Đề tài Bài toán nhận dạng tam giác

LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhận dạng tam giác là một dạng toán hay và khó, thường gặp trong các Đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng hoặc các Kỳ thi có tính chất tuyển chọn học sinh. Đây cũng là một lớp bài toán quan trọng trong phần “Hệ thức lượng trong tam giác” nói riêng, và trong chương trình môn học lượng giác ở nhà trường phổ thông nói chung. Nội dung cơ bản của nó có thể tóm tắt như sau: Cho một tam giác thỏa mãn một điều kiện nào đó (thường là dưới dạng một đẳng thức lượng giác), chúng ta cần chỉ ra tam giác đó có đặc điểm gì. Ngoài ra, nhận dạng tam giác còn được đưa vào như một bước trung gian của rất nhiều bài toán. Trong đó việc đoán nhận xem một tam giác là đều, vuông, cân hay dạng đặc biệt nào đó sẽ giúp ích rất nhiều cho việc tính diện tích, chu vi hay các yếu tố khác trong tam giác Vì những lí do đó, tôi đã chọn đề tài “Bài toán nhận dạng tam giác”, nghiên cứu các phương pháp để nhận dạng tam giác. 2. Nội dung đề tài Trình bày các phương pháp để nhận dạng tam giác, với những ví dụ minh họa cụ thể. Nội dung đề tài gồm 2 chương: Chương 1: Kiến thức bổ trợ Chương này cung cấp những kiến thức về tam giác và một số bất đẳng thức đại số: Cosi, Bunhiacopxki, Chebyshev. Chương 2: Bài toán nhận dạng tam giác Chương này trình bày các phương pháp nhận dạng từng loại tam giác: vuông, cân, đều, nhọn, tù và các tam giác có cấu trúc đặc biệt khác. Nội dung của chương gồm có 4 bài: §1. Nhận dạng tam giác cân §2. Nhận dạng tam giác vuông §3. Nhận dạng tam giác đều §4. Nhận dạng các tam giác có cấu trúc đặc biệt khác NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI : Tam giác : Các đỉnh tam giác hay số đo các góc trong tam giác : Độ dài các cạnh đối diện các góc , , : Độ dài các đường cao xuất phát từ , , : Độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ , , : Độ dài các đường phân giác trong xuất phát từ , , : Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác : Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác : Độ dài các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc , , : Nửa chu vi tam giác : Diện tích tam giác NỘI DUNG Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong tam giác và một số bất đẳng thức đại số được sử dụng trong đề tài này. 1. Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác 1.1. Định lí hàm số sin . Từ đây ta suy ra: 1.2. Định lí hàm số cosin 1.3. Định lí hàm số cos suy rộng 1.4. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 1.5. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 1.6. Bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác 1.7. Đường phân giác trong của tam giác 1.8. Đường trung tuyến của tam giác 1.9. Diện tích tam giác 1.10. Một số đẳng thức khác (tam giác ABC không phải là tam giác vuông) 1.11. Hệ thức cơ bản trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A. Khi đó ta có: Định lí Pitago: 2. Một số bất đẳng thức đại số 2.1. Bất đẳng thức Cosi Với n số thực không âm a1, a2,..., an (n 2), ta có: (Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki Với hai bộ n số thực ; bất kì, ta có: Có đẳng thức khi và chỉ khi Qui ước: Nếu một số nào đó bằng 0 thì bằng 0. 2.3. Bất đẳng thức Chebyshev Cho hai dãy tăng và . Khi đó: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Nếu và thì: Chương 2: BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC Nhận dạng tam giác là một lớp bài toán quan trọng trong phần “Hệ thức lượng trong tam giác” nói riêng, và trong chương trình môn học lượng giác ở nhà trường phổ thông nói chung. Nội dung cơ bản của nó có thể tóm tắt như sau: Cho một tam giác thỏa mãn một điều kiện nào đó (thường là dưới dạng một đẳng thức lượng giác), chúng ta cần chỉ ra tam giác đó có đặc điểm gì. Dựa vào sự phân loại tam giác, chúng ta xét các lớp bài toán sau: §1. Nhận dạng tam giác cân §2. Nhận dạng tam giác vuông §3. Nhận dạng tam giác đều §4. Nhận dạng các tam giác có cấu trúc đặc biệt khác Chú ý: +) Nếu đẳng thức đã cho có tính hoán vị vòng tròn giữa ba góc hoặc ba cạnh thì tam giác đã cho thường là tam giác đều. +) Nếu đẳng thức đã cho chỉ có tính đối xứng giữa hai góc hoặc hai cạnh thì tam giác đã cho thường là tam giác vuông hoặc tam giác cân. §1. NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN Trong bài này ta đề cập đến những bài toán có dạng sau đây: Cho tam giác thỏa mãn một số điều kiện nào đó, ta phải chỉ ra tam giác đó là tam giác cân. Người ta thường sử dụng một trong các phương pháp: + Phương pháp thêm tham số mới + Chứng minh một bất đẳng thức và sử dụng giả thiết đã cho cùng với điều kiện đạt được dấu bằng trong bất đẳng thức vừa nêu để chỉ ra tam giác đó có hai góc bằng nhau hoặc hai cạnh bằng nhau + Thông qua biến đổi lượng giác hoặc biến đổi hình học để đưa về kết quả là tam giác đã cho hoặc có hai góc bằng nhau, hoặc có hai cạnh bằng nhau. Với dạng toán này ta sẽ nhận xét vai trò của hai yếu tố nào đó trong tam giác (hai cạnh hoặc hai góc) trong điều kiện bài toán là tương tự nhau. Và từ đó ta tìm cách chỉ ra hai yếu tố đó bằng nhau và suy ra tam giác đã cho là tam giác cân. 1. Phương pháp thêm tham số mới Bài 1. Nhận dạng tam giác biết rằng biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Lời giải Nhận xét rằng: Đặt Khi đó ta có: với . Suy ra Dẫn đến . Do đó . Như vậy ta thấy , xảy ra khi và chỉ khi: Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi tam giác cân tại (đpcm). Bài 2. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện: Chứng minh là tam giác cân. Lời giải Viết lại đẳng thức cho dưới dạng tương đương: Đặt Coi đây là phương trình bậc hai, ẩn là , ta có: Như thế khi và chỉ khi: Vậy tam giác ABC cân tại A (đpcm). 2. Sử dụng bất đẳng thức Bài 3. Cho tam giác ABC có . Chứng minh ABC là tam giác cân. Lời giải Áp dụng công thức đường phân giác trong, ta có: (1) Ở đây ta nhận thấy vai trò của b và c như nhau, nên ta sẽ chứng minh . Giả thiết phản chứng , khi đó ta có thể giả sử rằng (vì nếu không ta sẽ lí luận tương tự). Từ đó ta sẽ có và suy ra . Suy ra (2) Cũng do nên (3) Từ (2) và (3) suy ra: (4) Bất đẳng thức (4) nhận được mâu thuẫn với (1). Điều vô lí ấy chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, do đó phải có . Vậy tam giác ABC cân tại A (đpcm). Bài 4. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn và thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. Lời giải Đẳng thức đã cho tương đương với: (1) Vì A, B nhọn nên áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương và , ta có: (vì ) Vậy nếu A, B nhọn thì: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Như vậy, nếu có (1) thì tam giác ABC cân tại C. Ta có điều phải chứng minh. 3. Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức Bài 5. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh ABC là tam giác cân. Lời giải Do cả hai vế của đẳng thức đã cho là số dương nên bình phương hai vế ta được đẳng thức tương đương: Đến đây, áp dụng định lí hàm số sin rồi rút gọn, ta được: Vậy ABC là tam giác cân đỉnh C (đpcm). Bài 6. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. Lời giải Trước hết, theo bài ra ta có: (1) Ta sẽ tìm một biểu diễn khác của VT(1): Theo chương 1 ta đã có: (2) Mặt khác ta có: Như thế: (3) Từ (2) và (3) ta được: VT(1) = Vậy ta được: Từ đây suy ra . Vậy ABC là tam giác cân tại A (đpcm). Bài 7. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu thì tam giác ABC cân. Lời giải Theo định lí đường trung tuyến trong tam giác, ta có: Tương tự ta có: Ta sẽ chứng minh . Thật vậy, giả sử thì (Do ) Như thế ta có: (*) +) Nếu thì (*) trở thành: (vô lí). +) Nếu thì (*) trở thành: (vô lí). Vậy trường hợp không thể xảy ra. Tương tự không thể xảy ra trường hợp Vậy , hay tam giác ABC cân (đpcm). §2. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG Tương tự như §1, bài toán nhận dạng tam giác vuông thường có dạng sau: Cho tam giác thỏa mãn điều kiện nào đó, ta phải chứng minh rằng tam giác đó là tam giác vuông. Cũng như §1, để giải các bài tập loại này, ta cũng thường sử dụng một trong các phương pháp sau: + Phương pháp thêm tham số mới + Dựa vào bất đẳng thức + Thực hiện các phép biến đổi lượng giác, hình học để đi đến tam giác đã cho có một góc bằng , hoặc đi đến hệ thức Pitago. 1. Phương pháp thêm tham số mới Bài 8. Cho tam giác không tù, thỏa mãn điều kiện Chứng minh là tam giác vuông cân. Lời giải Đặt Xem đây là phương trình bậc hai, ẩn , ta có: Ta có (Do tam giác không tù nên và ) Vậy Vậy tam giác vuông cân tại (đpcm). 2. Sử dụng bất đẳng thức Bài 9. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện Chứng minh là tam giác vuông. Lời giải Đẳng thức đã cho tương đương với: Đặt , ta được: Ta có Từ đó Suy ra , hay tam giác vuông tại (đpcm). 3. Sử dụng các phép biến đổi đẳng thức Bài 11. Cho tam giác . Kẻ Giả sử tương ứng là chu vi của các tam giác , , , và thỏa mãn hệ thức: . Chứng minh rằng là tam giác vuông. Lời giải Trước hết ta chứng minh phải nằm giữa và . Thật vậy, giả sử nằm ngài BC (và có thể cho là có vị trí như hình vẽ). Ta có: Do nên từ (1) suy ra và suy ra . Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy nằm giữa và . Khi đó ta có: (2) Từ giả thiết và từ (2) (3) (4) ta có: Vậy là tam giác vuông (đpcm). Bài 12. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng tam giác vuông. Lời giải Ta có: (1) Bình phương hai vế (1), ta được: (2) Theo định lí hàm số sin ta có: (3) Từ (2) và (3) suy ra: (4) Do nên (4) (*) Vì nên (*) Vậy tam giác vuông tại (đpcm). §3. NHẬN DẠNG TAM GIÁC ĐỀU Để chứng minh một tam giác là đều, chúng ta có thể chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau và cùng bằng . Chúng ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp sau đây: 1. Phương pháp thêm tham số mới Bài 13. Cho tam giác thỏa mãn Chứng minh tam giác đều. Lời giải Ta có: Coi đây là tam thức bậc hai, ẩn , ta cần có: Khi đó . Vậy là tam giác đều (đpcm). Bài 14. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện Chứng minh tam giác đều. Lời giải Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng tương đương: Đặt Coi đây là tam thức bậc hai, ẩn , ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: Vậy là tam giác đều (đpcm). 2. Sử dụng 9 bất đẳng thức cơ bản Đây là phương pháp nhận dạng tam giác đều bằng cách sử dụng 9 bất đẳng thức cơ bản trong tam giác. Ở đây chỉ nêu ra 9 bất đẳng thức đó mà không trình bày chứng minh cụ thể. Trong mọi tam giác ta có: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) Đẳng thức trong các bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi là tam giác đều. Như vậy, nếu từ các giả thiết đã biết, ta đưa giả thiết đó về một trong 9 đẳng thức đạt được trong các bất đẳng thức trên thì tam giác đó là tam giác đều. Đây là nội dung của phương pháp này. Bài 15. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện: Chứng minh là tam giác đều. Lời giải Đưa đẳng thức đã cho về dạng sau: (1) Áp dụng định lí hàm số cosin suy rộng, ta có: Suy ra (*) Lại có: . (**) Thay (*) và (**) vào (1) và rút gọn, ta được: (2) Do , nên có: (2) (3) Đẳng thức (3) chứng tỏ tam giác ABC đều (đpcm). Bài 16. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện: (A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C). Chứng minh ABC là tam giác đều. Lời giải Đặt thì từ các giả thiết suy ra: (1) Ta biến đổi đại diện như sau: Vì thế sau các biến đổi tương tự, từ (1) ta có: hay (2) Đẳng thức (2) chứng tỏ tam giác ABC đều (đpcm). Bài 17. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh tam giác ABC đều. Lời giải Ta có: Thay vào điều kiện bài toán và rút gọn, ta được: Đẳng thức này chứng tỏ ABC là tam giác đều (đpcm). Chú ý: Chúng ta có các bài toán tương tự như sau: Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức . Chứng minh ABC là tam giác đều. Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức: . Chứng minh tam giác ABC đều. Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức: . Chứng minh tam giác ABC đều. Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức: . Chứng minh tam giác ABC đều. 3. Sử dụng kết hợp 9 bất đẳng thức cơ bản và các kiến thức phụ khác Bài 18. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Đường phân giác góc A cắt BC tại A1, và cắt đường tròn ngoại tiếp tại A2; B1, B2, và C1, C2 được kí hiệu tương tự. Giả sử: Chứng minh tam giác ABC đều. Lời giải Dễ thấy , nên ta có: Do đó: (1) Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi . Tương tự ta có: (2) Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi . Và: (3) Dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi . Từ (1)(2)(3), ta có: (4) Theo bất đẳng thức cơ bản thì (5) Từ (4)(5) suy ra (6) Dấu bằng trong (6) xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều. Vì thế từ giả thiết suy ra ABC là tam giác đều (đpcm). Bài 19. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Lời giải Đưa giả thiết đã cho về dạng tương đương sau: (1) Theo bất đẳng thức Cosi, ta có: (2) Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều. Theo bất đẳng thức cơ bản ta có: (3) Từ (2) (3) suy ra: (4) Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều. Vì thế từ giả thiết (1) suy ra ABC là tam giác đều (đpcm). 4. Sử dụng mệnh đề Đây là một phương pháp thông dụng để nhận dạng tam giác đều nói riêng, cũng như nhận dạng tam giác nói chung. Bài 20. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Chứng minh ABC là tam giác đều. Lời giải Ta có: Vì thế từ giả thiết suy ra Vậy tam giác ABC đều (đpcm). Bài 21. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Chứng minh ABC là tam giác đều. Lời giải Ta có: (1) Do nên Vậy ABC là tam giác đều (đpcm). 5. Nhận dạng tam giác đều từ một hệ điều kiện Bài 22. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Chứng minh ABC là tam giác đều. Lời giải Ta có: (1) Lại có: (2) Từ (1) (2) ta có: Do nên ta phải có: (3) Từ (1) và (3), theo định lí Viet suy ra là hai nghiệm của phương trình: Vậy ABC là tam giác đều (đpcm). Bài 23. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Chứng minh ABC là tam giác đều. Lời giải Theo định lí hàm số sin ta có: Từ đó suy ra c là cạnh nhỏ nhất trong tam giác, do đó C là góc nhọn và có . Vậy các vế đều dương và ta có: Từ đây suy ra: Suy ra , và ta có . Kết hợp với điều kiện bài toán, ta được: Từ (2) ta có: (3) Từ (1) và (3) ta được . Suy ra . Vậy , hay ABC là tam giác đều (đpcm). 6. Phương pháp bất đẳng thức Ta đã xét trong các mục 2 và 3 việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác. Đến đây ta không nhắc lại mà sẽ trình bày phương pháp nhận dạng tam giác đều bằng cách sử dụng các bất đẳng thức khác: Cosi, Bunhiacopxki, Chebyshev. Bài 24. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Chứng minh ABC là tam giác đều. Lời giải Đưa giả thiết đã cho về dạng tương đương sau: (1) Theo bất đẳng thức Cosi, ta có: Nói khác đi ta có: (2) Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi Tương tự ta có: (3) Dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi Và: (4) Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi Từ (2) (3) (4), ta có: (5) Dấu bằng trong (5) xảy ra khi và chỉ khi đồng thời có dấu bằng trong (2)(3)(4), tức là khi và chỉ khi . Vì thế từ giả thiết (1) suy ra ABC là tam giác đều (đpcm). Bài 25. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Chứng minh ABC là tam giác đều. Lời giải Trước hết ta chứng minh rằng: từ giả thiết suy ra ABC là tam giác nhọn. Thật vậy, giả sử trái lại tam giác có một góc không nhỏ hơn , và không giảm tổng quát có thể cho là (vì nếu không, lý luận hoàn toàn tương tự). Khi đó: Viết lại giả thiết dưới dạng sau: Ta có: Do nên Do A và C là góc nhọn nên Suy ra Lí luận tương tự ta có: Mặt khác Vậy VT(*) < 0. Đó là điều vô lí. Nhận xét trên được chứng minh, tức là từ giả thiết suy ra ABC là tam giác nhọn. Không giảm tổng quát ta có thể giả sử . Khi đó ta có: Theo bất đẳng thức Chebyshev ta có: (1) Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi Điều đó xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều. Từ giả thiết ta nhận được đẳng thức trong (1). Vậy tam giác ABC đều (đpcm). Bài 26. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Chứng minh ABC là tam giác đều. Lời giải Theo bất đẳng thức Jensen ta có: Và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: Tương tự: Cộng vế cho vế ta được: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Vậy tam giác ABC đều (đpcm). Tóm lại, chúng ta thấy có thể sử dụng rất nhiều phương pháp để nhận dạng tam giác đều. Chính vì vậy cần lựa chọn phương pháp thích hợp cho từng bài tập. Ngoài ra, có những bài toán chúng ta còn có thể sử dụng phương pháp vectơ để nhận dạng tam giác. Chẳng hạn bài toán sau: “Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: Chứng minh ABC là tam giác đều.” Lời giải Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Hiển nhiên ta có: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , tức là khi và chỉ khi (G là trọng tâm của tam giác ABC), khi đó tam giác ABC đều. Vậy ABC là tam giác đều (đpcm). §4. NHẬN DẠNG CÁC TAM GIÁC CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT KHÁC Các bài toán trong bài này có nội dung như sau: Cho một tam giác có tính chất A nào đó (thường cho dưới dạng một hệ thức nào đấy). Ta phải chứng minh tam giác ấy cũng sẽ có thêm một tính chất B. Phần lớn các bài toán, hai tính chất A và B này là tương đương với nhau, nghĩa là tính chất A suy ra tính chất B và ngược lại. Nói một cách tổng thể thì có thể xem như các bài trước là các trường hợp riêng của bài này. Tuy nhiên, vì ta đã phân loại việc nhận dạng các tam giác đặc biệt ở các bài trước nên các tam giác xét trong bài này nói chung không phải là các tam giác vuông, cân, hoặc đều. Các tính chất đặc biệt của tam giác sẽ được thể hiện qua các hệ thức lượng giác hoặc đại số liên quan đến cạnh, góc và các yếu tố khác của tam giác. Bài 27. Chứng minh rằng trong tam giác ABC nếu theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì cũng lập thành cấp số cộng. Lời giải Theo định lí hàm số cos mở rộng, ta có: Do theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên: Điều này chứng tỏ lập thành cấp số cộng (đpcm). Bài 28. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, hai hệ thức sau tương đương: và . Lời giải Áp dụng định lí hàm số cosin suy rộng, ta có: Đó là điều phải chứng minh. Bài 29. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, hai hệ thức sau tương đương: và . Lời giải Ta có: Đó là điều phải chứng minh. Bài 30. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công bội . Chứng minh rằng Lời giải Ta có: (1) Do A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công bội nên ta có: Ta có (2) Lại có: Nên từ (2), ta có: Vậy (1) đúng và ta có điều phải chứng minh. Bài 31. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, hai hệ thức sau là tương đương: và . Lời giải Ta có: (áp dụng tính chất của hai dãy tỉ số bằng nhau) Đó là điều phải chứng minh. Bài 32. Cho tam giác ABC có . Chứng minh . Lời giải Từ giả thiết ta có: và , nên suy ra: và Theo định lí hàm số sin ta có: Như thế ta có: Ta có: Thay vào (4), ta được: . Đó là điều phải chứng minh. KẾT LUẬN Trong đề này đã trình bày một số phương pháp để nhận dạng tam giác và một số ví dụ minh họa. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do điều kiện thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên chắc chắn đề này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi kính mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và bạn đọc để đề tài này có thể được chính xác và đầy đủ hơn. Hưng Đạo, ngày 20 tháng 03 năm 2011 Giáo viên PHẠM VĂN HÙNG