Đề 11 ôn thi Học kì II ­ Toán khối 11

ĐỀ 11 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11  1  ĐỀ 11  ( Thời gian làm bài 90 phút  )  I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )  Câu I ( 2,0 điểm )  a)  Cho hai hàm số  3 f (x) x x 2 sin x = + - +  ,  2 g(x) 3x x 2 = + +  . Hãy giải bất phương trình  :  f '(x) g '(x) cos x > +  .  b) Cho hàm số  2 y x 4 x = + -  . Tìm tập nghiệm của phương trình  y ' 0 =  .  Câu II ( 2,0 điểm )  Tìm các giới hạn sau :   a)  x 0  sin 2x  lim  x ®  b)  x 1  x 1  lim  x 1 ® - -  Câu III ( 3,0 điểm )  Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có canh đáy bằng a . Các cạnh bên cùng hợp với mặt đáy một  góc 60 o . Gọi O là tâm của mặt đáy .  a)  Chứng minh rằng : mp(SAC)^mp(SBD) .  b)  Tính góc hợp bởi cạnh bên SA với mặt đáy ABCD .  c)  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và BC .  II . PHẦN RIÊNG  ( 3 điểm )  Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B )  A.Theo chương trình chuẩn :  Câu IV.a  ( 1,0 điểm )  :  Cho hàm số  3 x 8  khi x 2 f (x)  4x 8  m        khi x 2 ì + ï ¹ - = í + ï = - î  . Xác định giá trị của m để hàm số f(x) liên tục trên ¡  .  Câu V.a  ( 2,0 điểm )  :  a) Cho hàm số  2  1  y sin  x =  . Chứng minh rằng :  2 2 4y 6(y ') 4 + =  .  b) Viết phưong trình tiếp tuyến với đường cong (C) :  1  y  x =  . Biết rằng tiếp tuyến đó song song với  đường thẳng (a) : x 4y 4 0 + - =  B.Theo chương trình nâng cao :  Câu IV.b  ( 1,0 điểm )  :  Cho dãy số  2  n n  2  3n 2  (u ) : u  n 1 - = +  . Chứng minh rằng dãy số (  n u  ) bị chặn trên . Tìm  n limu  .  Câu V.b  ( 2,0 điểm )  :  a)  Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng , biết  2 3 5  1 6  u u u 10  u u         17 - + = ì í + = î  b)  Cho hàm số  4 4 2 2 y sin x cos x 2sin x cos x = + +  . Chứng minh rằng :  y (1) y '(1) 1 + =  . . . . . . .  .HẾT . . . . . .  . ĐỀ 11 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11  2  HƯỚNG DẪN đáp án đề 11  I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )  Câu I ( 2,0 điểm )  a)  1đ Ta có :  2 f '(x) 3x 1 cos x = + +  , g '(x) 6x 1 = +  . Do đó :  2 2 f '(x) g '(x) cos x 3x 1 cosx 6x 1 cosx 3x 6x 0 x 0 hay x 2 > + Û + + > + + Û - > Û   .  b)  1đ Ta có :  2  2 2 2 2  x 0 x x  y ' 1  ; y' 0 1 0 4 x x  4 x x 4 x 4 x ³ ì ï = - = Û - = Û - = Û í - = ï î - -  2  x 0  x 0  x 2  x 2 x 2 ³ ì ³ ì ï Û Û Û = í í = ± = ï î î  Câu II ( 2,0 điểm )  a) 1đ  x 0 x 0 x 0 x 0  sin 2x 2sin x.cos x sin x  lim lim 2. lim . lim cos x 2.1.1 2  x x x ® ® ® ® = = = =  b) 1đ  x 1 x 1 x 1  x 1 x 1 1 1  lim lim lim  x 1 2 ( x 1)( x 1) ( x 1) ® ® ® - - = = = - - + +  Câu III ( 3,0 điểm )  Vì O là tâm của mặt đáy nên O = ACÇBD và SO^ (ABCD)  a)  1đ  Ta có : SO^ (ABCD)  SO BD Þ ^  (1) vì BD (ABCD) Ì  Mặt khác ABCD là hình vuông nên AC ^BD (2)  Từ  (1), (2) suy ra : BD (SAC) ^  mà BD (SBD) Ì  (SAC) (SBD) Þ ^  b)  1đ  Ta có : SO^ (ABCD)  SO AO Þ ^  (3) vì AO (ABCD) Ì  Mặt khác : AC BD AO BD ^ Þ ^  (4)  Từ (3),(4) suy ra AO (SBD) ^  tại O .  