Đề kiểm tra chọn nguồn học sinh giỏi môn toán 8 năm học 2009 – 2010 (thời gian làm bài 120 phút )

Đề kiểm tra chọn nguồn học sinh giỏi Môn toán 8 Năm học 2009 – 2010 (Thời gian làm bài 120 phút ) Bài 1 ( 3 điểm ) a. Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x4 - 6x3 + 27x2- 54x +32 b. A,p dụng chứng minh với mọi số nguyên n giá trị cả biểu thức A là số chẵn A = n4 -6n3 +27n 2 -54n +32 là số chẵn Bài 2 ( 4 điểm ) Cho hai biểu thức : a. Rút gọn A , B b. Với giá trị nào của x thì A + B có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó . Bài 3 ( 4 điểm ) a) Giải phương trình : b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : A = Bài 4. ( 3 điểm ) Cho hình chữ nhật ABCD ,vẽ BH vuông góc với AC (H ẻAC) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH và CD. Chứng minh : BM ^MN Bài 5 ( 4 điểm ) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh : a) BD.CE= b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Bài 6 ( 2 điểm ) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Đáp án và thang điểm Bài Nội dung điểm Bài 1 3 điểm a, Phân tích đa thức thành nhân tử : (1,5 đ) A = x4 - 6x3 + 27x2- 54x +32 =(x - 1)(x3- 5x2 +22x -32) 1 đ 0,5 đ = ( x - 1)( x – 2 )( x2-3x + 16) b. A,p dụng chứng minh với mọi số nguyên n giá trị cả biểu thức A là số chẵn : 1,5 đ Với n giá trị cả biểu thức: A = n4 -6n3 +27n 2 -54n +32 A = ( n - 1)( n – 2 )( n2-3n + 16) 0,5 đ n => n – 1 , n – 2 => ( n - 1); ( n – 2 ) là hai số nguyên liên tiếp 0,5 đ => ( n - 1)( n – 2 ) 2 => ( n - 1)( n – 2 ) = 2 k với k => A = 2k.( n2-3n + 16) => A là số chẵn 0,5 đ Bài 2 4 điểm a. Rút gọn A : ( 1,5 đ ) ĐKXĐ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ Rút gọn B : ( 1 đ ) ĐKXĐ b. Tìm giá trị nhỏ nhất của A + B : 1, 5đ Với ĐKXĐ ta có 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Vì 0,5 đ Vậy giá trị lớn nhất của A + B là ( thoả mãn ĐK) 0,5 đ Bài 3 4 điểm a) Giải phương trình : 2 điểm Phân tích các mẫu : x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; ĐKXĐ : 0,5 đ Phương trình trở thành : 0,5 đ 0,5 đ 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm được x=-13; x=2; 0,75 đ 0,2 5đ Đối chiếu ĐK có S = { -13; 2 } b. Chứng minh rằng :2 điểm A = Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ đó suy ra ; 0,5 Thay vào ta được A'p dụng tính chất a2 + b2 ≥ 2ab => Từ đó suy ra hay A 0,25đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ Bài 4 3 diểm *Gọi E là trung điểm của BH Dễ thấy tứ giác MECN là hình bình hành ị MN// EC * c/m E là trực tâm tam giác MBC: do AB^ BC ME //AB ị ME ^ BC ị E là trực tâm của tam giácMBC * CE^MB ị MN^MB 0,25đ 1,5đ 1,0 đ 0,25 đ Bài 5 4 điểm a. chứng minh BD.CE= : 1,5 đ Trong tam giác BDM ta có : Vì =600 nên ta có : Suy ra Chứng minh ∾ (1) Suy ra , từ đó BD.CE=BM.CM Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= b.C/m : DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.(1 điểm ) Từ (1) suy ra mà BM=CM nên ta có Chứng minh ∾ Từ đó suy ra , do đó DM là tia phân giác của góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED c) C/m : Chu vi tam giác ADE không đổi. (1 điểm ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 6 2 điểm Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z là các số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 d 0,25 đ 0,5 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0, 25 đ *Chú ý mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa