Đề tài Một cách dạy học, một cách ôn tập hệ thức Viét và các ứng dụng

A- đặt vấn đề I. Lý do chọn đề tài: Dạy học toán học là dạy các hoạt động toán học, do đó học sinh cần biết quá trình sáng tạo các khái niệm, định lý, biết vận dụng kiến thức,có niềm tin vào khả năng toán học của mình. Đặc trưng của toán học là trừu tượng hoá cao độ, có tính lô gíc chặt chẽ, vì vậy trong dạy học ngoài suy diễn lô gíc phải chú trọng nguyên tắc trực quan, quy nạp, trực giác toán học. Như vậy, phải trang bị cho học sinh những kiến thức toán học không chỉ gồm các định nghĩa, khái niệm, định lý, quy tắc....mà phải trang bị cho học sinh các kỹ năng và phương pháp giải bài tập, vận dụng toán học vào thực tế cuộc sống... Vì hệ thống tri thức toán học không chỉ có trong bài giảng lý thuyết mà phải suy luận, đúc kết từ hệ thống bài tập. Khi giải bài tập toán học không những đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng lý thuyết mà còn phải biết vận dụng, đào sâu khai thác, phát triển bài toán... Đối với phần lớn học sinh các em đều mong muốn và mơ ước học giỏi bộ môn toán. Nhưng điều đó thật chẳng dễ ràng gì cho nên có những em cảm thấy ngại học môn toán. Bản thân tôi là giáo viên mong muốn các em hiểu bài cơ bản và ngày một ham mê, yêu thích bộ môn toán, do vậy tôi cố gắng giảng bài, tìm ra những phương pháp giải sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh và kích thích lòng ham mê toán học của các em. Từ đó tìm ra các em có năng khiếu về môn này và bồi dưỡng các em trở thành học sinh giỏi. Trong những năm gần đây, hầu hết các trường phổ thông đã chú ý tới việc đổi mới phương pháp dạy học theo tinh thần “ lấy học sinh làm trung tâm “. Để không ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy cho bản thân, thích ứng kịp thời với phương pháp đổi mới toán học ở trường T.H.C.S. Qua thực tiễn giảng dạy tôi đi sâu nghiên cứu nội dung: “ Một cách dạy học, một cách ôn tập hệ thức Viét và các ứng dụng “. II. Thực trạng: 1. Thuận lợi: Hiện nay SGK đã được đổi mới, lượng kiến thức được chọn để dạy rất căn bản, giúp học sinh chủ động tiếp thu kiến thức. Cơ sở vật chất, trang thiết bị phục vụ cho công tác dạy học của nhà trường tương đối đầy đủ. Giáo viên có nhiều tài liệu tham khảo, trình đọ của giáo viên đã đưqợc nâng cao. 2. Khó khăn: Nhiều gia đình học sinh Bố, Mẹ đi làm ăn xa ít quan tâm đến việc học của các em, các trò chơi điện tử, điện ảnh, giải trí,... ảnh hưởng đến việc học của các em. 3. Thực trạng: Nhiều em học sinh nắm kiến thức cơ bản chưa tốt. Một số học sinh học được thì có vẻ tự kiêu vì lượng bài tập ở SGK còn ít, chưa khó, vì các em thiéu lý tưởng sống cao đẹp. Vì các em chưa có phương pháp tác ý khiêm tốn... B- giải quyết vấn đề I- Cơ sở lý luận: Để xây dựng được hệ thức Viét cho các nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta bắt đầu với phương trình: ax2 + bx + c = 0, với a ≠ 0 Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 và x2, khi đó ta có ngay: và Nhận xét rằng: x1 + x2 = x1.x2 = . Như vậy ta có kết quả: Nếu phương trình: ax2 + bx + c = 0, với a ≠ 0 có hai nghiệm x1 và x2 thì: II- ứng dụng thực tế: Dựa trên cơ sở lý luận ở trên chúng ta thấy ngay rằng hệ thức Viét được ứng dụng để giải các dạng toán sau: Dạng 1: - Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình - Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 1) Phương pháp: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình: ax2 + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2. Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S và P. Ví dụ: a) x12 + x22 = (x1 + x2)2 -2x1 x2 = S2 - 2P. b) x13 + x23 = (x1 + x2)3 -3x1 x2(x1 + x2) = S3 - 3SP. c) d) 2) Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho phương trình: 2x2 + 7x + 3 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b) Không giải phương trình hãy tính x1 + x2 và x1x2. từ đó hãy nhận xét về dấu các nghiệm c) Tính giá trị của biểu thức . Giải: a) Phương trình có a = 2, b = 7, c = 3 có Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b) Theo định lí Viét, ta có: Ta thấy tích hai nghiệm dương nên hai nghiệm cùng dấu, lại có tổng hai nghiệm âm nên hai nghiệm cùng âm c) Ta có: A = Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 - 15x +3 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b) Tính giá trị của biểu thức A = Giả: a) Nhận xét rằng: = 152 - 4..3 = 225 - 12 > 0 Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. b) Hai nhiệm x1 và x2 của phương thìn thoả mãn: Ta có: A = Nhận xét: Như vậy với yêu cầu trong câu b/ của ví dụ trên nếu chúng ta đi tính cụ thể các x1 và x2 rồi thay vào biểu thức A thì sẽ phải thực hiện việc đơn giản biểu thức chứa căn rất phức tạp. Trong khi sử dụng hệ thức Viét chúng ta đã có được một lời giải rất gọn. Đó chính là nội dung của ứng dụng hệ thức Viét để tìm giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm. Hệ thức Viét càng thể hiện ưu điểm của nó qua hai ví dụ sau. Ví dụ 3: Cho phương trình: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình, hãy tính: Giải: Ta có , phương trình có 2 nghiệm x1, x2. Theo Viét ta có: Theo đề ra ta có: Ví dụ 4: Cho phương trình: x2 - 2mx + m2 + 5 = 0 (ẩn x) Chứng tỏ rằng: Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì hai nghiệm đó đều dương. Giải: Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 và x2, khi đó: ị x1, x2 > 0 (đpcm). Nhận xét: Trong lời giải trên chúng ta đánh giá được phương trình có hai nghiệm dương dựa trên: +) x1.x2 > 0 suy ra x1, x2 cùng dấu. +) x1 + x2 > 0 suy ra x1, x2 cùng dấu dương. Đó chính là nội dung của hệ thức Viét để xét dấu các nghiệm. 3) Bài tập tương tự: Bài 1: Tính tổng và tích các nghiệm cuảu phương trình bậc hai sau đây (nếu có) mà không giải phương trình: a) 8x2 - 14x - 15 = 0 b) 9x2 - 6x + 1 = 0 c) x2 - 5x +8 = 0 d) x2 - 2ax +a2 - b = 0 Hướng dẫn: a) Vì: a.c < 0 Nên: x1 + x2 = ; x1 x2 Giáo viên có thể hỏi thêm: (?): Nhận xét về dấu các nghiệm (Hai nghiệm trái dấu). (?): So sánh giá trị tuyệt đối của các nghiệm đó (Vì tổng lớn hơn không nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm). b) r' = 0; x1 + x2 = ; x1.x2 = c) r < 0 ị Phương trình vô nghiệm, dẫn đến không có tổng và tích 2 nghiệm. d) r' = b2 ≥ 0; x1 + x2 = 2a ; x1.x2 = a2 - b2. Bài 2: Cho phương trình: a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. b) Tính giá trị của biểu thức A = Hướng dẫn: a) b) ; A Bài 3: Cho phương trình: 12x2 + 70x + a2 + 1 = 0 Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì hai nghiệm đó đều âm. Hướng dẫn: Nếu phương trình có hai nghiệm thì theo Viét ta có: Hai nghiệm cùng dấu Kết luận. Bài 4: Cho phương trình: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình, hãy tính: Hướng dẫn: r' = 