưới đây chỉ là một khía cạnh trong vô vàn những khía cạnh khác của bộ môn số học nói riêng và toán học nói chung. Trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên thường gặp những bài toán về phép chia hết. Dạng toán này rất phong phú và đa dạng, có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc THCS, phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này. Với ý nghĩa như vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm được các phương pháp giải các bài toán về phép chia hết là vấn đề quan trọng. Qua thực tế giảng dạy, tìm tòi, học hỏi, bản thân đã rút ra được một số phương pháp để giải các bài toán về phép chia hết nhằm giúp thêm tài liệu cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán, nâng cao chất lượng giảng dạy. 2. Mục đích nghiên cứu * Đối với GV - Nâng cao trình độ chuyên môn, phục vụ cho quá trình giảng dạy. - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học để ngày càng phục vụ cho việc giảng dạy hiệu quả hơn. * Đối với HS - Giúp HS hệ thống một số phương pháp giải bài toán về phép chia hết. - Nâng cao chất lượng giáo dục, rèn luyện tư duy, óc sáng tạo của học sinh trung học cơ sở. 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu * Khách thể: - Học sinh khá, giỏi toánTrường THCS Thiệu Trung. * Đối tượng nghiên cứu: “ Một số phương pháp chứng minh chia hết ” 4. Giả thuyết khoa học Việc hệ thống một số phương pháp chứng minh chia hết và ví dụ minh hoạ sẽ giúp cho học sinh rèn luyện được kỹ năng tính toán, phát triển được tư duy thuật giải, vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Đặc biệt trong đề tài đã nêu ra một số dấu hiệu chia hết, một số dạng toán khác từ đó kết quả sẽ được nâng lên một cách rõ rệt, nhất là việc đưa vào dạy cho học sinh khá, giỏi, trường chuyên, lớp chọn. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu: Đề tài trình bày một số phương pháp chứng minh chia hết của bậc THCS. Mỗi phương pháp được trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết và ví dụ minh hoạ. 6. Giới hạn đề tài Đề tài này chỉ đề cập tới một số phương pháp chứng minh chia hết, đối tượng mà đề tài nhằm tới là học sinh khá, giỏi toán THCS. 7. Những luận điểm bảo vệ Đề tài gồm 3 phần: - Một số phương pháp chứng minh chia hết - Dấu hiệu chia hết - Các bài tập khác về chia hết 8. Cơ sở Phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu: - Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng, tham khảo tài liệu và báo toán học tuổi tuổi thơ. - Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của học sinh ở trường . - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp, các thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. 9. Những đóng góp mới cũng như ý nghĩa lý luận thực tiễn của đề tài Phép chia hết là một dạng toán khó đối với học sinh THCS. Việc đưa ra một số phương pháp chứng minh chia hết kèm theo ví dụ, giúp học dễ dàng nắm đựơc một cách khá chắc chắn mức độ kiến thức và kỹ năng, đồng thời nêu ra một số dấu hiệu chia hết, các dạng toán khác giúp học sinh phát huy tính tư duy, sáng tạo. b. phần nội dung I. Cơ sở lý luận và thực tiễn: Trên cơ sở thực tế dạy và học, daùng toaựn “Chia heỏt” đã ủửụùc ủeà caọp trong saựch giaựo khoa ngay tửứ ủaàu lụựp 6 ủeỏn lụựp 9, vaứ moói khối lụựp coự yeõu caàu về mặt kiến thức khaực nhau, mức độ khác nhau mà kieỏn thửực ủoứi hoỷi coự sửù keỏ thửứa, caựi naứy laứ cụ sụỷ cuỷa caựi kia, chuựng boồ trụù cho nhau neõn laứm cho ngửụứi hoùc vaứ ngửụứi daùy raỏt vaỏt vaỷ nhaỏt laứ caực em hoùc sinh khoỏi 8 vaứ khoỏi 9. Thoõng thửụứng khi daùy daùng toaựn naứy giaựo vieõn laùi phaỷi nhaộc laùi caực kieỏn thửực cụ baỷn hoùc ụỷ lụựp dửụựi laứm maỏt raỏt nhieàu thụứi gian cho tieỏt daùy. Kyừ naờng bieỏn ủoồi ủeồ laứm xuaỏt hieọn caực yeỏu toỏ chia