Đề tài Giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về đồ thị hàm số bậc nhất , đồ thị hàm số bậc hai

GIÚP HỌC SINH HIỂU SÂU SẮC HƠN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT , ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Vấn đề vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, đồ thị hàm số bậc hai là bước cơ bản để học sinh tập dần cách vẽ đồ thị của một hàm số . Tuy nhiên bước đầu học sinh còn khó khăn khi vẽ đồ thị hàm số bậc nhất , đồ thị hàm số bậc hai với các lí do chủ yếu : Học sinh chưa nắm vững cách vẽ , vẽ không chính xác cùng các vấn đề liên quan như: chưa hiểu sâu sắc tập xác định của hàm số , tính đồng biến nghịch biến của hàm số, hệ số góc của đường thẳng , tính đối xứng của đồ thị hàm số , Đề tài này trình bày sâu sắc hơn về đồ thị hàm số bậc nhất , hàm số bậc hai . Giúp học sinh khắc phục các nhược điểm trên. Đề tài này gồm các phần : - Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất - Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai . - Cách xác định giao điểm của hai đường thẳng , giao điểm của đường thẳng và Parabol . - Phương pháp thực hiện , kết quả thực hiện , bài học kinh nghiệm . II. NỘI DUNG- PHƯƠNG PHÁP – KẾT QUẢ THỰC HIỆN : ĐỒ THỊ HÀM SỐ : 1. Nội dung: Trường hợp b = 0 thì : -Hàm số xác định với . Hàm số đồng biến trên R khi a > 0 , nghịch biến trên R khi a<0. - Đồ thị hàm số là một đường thẳng (giả sử kí hiệu : d1). M(xM;yM) (d1)yM = axM Để vẽ đồ thị hàm số ta chỉ cần xác định 2 điểm thuộc đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm đó. Ta thường chọn 2 điểm đó là O(0;0) ; A(1;a). Trường hợp b0: -Hàm số xác định với . - Hàm số y=ax+ b đồng biến trên R khi a > 0 , nghịch biến trên R khi a<0. - Đồ thị hàm số là một đường thẳng (giả sử kí hiệu : d). M(xM;yM)(d)yM=axM +b Để vẽ đồ thị hàm số ta chỉ cần xác định 2 điểm thuộc đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm đó. Ta thường chọn 2 điểm đó là giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ . +Giao điểm của đồ thị với trục Oy : cho x =0 y = b , P(0;b). + Giao điểm của đồ thị với trục Ox : cho y =0 x = . 2. Phương pháp thực hiện : Mục đích chính của phần này là học sinh vẽ thành thạo đồ thị hàm số bậc nhất trong 2 trường hợp b =0 và b 0. * Giáo viên sử dụng phương pháp từ cụ thể đến tổng quát , đặt câu hỏi gợi mở phù hợp , trực quan. Ví dụ: + Tính giá trị y tương ứng của các hàm số y=2x và y=2x+3 theo giá trị đã cho của biến x rồi điền kết quả vào bảng sau: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x y=2x+3 + Gọi A(-3;-6) ; B(-2;-4); C(-1;-2); O(0;0) ; D(1;2); E(2;4); F(3;6). Gọi 1 học sinh lên bảng biểu diễn các điểm A,B,C,O,D,E,F trên cùng một mặt phẳng tọa độ .Hỏi:Có nhận xét gì về các điểm này?hoặc các điểm này có nằm trên một đường thẳng không?. Từ đó suy ra dạng đồ thị hàm số . +Tương tự cho các điểm A’(-3;-3) ; B’(-2;-1); C’(-1;1); O(0;0) ; D’(1;5); E’(2;7); F’(3;9). Gọi 1 học sinh lên bảng biểu diễn các điểm A’,B’,C’,O,D’,E’,F’ trên cùng một mặt phẳng tọa độ ,hỏi:Có nhận xét gì về các điểm này?hoặc các điểm này có nằm trên một đường thẳng không?. Từ đó suy ra dạng đồ thị hàm số . + Đặt vấn đề : Vậy để vẽ đồ thị hàm số trong hai trường hợp b=0 và b0 ,ta xác định cách vẽ như thế nào để nhanh, gọn,chính xác?. Giáo viên chốt lại cách vẽ đồ thị hàm số trong 2 trường hợp b =0 và b0 như đã