2 > 0 . Theo Viét ta có: Theo đề ra ta có: Dạng 2 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số ”m"hay tìm hệ thức liện hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số "m" 1) Phương pháp: Để tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số " m", ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: Bước 2: áp dụng hệ thức Viét, ta được: (I) Bước 3: Khử m từ hệ (I) ta được hệ thức cần tìm. 2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 - 2mx - m2 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m. Giải: Nhận xét rằng: Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Hai nghiệm x1, x2của phương trình thoả mãn: Từ hệ trên, bằng cách rút m từ phương trình thứ nhất rồi thay vào phương trình thứ hai, ta được: Đó chính là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số m. Chú ý: Trong dạng toán trênviệc tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm là bắt buộc phải có. Và để tránh cho các em học sinh mắc phải thiếu sót này, thường thì bài toán đưa ra câu hỏi tìm điều kiện trước, tuy nhiên với một số bài tập thì đề tài không bắt tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (vì lí do sư phạm). Ví dụ 2: Trong điều kiện phương trình có hai nghiệm là x1, x2. Tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc m: a) x2 - 7x + 2m = 0 b) 3x2 + (m - 2)x - 10 = 0 c) x2 - (m - 3)x +2m + 1 = 0 Giải: a) Theo Viét ta có: x1+ x2 = 7 Đó chính là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số m. b) Theo Viét ta có: Đó chính là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số m. c) Theo Viét ta có: 2(x1 + x2) - x1.x2 = -7. Đó chính là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số m. Nhận xét: Như vậy với yêu cầu cuả ví dụ trên nếu chúng ta đi tính cụ thể các x1 và x2 rồi thực hiện các phép thử để tìm ra được một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không thuộc vào m thì sẽ phải thực hiện khá nhiều lần và quan trọng là không có định hướng chính xác. Trong khi sử dụng hệ thức Viét chúng ta đã có được một lời giải ngắn gọn. Đó chính là nội dung của ứng dụng hệ thức Viét để tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số. Chú ý: Yêu cầu của bài tập dạng này là tìm một hệ thức giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc m là xong. Vì không rõ điều đó, nên đa số học sinh thấy lúng túng khi làm bài tập này ngay cả bài tập rất dễ như câu a, câu b. Với câu c có rất nhiều cách giải, chẳng hạn: Cách 2: Từ (1) suy ra: m = x1 + x2 + 3 Từ (2) suy ra: Do đó ta có hệ thức cần tìm: Cách 3: Từ (1) suy ra: m = x1 + x2 + 3 thay vào (2) ta được: x1.x2 = 2(x1 + x2 + 3) + 1 x1x2 = 2(x1 + x2) + 7 (Đây là hệ thức cần tìm). Với bài tập khó thì cách 2, cách 3 thường hay áp dụng hơn. 2) Bài tập tương tự: Bài 1: Cho phương trình: x2 - 2mx + 2m - 2 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m. Hướng dẫn: r = (m - 1)2 + 1 > 0 ; (x1 + x2) - x1. x2 = 2 Bài 2: Trong điều kiện các phương trình sau có hai nghiệm là x1, x2. Tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc m. a) mx2 + 7x +2m - 3 = 0 ; b) (m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - 5 = 0 c) x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 1 = 0 Hướng dẫn: a) x1 + x2 = ; x1 . x2 = ị 3(x1 + x2) - 7x1 x2 = -14 hay 3 (x1 + x2) = 7 x1 x2 = 14 b) x1 + x2 = x1 . x2 = ị 2 (x1 + x2) - 3x1 x2 = 1 Học sinh hãy làm những cách khác rồi so sánh với cách trên và rút ra ưu điểm của từng cách. c) x1 + x2 = 2m + 1 (1); x1 x2 = m2 + m - 1 (2) Từ (1) ị m = thay vào (2) ta có: x12 + x22 = 2x1 x2 + 5 Chú ý: Dạng bài tập trên còn có thể phát biểu dưới dạng: Chứng minh rằng, biểu thức giữa hai nghiệm sau không phụ thuộc vào "m". Ví dụ: Bài 2a, có thể ra nhự sau. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào tham số m: 7x1 x2 - 3 (x1 + x2) Dạng 3 Tìm điều kiện của tham số ''m'' để thoả mãn một hệ thức giữa hai nghiệm Dạng 3A: 1) Phương pháp: Với yêu cầu 'Tìm điều kiện của tham số "m" để thoả mãn một hệ thức giữa hai nghiệm x1, x2 , ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện của tham số "m" để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: Bước 2: áp dụng hệ thức Viét, ta được: (I) Bước 3: Biểu diễn điều kiện thông qua (I). Bước 4: Kết luận. * Chú ý: Trong một vài trường hợp, bài toán còn được phát biểu dưới dạng "Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình thoả mãn hệ thức cho trước". 2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 - 4x + m -1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: a) x12 + x22 = 18 ; b) x13 + x23 = 40 Giải: a) Theo Viét và theo đề bài ta có: Theo bài ra ta có: x12 + x22 = 18 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 18 42 - 2(m-1) = 18 16 - 2m + 2 = 18 m= 0 (TMĐK) Vậy m = 0 là giá trị cần tìm . b) Theo bài ra ta có: x13 + x23 = 40 (x1 + x2) [(x1 + x2)2 - 3x1x2] = 40 4[42 - 3(m - 1)] = 40 4(16 - 3m + 3) = 40 76 - 12m = 40 -12m = -36 m=3 (TMĐK) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 - 5x +m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn / x1 - x2 / = 9. Giải: Trước tiên, để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 , điều kiện là: > 0 25 - 4m > 0 m < (*) Với điều kiện (*), phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: Khi đó: ờx1 - x2 ỳ = 9 81 = (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 52 - 4m 4m = 16 m = 4, thoả mãn điều kiện (*). Vậy với m = 4 thoả mãn điều kiện đầu bài. Nhận xét: Ta thấy yêu cầu của bài toán trên khác hẳn với những câu hỏi chúng ta đã được gặp đối với các phương trình bậc hai chứa tham số và nếu lựa chọn theo hướng tìm ra các nghiệm rồi thay vào điều kiện thì sẽ khá phức tạp. Trong khi sử dụng hệ thức Viét chúng ta đã có được một lời giải ngắn gọn. Đó chính là nội dung của ứng dụng hệ thức Viét để tìm điều kiện của tham sốsao cho phương trình thoả mãn tính chất K. Với các bài toán có chứa tham số, trước khi áp dụng định lý Viét cần tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm, tức là: 2) Bài tập tương tự Bài 1: Tìm m để phương trình: x2 + 2x + m = 0 Có hai nghiệm thoả mãn: x12 + x22 = 1. Hướng dẫn: = 1 - m 0 m 1 Theo Viét: x1 + x2 = -2 ; x1.x2 = m Ta có: x12 + x22 = 1 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 1 2m = 3 m = ( Không TMĐK) Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn điều kiện bài toán. Bài 2: Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0 1) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 2) Đặt A = x12 +x22 - 6x1x2 a) Chứng minh rằng: A = m2 - 8m + 8 b) Tìm m để A = 8 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Hướng dẫn: 1) r = (m - 2)2. 