Do đó : OS là hình chiếu vuông góc của AS lên (SBD) .  Suy ra : · · (SA;(SBD)) ASO 30 = = o  Vì  AOS D  vuông tại O có  · SAO 60 = o .  c)  1đ Gọi I là trung điểm của BC .  Vì SO^ (ABCD)  SO OI Þ ^  (5)  Mặt khác : OI BC ^  (do  BOC D  cân tại O )  (6)  Từ (5),(6) suy ra :  a  d(SO;BC) OI  2 = =  II . PHẦN RIÊNG  ( 3 điểm )  Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B )  A.Theo chương trình chuẩn :  Câu IV.a  ( 1,0 điểm )  :  Ta có :  3 x 8  khi x 2 f (x)  4x 8  m        khi x 2 ì + ï ¹ - = í + ï = - î  + TXĐ : D =¡  + Với  x 2 ¹ -  hàm số  f(x) =  3x 8  4x 8 + +  liên tục trên { } \ 2 - ¡  .  Do đó : Hàm số f(x) liên tục trên ¡ Û  f(x) liên tục tại  x 2 = -  +  Xét sự liên tại x 2 = - ĐỀ 11 ÔN THI  HK II  ­ KHỐI 11  3  ▪  2 2  x 2 x 2 x 2  (x 2)(x 2x 4) x 2x 4  lim f (x) lim lim 3  4(x 2) 4 ® - ® - ® - + - + - + = = = +  ▪  f(­2) = m  Do đó : f(x) liên tục tại x 2 = -  x 2  lim f (x) f ( 2) 3 m ®- Û = - Û =  Vậy : Hàm số f(x) liên tục trên thì m = 3  Câu V.a  ( 2,0 điểm )  :  a)  1đ Ta có :  2 3 2  1 2 1  y sin y ' cos  x x x = Þ = -  2 2 2 6 2 2 2  2 3 2 2 2  1 2 1 1 1  VT 4y 6(y ') 4[sin ] x [ cos ] 4[sin ] 4[cos ]  x x x x x = + = + - = +  2 2  2 2  1 1  4[sin cos ] 4 VP  x x = + = =  b)  1đ  Ta có (a) :  1  x 4y 4 0 y x 1  4 + - = Û = - +  . Suy ra : Hệ số góc  a  1  k  4 = -  Gọi tiếp tuyến cần tìm là (b) thì (b) // (a)  nên  b a  1  k k  4 = = -  Mặt khác :  2  1  y '  x = -  Gọi tiếp điểm là M  o o (x ;y )  . Khi đó :  2  b o o o o 2  o  1 1 1  k y '(x ) y '(x ) x 4 x 2  4 4 x = Û = - Û - = - Û = Û = ±  ▪  o o 1  1 1 1 1  x 2 y tt  (b ) : y (x 2) y x 1  (loai vì // (a))  2 2 4 4 = Þ = Þ - = - - Û = - + &  ▪  o o 2  1 1 1 1  x 2 y tt  (b ) : y (x 2) y x 1  2 2 4 4 = - Þ = - Þ + = - + Û = - -  (nhận) .  B.Theo chương trình nâng cao :  Câu IV.b  ( 1,0 điểm )  :  Ta có  2  n  2 2  3n 2 5  u 3 3, n *  n 1 n 1 - = = - < " Î + + ¥  . Vậy dãy số (  n u  ) bị chặn trên .  Tìm  n limu  . Vì  n 2  5  lin 0 limu 3  n 1 = Þ = +  .  Câu V.b  ( 2,0 điểm )  :  a)  1đ  Gọi d là công sai của cấp số cộng .Ta có :  2 3 5  1 1 1 1  1  1 6 1 1 1  u u u 10  (u d) (u 2d) (u 4d) 10 u 3d 10  u 1  u u         17 u (u +5d)        17 2u +5d 17  d   3 - + = + - + + + = + = = ì ì ì ì Û Û Û í í í í + = + = = = î î î î  b)  1đ   Ta có :  4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y sin x cos x 2sin x cos x [sin x cos x] 2sin x cos x 2sin x cos x 1, x = + + = + - + = " Î ¡  Suy ra : y (1) = 1 .  Mặt khác :  y ' 0, y '(1) 0 = " Î Þ = ¡  Vậy :  y(1) y '(1) 1 + =