heỏt trong bieồu thửực soỏ hay bieồu thửực ủaùi soỏ cuỷa caực em coứn chửa linh hoaùt, coự nhửừng baứi toaựn raỏt ủụn giaỷn maứ caực em bieỏn ủoồi chửựng minh raỏt daứi doứng vaứ phửực taùp, thửùc chaỏt neỏu caực em naộm chaộc caực phửụng phaựp giaỷi daùng toaựn chia heỏt thỡ chửựng minh raỏt ủụn giaỷn. * Về phía giáo viên: Có thể khẳng đinh rằng đây là một trong những dạng bài tương đối khó đối với giáo viên. Đó là, trước hết là khó khăn về kiến thức, về phương pháp... Vậy nguyên nhân do đâu ? - Các tài liệu để giáo viên tham khảo rất hiếm nên giáo viên cũng ít có cơ hội để bổ sung kiến thức, phương pháp. - Do giáo viên chưa tìm được một phương pháp tối ưu cho từng dạng bài, chưa đầu tư nhiều để suy nghĩ để đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn cho học sinh trong các tiết học. *Về phía học sinh: Với giáo viên việc dạy bài bài toán chia hết là khó thì với học sinh kiểu bài này càng khó hơn. - Việc học tập các phương pháp tổng quát và đặc biệt là để giải các bài toán; việc hình thành khả năng, kỹ xảo vận dụng toán học của HS chưa hệ thống. - Học sinh trong khi nghiên cứu toán học, các em có những kiến thức, nội dung tài liệu học tập, các em hiểu các định lý và quy tắc nhưng không hiểu các phương pháp chung để giải các bài toán. Những chỉ dẫn của giáo viên thông thường học sinh không ghi nhớ và hệ thống hoá được. Vì thế tất cả những chỉ dẫn đó chỉ trông vào trí nhớ của học sinh nhưng học sinh lại nhanh quên. Và nguyên nhân của những nguyên nhân: “Tôi nghĩ rằng, nếu việc học toán thuộc về trí tuệ của loài người thì công bằng phải quý điều đó về khuyết điểm của nghệ thuật và phương pháp giảng dạy”. (NI. Lôbasepki) II. Phép chia hết * Tóm tắt lý thuyết 1. Định lý về phép chia hết: a) Định lý Cho a, b là các số nguyên tuỳ ý, , khi đó có 2 số nguyên q, r duy nhất sao cho : với , a là só bị chia, b là số chia, q là thương số và r là số dư. Đặc biệt với r = 0 thì a = b.q Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là ước của a, ký hiệu . có số nguyên q sao cho a = b.q Vậy b) Tính chất a) Nếu và thì b) Nếu và thì a = b c) Nếu , và (b,c) = 1 thì d) Nếu và (c,b) = 1 thì 2. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích. - Nếu - Nếu - Nếu .b - Nếu a m (n là số tự nhiên) 3. Đồng dư thức a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > 0. Nếu 2 số nguyên a, b cho cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m . Kí hiệu : b) Tính chất a) b) c) d) Phương pháp chứng minh chia hết Vấn đề 1: Phương pháp 1: Dùng tính chất Trong n ( số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n. Ví dụ 1: a) Tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120. b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì Giải a) Ta có 120 = Trong 5 số nguyên liên tiếp phải có 2 số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho 8. Mặt khác trong 5 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 5 nên tích chia hết cho 3. 5 mà (3,5,8) = 1 . Vậy tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120. b) Ta có : Vì n-1, n, n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tích ( n-1) n (n+1) Phương pháp 2: Dùng công thức khai triển nếu n lẻ nếu n chẵn Ví dụ 2 a) Với n chẵn, chứng minh rằng b) Chứng minh rằng : Giải: a) Ta có 323 = 17 . 19 và (1) Vì và do n chẵn. Mặt khác : (2) Vì do n chẵn. Từ (1) và (2) suy ra b) Ta có : 2222;5555 Vì Phương pháp 3: Dùng định lý về phép chia có dư Để chứng minh ta xét về mọi trường hợp về số dư. Khi chia n cho p có thể dư là 0; 1; 2; ...; p - 1 hoặc là nếu p lẻ. Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu thì Giải: Vì nên n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 1) Nếu n = 3k + 1 thì Vì 2) Nếu n = 3k + 2 thì Vậy thì Phương pháp 4: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet Nếu đem n + 1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít nhất một ngăn kéo chứa từ 2 vật trở lên. Ví dụ 4: Chứng minh rằng a) có thể tìm được một số có dạng 19911991...19910...0 và chia hết cho 1992. b) Trong 8 số tự nhiên mỗi số có 3 chữ số, bao giờ cũng chọn được 2 số mà khi viết liền nhau ta được một số có 6 chữ số và chia hết cho 7. Giải: a) Lấy 1992 số 1991; 19911991 ;...; chia cho 1992. Vì đây là dãy các số lẻ nên không có số nào chia hết cho 1992, do đó dư trong phép chia các số này cho 1992 chỉ thể là 1; 2; ...; 1991. Vậy phải có 2 số có cùng dư khi chia cho 1992, hiệu 2 số đó có dạng 19911991...19910...0 và chia hết cho 1992. b) Lấy 8 số đã cho chia cho 7 thì có 2 số có cùng số dư, giả sử là và chia cho 7 có số dư là r. Khi đó : = = (đpcm) Phương pháp 5: Dùng quy nạp toán học Ta cần chứng minh (1) với n = 1; 2; ... 1) Ta chứng minh (1) đúng với n = 1, nghĩa là 2) Giả sử (1) đúng với n = k , nghĩa là ta có 3) Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1 , nghĩa là phải chứng minh Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi : Giải: Với n = 1 ta có: Giả sử với n = k, ta có: ( 1) với m Với n = k + 1 ta có: (2) Từ (1) suy ra: , thay vào (2) ta có: Vậy : Phương pháp 6: Dùng định lý Fermat Với P là số nguyên tố ta có: Đặc biệt nếu (a,p) =1 thì Ví dụ 6: Chứng minh rằng Giải: Theo định lý Fermat : Do đó : Dấu hiệu chia hết Vấn đề 2: *Dấu hiệu chia hết cho 6: Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó đồng thời chia hết cho 2 và cho 3. 1) Các dấu hiệu chia hết đơn giản a. Chia hết cho 2, 5, 4, 25 và 8; 125. ( hoặc 25) ( hoặc 25) ( hoặc 125) ( hoặc 125) b) Chia hết cho 3; 9. (hoặc 9) ( hoặc 9) Nhận xét: Dư trong phép chia N cho 3 ( hoặc 9) cũng chính là dư trong phép chia tổng các chữ số của N cho 3 ( hoặc 9). Ví dụ 7: Tìm các chữ số x, y để: a) b) Giải: a) Để ta phải có chia hết cho 9 và 5 y = 0 hoặc y = 5 Với y = 0 thì từ ta phải có 1+3+5+x+4 khi đó ta có số 13554 với x = 5 thì từ : ta phải có 1+3+5+x+4 +5 lúc đóta có 2 số: 135045; 135945. b) Ta có Vì nên bằng 72 hoặc 144. + Với =72 thì =08, ta có số: 123408. + Với =14 thì =80, ta có số 123480 2. Một số dấu hiệu chia hết khác a) Dấu hiệu chia hết cho 11: Cho Ví dụ 8 Tìm các chữ số x, y để Giải: Ta có: 1375 = 11.125. Vậy số cần tìm là 713625 b) Dấu hiệu chia hết cho 101 Ví dụ 9 a) Hỏi số có chia hết cho 101 không? b) Tìm n để Giải: a) Ghép 2 chữ số liên tiếp nhau thì A1991 có 2 cặp số là 91;19 Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991. 72 101 nên b) c) Dấu hiệu chia hết cho7;13 Các bài tập khác về chia hết Vấn đề 3 1) Chứng minh không chia hết - Nếu và thì - Nếu và thì - Nếu thì hoặc với p là số ngyuên tố. - Số chính phương( là bình phương của số tự nhiên ) chia hết cho số nguyên tố p thì sẽ chia hết cho p2. Vậy nếu nhưng thì n là số chính phương. Ví dụ 11 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n : a) b) Giải: a)Với n = 3k thì do đó Với n = 3k + 1 thì Với n = 3k+2 thì do đó Vậy vớ mọi n. 2) Tìm số tự nhiên n để a(n) Phương pháp: Giả sử có A(n), ta biến đổi hoặc dùng phép chia đa thức đẻ đi đến hằng số m , từ đó suy ra n. Kiểm nghiệm các giá trị tìm được n. Ví dụ 12: a) Tìm n > 0 sao cho chia hết cho n +1 b) Tìm n > 0 và sao cho 3n - 8 Giải: a) Giả sử Thử lại với n = 2 ta có : 2 = 2. Vậy , n > 0 b) Giả sử Vậy 3n - 8 với n > 0; 3) Bài tập về số chính phương Phương pháp 1: Dùng tính chẵn lẻ Ví dụ 13 Chứng minh rằng số chính phương có chứa chữ số lẻ ở hàng chục thì chữ số hàng đơn vị luôn bằng 6. Giải: Giả sử số chính phương có dạng Chữ số hàng chục của 20n(5n + b) là chẵn nên theo giả thiết chữ số hàng chục của b2 phải lẻ, từ đó suy ra b = 6; 4. Khi đó b2 = 36; 16 nên chữ số hàng đơn vị của luôn bằng 6. Phương pháp 2: Sử