2) a) Ta có: x1 + x2 = m ; x1.x2 = m - 1 A = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 - 6x1.x2 ị đpcm b) Giải phương trình m2 - 8m + 8 = 8 ị m = 0, m = 8. c) A = (m - 4)2 - 8 8, dấu "=" xảy khi m = 4 ị Giá trị nhỏ nhất bằng - 8 khi m = 4. Bài 3: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép): m ạ 0 ; D' ≥ 0 : D' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4 D' ³ 0 Û m Ê 4. Với 0 ạ m Ê 4, theo định lý Viét, các nghiệm x1; x2 của phương trình có liên hệ: x1+x2 = ; x1.x2 = Do đó: 1 = = (x1+x2)2 - 2x1x2 = - Û m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m Û m2 - 10m + 16 = 0 Û m = 2 hoặc m - 8 Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0 ạm Ê4 Vậy với m = 2 thì = 1. Bài 4: Cho phương trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0.Tìm m để: a) Phương trình có hai nghiệm x1, x2 b) có hai nghiệm thoả mãn: 4(x1 + x2) = 7x1x2 Bài 5: Cho phương trình x2 -2(m-2)x+(m2+2m-3)=0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn Giải: Ta phải có: (1) Û D' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 Û m < (2) Û m2 +2m - 3 ạ 0 Û (m - 1).(m + 3) ạ 0 Û m ạ 1; m ạ -3 (3) Û + Trường hợp: x1 + x2 = 0 Û x1=-x2 ị m=2 trái với điều kiện (1) + Trường hợp: 5 - x1.x2 = 0 Û x1..x2 = 5 Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5 Û (m-2)(m+4) = 0 Vậy m = - 4 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn: Bài 6: Cho phương trình x2 - 2mx + m2 - ờmỳ - m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m. b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm m để = 6. Hướng dẫn: a) r' = ờmỳ - m + Nếu m ≥ 0 ị r' = 0 (1). + Nếu m 0 (vì m < 0) (2). Từ (1) và (2) ị r' ≥ 0 ị đpcm. b) Theo Viét có: x1 + x2 = 2m; x1 x2 = m2 - ờmỳ - m. = 6 ị 2m2 - 2ờmỳ - 2m = 6 (*) + Nếu m ≥ 0 thì (*) trở thành: m2 + 2m - 3 = 0 Û m = 1; m = - 3 (loại) + Nếu m < 0 thì (*) Û m2 = 3 Û m = (loại); m = . Trả lời: m = 1, m = là nghiệm của phương trình (*) ị m = 1, m = là giá trị cần tìm. Ta thấy chỉ dạng bài tập 3A đã phong phú. Vì vậy giáo viện khi dạy phần này nên dạy những bài tập cơ bản nhất và tập hợp nhiều bài tập tương tự, có phát triển cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để khắc phục được thực trạng nêu ra ở đầu. Dạng 3B: Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – 8x + m = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trong các diều kiện sau: a) x1 – x2 = 2 c) 2x1 + 3x2 = 26 b) x1 = 3x2 d) x12 – x22 = 16 Giải: Phương trình có nghiệm khi r' ≥ 0 Û (-4)2 - 1. m ≥ 0 Û m ≤ 16 (*) Theo Viét và đề bài ta có: Từ (2) và (3) ta có hệ: Thay vào (1) ta có m = 15 (TMĐK (*)). Trả lời: Vậy m = 15 là giá trị cần tìm. b) Làm tương tự có m = 12. c) m = -20. d) Hướng dẫn: Tìm 2 nghiệm x1, x2 từ hệ 2 phương trình bằng phương pháp thế. (Chẳng hạn: Thế vào phương trình có ẩn m ta được m = 16,TMĐK (*)) Nhận xét: Để giải loại toán này ta tạm chia làm 4 bước Bước 1: Tìm điều kiện của tham số "m" để phương trình có hai nghiệm . Bước 2: Dựa vào hệ thức Viét và đề bài ta lập hệ ba phương trình có ẩn x1, x2, m Bước 3: Ta giải hệ hai phương trình bậc nhất ẩn x1, x2 Bước 4: Thay 2 nghiệm x1, x2 vào phương trình còn lại tìm được giá trị m. Đối chiếu giá trị m vừa tìm được với điều kiện của “m” ở bước 1. Từ đó kết luận giá trị m cần tìm. * Lưu ý: ở Ví dụ 1: Câu a) Có thể giải bước 1; 2 như đã làm. Bước 3: Từ x1 – x2 = 2 ị (x1 – x2)2 = 4 ị (x1 + x2)2 - 4 x1x2 = 4 Thay vào ta có m = 15. Câu d) có thể giải bước 1; 2 