nêu ở mục 1 ( nội dung) y y a> 0 a< 0 x x *Giáo viên phân tích và nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa dạng của đồ thị với sự biến thiên của hàm số . *Giáo viên cần cho học sinh một số điều chú ý khi vẽ đồ thị và kiểm tra lại đồ thị . + Vị trí đồ thị trong mặt phẳng tọa độ . a>0: đồ thị nằm trong góc phần tư thứ I và III. a< 0: đồ thị nằm trong góc phần tư thứ II và IV. +Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b , cắt trục hòanh tại điểm có hòanh độ x = . Ngoài ra : a gọi là hệ số góc của đường thẳng a>0: góc tạo bởi đường thẳng y=ax+b với trục Ox là góc nhọn. a<0: góc tạo bởi đường thẳng y=ax+b với trục Ox là góc tù. + Chọn cách vẽ đồ thị y=ax+b đơn giản như đã nêu ở trên để đồ thị chính xác hơn. + Học sinh thực hành là chủ yếu , giáo viên uốn nắn ngay từng bước vẽ đồ thị của học sinh . + Tổ chức học sinh hoạt động nhóm , để bổ sung khắc sâu kiến thức cho nhau , cần chú trọng đến học sinh trung bình , yếu. + Học sinh tự đánh giá nhau. + Khuyến khích học sinh dùng giấy ô li để vẽ đồ thị . vBài tập thực hành vẽ đồ thị : vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ y=2x. d/ y= x g/ y= -2x+ b/ y=2x+3 e/ y=1,3x h/ y=x+1 c/ y = -2x+3 f/ y= x+2 i/ y=x+3 Bài giải mẫu a/ y=2x c/ y=-2x+3 cho x=0 y=0 O(0;0) cho x=0 y=3 B(0;3) x=1 y=2 A(1;2) y=0 x= C(; 0) ¯Dùng máy tính, máy chiếu ( nếu có thể) để vẽ đồ thị hàm số ; minh họa trực quan sự biến thiên của hàm số và sự thay đổi vị trí đồ thị tương ứng với sự thay đổi của các hệ số a,b. 3. Kết quả thực hiện : Qua thời gian giảng dạy 2 lớp 93,,94 năm học 2007 -2008 ở phần này và qua khảo sát học sinh tôi nhận được kết quả so với năm 2006 -2007 như sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Năm2006-2007 57,1% 27,1% 14,4% 1,4% Năm2007-2008 64,4% 28,4% 7,2% 0% Như vậy , qua đúc kết kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy ở phần này , tôi đã thấy và khắc phục ở học sinh các khuyết điểm để đề tài này ngày càng hòan chỉnh hơn. ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. Nội dung: +Đồ thị hàm số xác định với mọi giá trị . + a > 0 : Hàm số đồng biến khi x> 0 và nghịch biến khi x< 0. + a 0 và nghịch biến khi x< 0. + Đồ thị hàm số là một đường cong đi qua góc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là Parabol với đỉnh O (kí hiệu: (P)). + a>0: đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị . + a<0: đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị . + M(xM;yM)(P)yM = ax2M (a0). Để vẽ đồ thị hàm số ta cần lập bảng giá trị tương ứng x;y thông thường theo mẫu x -3 -2 -1 0 1 2 3 9a 4a a 0 a 4a 9a Trên mặt phẳng tọa độ ta xác định được 7 điểm : (-3;9a) ; (-2;4a) ; (-1;a) ; (0;0) ; (1;a); (2;4a) ;(3; 9a). Đồ thị của học sinh đi qua các điểm đó và có dạng (a>0) y (a<0) y 0 x 0 x 2. Phương pháp thực hiện: Mục đích chính của phần này là vẽ thành thạo đồ thị hàm số . Từ cụ thể đến tổng quát; đặt câu hỏi gợi mở phù hợp . Ví dụ: Tính giá trị y tương ứng với giá trị x của hàm số y=2x2 trong bảng sau: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x2 +Học sinh biểu diễn các điểm A(-3;18) ; B(-2;8) ; C(-1;2); O(0;0); A’(3;18);B’(2;8) ; C’(1;2). +Giáo viên gợi ý: đồ thị hàm số đi qua các điểm trên . Giáo viên vẽ minh họa. + Đặt vấn đề: để vẽ đồ thị cho trường hợp tổng quát hàm số ta làm thế nào?. Giáo viên chốt lại cách vẽ đồ thị hàm số như