dụng chia hết và chia có dư Ví dụ 14: Tìm số chính phương biết Giải: Giả sử = ( n - 10 )( n +10) Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy ra n = 91. Thử lại : = 912= 8281 có 82 - 81 = 1 Phương pháp 3 Sử dụng tính chất a) Nếu a là số chính phương và ( a, b) = 1 thì a và b đều là số chính phương b) Nếu có số nguyên m sao cho thì n không thể là số chính phương. Ví dụ 15 Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương. Giải: Ta có A = n(n+1)(n+2)(n+3) = Vậy A không thể là số chính phương. III) Các bài tập về chia hết 1.Chứng minh rằng: a) b) 2. Tìm số tự nhiên n để 3. Với 4 số nguyên a,b,c, d . Chứng minh rằng: (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) 4. Chứng minh rằng với mọi n : a) b) 5. Chứng minh 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n : a) b) 7. Với giá trị nào của n thì (n+5)(n+6)6n. Với 8. Tìm số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4 là một số chính phương. 9.Cho n là số tự nhiên , d là ước nguyên dương của 2n2 chứng minh rằng n2+d không chính phương. c. Kết luận chung A. Kết quả thực hiện: Sau khi thời gian thực hiện chuyên đề này với phương pháp đã trình bày ở trên tôi đã thu được kết quả: - Với học sinh trung bình đã có thể làm được những bài tập điển hình đơn giản, có những em đã có hướng giải quyết khi gặp các bài toán về phép chia hết ở dạng khó hơn, các em không còn lo sợ trước một bài tập về phép chia hết. - Với các học sinh khá, giỏi có em có thói quen tư duy lâu hơn, tìm ra hướng để giải bài tập, có kỹ năng đơn giản hoá các vấn đề phức tạp, có những học sinh đã tìm các bài tập để làm và yêu cầu giáo viên ra những bài tập khó hơn. Tôi đã áp dụng một số phương pháp và dạng toán phù hợp với chương trình lớp 6 và thực hiện bồi dưỡng ở lớp 6A, lớp 6B không được luyện tập chuyên đề này và kết quả đạt được như sau: Lớp BD Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém Đạt SL % SL % SL % SL % SL % % 6A 30 4 13,3 10 33,4 15 50 1 3,3 0 0 96,7% 6B 34 0 0 1 2,9 5 14,7 18 52,9 10 29,4 17,7% B. Những kinh nghiệm rút ra: Trong quá trình thực hiện chuyên đề này, tôi nhận thấy để làm tốt chuyên đề này yêu cầu giáo viên và học sinh phải tiến hành theo những bước sau: 1. Đối với giáo viên: - Nghiên cứu kỹ SGK và tài liệu tham khảo. - Giúp học sinh suy nghĩ tìm ra hướng để giải quyết các dạng bài tập về phép chia hết là chủ yếu. - Trong quá trình làm bài tập bao giờ cũng luyện cho học sinh làm thành thạo các dạng bài tập cơ bản sau đó nâng dần bài toán lên giúp các em tư duy cao hơn. - Trước khi chữa bài tập giáo viên phải nghiên cứu thật kỹ để tìm ra cách giải quyết ngắn gọn, dễ hiểu để học sinh dễ tiếp thu. 2. Đối với học sinh: - Học chắc kiến thức cơ bản trước khi làm bài tập. - Rèn thói quen không phụ thuộc vào sách vở. - Với mỗi bài toán phải rút ra nhận xét cho bản thân. C. Kết luận chung: Trong đề tài sáng kiến này tôi đã nêu được một số phương pháp về phép chia hết, mỗi phương pháp có ví dụ minh hoạ do tôi tuyển chọn ở một số tài liệu tham khảo. Do tuổi nghề ít, kinh nghiệm còn hạn chế nên quá trình viết khó tránh khỏi đơn điệu, sai sót cách trình bày cũng như hệ thống và phương pháp. Tôi hy vọng rằng một phần nào đó giúp chúng ta hiểu kỹ hơn về toán chia hết và cá phương pháp giải. Thông qua sáng kiến này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kiến thức quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn cho công việc giảng dạy sau này. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của đồng nghiệp để vốn kiến thức của tôi ngày càng hoàn thiện hơn.  Tài liệu tham khảo 1. Số học 6 - Phan Đức Chính-Tôn Thân -Phạm Gia Đức - NXB giáo dục. 2. Nâng cao và phát triển Toán 6 - Vũ Hữu Bình - NXB giáo dục. 3. Toán học tuổi thơ. 4. Bài tập số học - Đại Học Sư phạm Vinh.