như đã làm. Từ (2) và (3) ta có hệ: Ví dụ 2: Tìm a để phương trình: x2 - (a - 2)x - 2a = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: 2x1 + 3x2 = 0 Định lý Viét còn có rất nhiều ứng dụng . Sau đây là ứng dụng trong giải phương trình bậc hai, đó là: Dạng 4: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai 1) Phương pháp Trước tiên, cần hiểu rằng" chỉ thực hiện nhẩm nhgiệm của một phương trình bậc hai trong trường hợp có nghiệm nguyên hoặc một nghiệm nguyên còn một nghiệm hữu tỉ" Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình: x2 + bx + c = 0. ta thực hiên theo các bước Bước 1: Thiết lập hệ thức Viét cho các nghiệm x1 và x2: Bước 2: Thực hiện phép phân tích c thành tích của hai thừa số, c = m.n. Với mỗi cặp thừa số phân tích được, ta tính ngay m + n, khi đó: * Nếu m + n = -b, chuyển sang bước 3 * Nếu m + n # b, thực hiện lại bước 2. Bước 3: Vậy, phương trình có hai nghiệm là x1 = m và x2 = n. 2/ Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 - x - 12 = 0 Bước 1: Ta có Bước 2: ở đó: -12 = -1.12 = 1.(-12) = -2.6 = 2.(-6) = -3.4 = 3.(-4) Trong các cặp số trên ta chọn được cặp số(-3:4) vì -3 + 4 = 1 = x1 + x2 Bước 3: Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = -3; x2 = 4 Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng, vì: * Nếu tìm được một cặp (m;n) thoả mãn điều kiện m+ n = -b thì dừng phép thử lại và đưa ra kết luận * Nếu các cặp (m;n) đều không thoả mãn thì dừng và trong trường hợp này được hiểu là không nhẩm được nghiệm Chúng ta đã biết trường hợp đặc biệt của phương trình ax2 +bx+c=0 là: * Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = * Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = - Ví dụ 2: Trình bày cách nhẩm nghiệm cho các phương trình sau: a/ x2 - 7x +10 = 0 b/ -x2 - 13x +48 = 0 c/ 3x2 + 3x - 18 = 0 d/ x2 - 2x + 3= 0 Giải a/ Ta viết: Mà 2 + 5 = 7 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 và x2 = 5. b/ Viết lại phương trình dưới dạng: x2 + 13x - 48 = 0 Khi đó: mà 3 + ( -16 ) = -13 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 3 và x2 = -16. c/ Viết lại phương trình dưới dạng: x2 + x - 6 = 0 Khi đó: mà 2 + ( -3 ) = -1 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 và x2 = -3. d/ Viết lại phương trình dưới dạng: x2 - 8x + 12 = 0 Khi đó: mà 2 + 6 = 8 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2 và x2 = 6. Nhận xét: Ví dụ trên, được nêu ra với mục đích khuyên các em học sinh hãy thực hiện việc chuyển đổi phương trình ban đầu về dạng đơn giản nhất trước khi thực hiện công việc nhẩm nghiện để tránh được những sai sót không đáng có Ví dụ 3:Tính nhẩm nghiệm của phương trình a/ x2 + 2x - 3 = 0 b/ x2 -9x - 10 = 0 Giải a/ Ta thấy: a + b + c = 1 +2 + (-3) = 0 Do đó, phương trình có hai nghiệm x1 = 1và x2 = -3. b/ Ta thấy: a - b + c = 1 - (-9) + (-10) = 0 Do đó, phương trình có hai nghiệm x1 = -1 và x2 = 10. 3/ Bài tập: Bài tập 1: Trình bày cách nhẩm nghiệm cho các phương trình sau: a/ x2 + 8x - 20 = 0 b/ x2 - 9x - 36 = 0 c/ x2 - 6x - 27 = 0 d/ x2 - x - 20 = 0 Bài tập 2: Trình bày cách nhẩm nghiệm cho các phương trình sau: a/ - x2 - 23x - 132 = 0 b/ 3x2 + 9x - 162 = 0 c/ x2 + x + 6 = 0 d/ -3x2 + x + 5 = 0 Bài tập 3: Tính nhẩm nghiệm cho các phương trình sau: a/ 3x2 - 10x + 7 = 0 b/ 5x2 - 32x + 27 = 0 c/ 6x2 - 75x - 81 = 0 d/ B- phần kết luận I. Kết quả thực nghiệm Sau