ở phần nêu trên (mục 1 phần nội dung phần B). *Giáo viên cần nêu vài điểm chú ý khi vẽ đồ thị và kiểm tra lại lại đồ thị hàm số . Chẳng hạn: +Phân tích mối liên hệ chặt chẽ giữa dạng của đồ thị với sự biến thiên của hàm số . Ví dụ: khi nói về dạng đồ thị trong trường hợp a>0 giáo viên cho học sinh xem lại những cặp giá trị tương ứng x;y của hàm số y=2x2 , để học sinh thấy trong khỏang x0, hàm số đồng biến,do đó đồ thị đi lên (từ trái sang phải). Ngược lại: khi học sinh thành thạo dạng của đồ thị, thì từ đồ thị lại có thể suy ra tính chất hàm số . +Khi lập bảng giá trị tương ứng x; y , nên lưu ý học sinh rằng vì nên khi thay bởi x bằng –x thì các giá trị của y bằng nhau. Nhờ nhận xét này mà việc tính toán giảm một nửa. Ví dụ: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x2 0 2 8 18 Bây giờ chỉ việc dùng nhận xét trên để điền vào ô trống còn lại . Qua đó thấy rõ tính đối xứng của đồ thị qua trục Oy . + Khi vẽ đồ thị cũng nên thường xuyên tận dụng tính đối xứng này để công việc đơn giản hơn. * Cần cho học sinh khắc sâu hình ảnh thực tế của Parabol (ví dụ: Đường chuyển động của nước trong công viên,). * Cần cho học sinh chuẩn bị trước giấy kẻ ô li để vẽ đồ thị . * Học sinh thực hành là chủ yếu, giáo viên uốn nắn ngay từng bước làm của học sinh . * Tổ chức hoạt động nhóm để bổ sung , khắc sâu kiến thức cho nhau, chú trọng hơn đến học sinh trung bình , yếu. * Học sinh tự đánh giá nhau. * Dùng máy tính, máy chiếu (nếu có thể) để vẽ đồ thị hàm số minh họa trực quan sự biến thiên của hàm số và sự thay đổi đồ thị tương ứng với hệ số a thay đổi. vBài tập thực hành vẽ đồ thị hàm số vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ y=2x2 d/ y= x2 g/ y=3x2 b/ y=x2 e/ y=x2 c/ y= x2 f/ y=-3x2 Giải mẫu x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x2 18 8 2 0 2 8 18 a/ y=2x2 b/ y=x2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 -2 0 -2 3. Kết quả thực hiện: Qua thời gian giảng dạy 2 lớp 93,,94 năm học 2007 -2008 ở phần này và qua khảo sát học sinh tôi nhận được kết quả so với năm 2006 -2007 như sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Năm2006-2007 85,7% 11,4% 2,9% 0% Năm2007-2008 92,9% 7,1% 0% 0% C.CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL: 1/. Cách xác định giao điểm của 2 đường thẳng : Cho hai đường thẳng cắt nhau tại M Vấn đề đặt ra là : Tìm tọa độ của điểm M a/. Phương pháp hình học: Vẽ đường thẳng (d) và (d’) trên cùng mặt phẳng tọa độ . (d) và (d’) cắt nhau tại M. Đọc tọa độ của M, ta được M(xM;yM). b/. Phương pháp đại số: -Giả sử M(xM;yM) là giao điểm của (d) và (d’). M(d) yM=axM + b (a 0) axM + b = a’xM + b’ M(d’) y’M=a’xM + b’ (a’ 0) là giao điểm cần tìm. Ví dụ: Tìm giao điểm của hai đường thẳng (d): y=3x+5 (d’):y=-x+2 Giải Giả sử M(xM;yM) là giao điểm của (d) và (d’). *Phương pháp hình học: (d): y=3x+5 Cho x =0 y=5 (0;5) y=0x= (;0) (d’):y=-x+2 Cho x =0 y=2 (0;2) y=0x=2 (2;0) Theo đồ thị, ta có M. *Phương pháp đại số: M(d) yM=3xM + 5 (a 0) 3xM + 5 = -xM + 2 M(d’) yM= - xM + 2 Vậy Mlà giao điểm cần tìm. 2/. Cách xác định giao điểm của 2 đường thẳng y= ax+b (a 0)và Parabol y= ax2 (a 0): a/. Phương pháp hình học : - Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. -Đọc tọa độ giao điểm của (P) và (d). b/. Phương pháp đại số: - Lập phương trình hòanh độ giao điểm a’x2=ax+b a’x2-ax-b=0(á) - Giải phương trình (á). + Nếu phương trình (á) vô nghiệm (P) và (d) không giao nhau. +Nếu phương trình (á) có nghiệm kép x1=x2 (P) và (d) giao nhau tại 1 điểm. + Nếu phương trình (á) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm (x1;) ; (x2; ). Ví dụ: Tìm giao điểm (nếu có )của (P): y=x2 và (d): y=2x+3. Giải + Phương pháp đại số: phương trình hòanh độ giao điểm x2=2x+3 x2-2x-3=0 x1=1; y1=1 , M(-1;1). x2=3; y2=9 ,N(3;9). Vậy: Giao điểm của (P)và (d) là M(-1;1); N(3;9). +Phương pháp hình học: vẽ đồ thị (P): y=x2. Bảng giá trị: x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9 (d):y=2x+3 Cho x=0 y=3 A(0;3). y=0 x= B(;0). Trên đồ thị ta có giao điểm của (P) và (d): M(-1;1); N(3;9). âChú ý: Dùng máy tính , máy chiếu ( nếu có thể)vẽ đồ thị hàm số y=ax+b (a0)và Parabol (P):y=ax2 (a0) để thấy hình ảnh trực quan về giao điểm của đường thẳng và Parabol khi các hệ số thay đổi. 3. Kết quả thực hiện: Qua thời gian giảng dạy 2 lớp 93,,94 năm học 2007 -2008 ở phần này và qua khảo sát học sinh tôi nhận được kết quả so với năm 2006 -2007 như sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Năm2006-2007 60,2% 24,1% 15,7% 0% Năm2007-2008 79,3% 12,6% 8,1% 0% III.BÀI HỌC KINH NGHIỆM: Có sự liên hệ chặt chẽ giữa dạng đồ thị với sự biến thiên của hàm số. Khi chọn các điểm để vẽ đồ thị hàm số cũng nên thường xuyên tận dụng tính chất đối xứng của đồ thị để công việc đơn giản hơn. Nhận dạng góc tạo bởi 2 đường thẳng với trục Ox là góc nhọn hay góc tù trong trường hợp a>0 hay a<0 để kiểm tra hình vẽ. Cần uốn nắn ngay từng bước vẽ của học sinh. Thông thường là tìm giao điểm của 2 đường thẳng , tìm giao điểm của đường thẳng với Parabol ta sử dụng phương pháp đại số sẽ chính xác hơn phương pháp hình học. Sử dụng kết quả trong phương pháp đại số để kiểm tra lại đồ thị đã vẽ . Dùng hình ảnh hoặc ví dụ thực tế trực quan để học sinh hình dung và khắc sâu hơn dạng đồ thị hàm số và . Nếu có điều kiện thì dùng máy tính hay máy chiếu biểu diễn hình ảnh trực quan thể hiện sự biến thiên của hàm số và sự thay đổi của đồ thị khi các hệ số đổi. Trên đây là các vấn đề liên quan về đồ thị hàm số và mà học sinh cần nắm vững. Sở dĩ có được các thành công trên là do tôi đã giảng dạy nhiều năm, thấy được các thiếu sót của học sinh về các vấn đề đã nêu trên. Đồng thời đã khắc phục được, lấp những chỗ đó cho học sinh bằng cách bổ sung cho học sinh những điều cần lưu ý cho học sinh khi vẽ đồ thị và các vấn đề có liên quan đến đồ thị hàm số và đồ thị hàm số . Kết hợp với đổi mới phương pháp trong hoạt động dạy học, tổ chức cho học sinh học tập tích cực để các em có cách vẽ đồ thị một cách hòan chỉnh hơn. Những vấn đề tôi trình bày ở trên không tránh khỏi những thiếu sót, mong sự đóng góp nhiệt tình của quý đồng nghiệp. Xin cảm ơn!. Tân An, ngày 13 tháng 3 năm 2008 Duyệt của Tổ Trưởng Người thực hiện Duyệt của BGH PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CÀNG LONG TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ TÂN AN ----–&—---- Sáng kiến kinh nghiệm §Ị tµi: GIÚP HỌC SINH HIỂU SÂU SẮC HƠN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI Người thực hiện: Năm học : 2007-2008 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CÀNG LONG TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ TÂN AN ----–&—---- Sáng kiến kinh nghiệm §Ị tµi: Người thực hiện: Phạm Thị Anh Đào Năm học : 2007-2008