Chuyên đề về Tỉ lệ thức

I/ TỈ LỆ THỨC: 1/ Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số Đặc biệt: + Nếu (=0) thì đẳng thức xảy ra với mọi giá trị + Nếu () thì đẳng thức xảy ra x = y 2/ Tính chất 1: (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức) Nếu thì ad=bc 3/ Tính chất 2: Nếu thì 4/ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: hay mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: Từ ta có: Từ ta có: Khi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: ; thực hiện phép tính từ “các tử của các tỉ số” đã cho, có thể xảy ra kết quả bằng “không”. Nghĩa là a+c+e=0 hay . Vì vậy, khi sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nên lần lượt xét các trường hợp sau: 1/ Kết quả của phép tính các từ từ các tỉ lệ thức bằng “không” Chẳng hạn: Khi thực hiện , trước tiên ta xét trường hợp a+c+e=0 2/ Tiếp tới xét để đảm bảo tồn tại tỉ số vừa hình thành. II/ PHƯƠNG PHÁP, CÁCH GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC - Cách 1: Đặt ẩn phụ - Cách 2: Sử dụng phương pháp của dãy tỉ số bằng nhau. - Cách 3: Phương pháp thế. III/ HƯỚNG DẪN GIẢI QUYẾT CSC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC Dạng 1: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức A/ Đặt ẩn phụ: Ví dụ: Tìm hai số x và y biết và x+y=20 Đặt Suy ra x=2k; y=3k Theo giả thiết: x+y=20 Suy ra 2k+3k=20 Hay 5k=20 Tức k=4 Do đó x=2.4=8; y=3.4=12 Vậy: x=8; y=12 B/ Sử dụng phương pháp của dãy tỉ số bằng nhau: Ví dụ: Tìm hai số x và y biết và x+y=20 Biết Do đó: hay x=8 hay y=12 Vậy: x=8; y=12 C/ Phương pháp thế: Ví dụ: Tìm hai số x và y biết và x+y=20 Biết Mà Do đó hay x=8 Vậy: x=8; y=12 Ví dụ 1: Tìm x biết: (*) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, từ (*) suy ra: (**) (Chú ý: Tại kết quả này, ta nên xét trường hợp a+b+c+d=0. Vì có trường hợp các tử số của các tỉ số khi thực hiện cộng hay trừ thì sẽ xảy ra kết quả bằng không) Lưu ý 1: Nếu: - a+b+c+d= 0 Tức là: a=-(b+c+d) ; b=-(a+c+d) ; c=-(a+b+d) ; d=-(a+b+c) Khi đó Lưu ý 2: Nếu: - thì từ (**) suy ra: Vậy: x=-1; Ví dụ 2: Tìm x, y biết: (1) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, suy ra: Hay (***) Lưu ý 1: Với: Suy ra Lưu ý 2: Với: từ (***) suy ra: 6x=12 hay x=2, từ x=2 thay vào (1) ta được: Hay 3y-2=7 suy ra 3y=9 tức là y=3 Vậy: x= và ; x=2 và y=3 Ví dụ 3: Cho dãy tỉ số bằng nhau: (***) Tính: M= Hướng dẫn giải: - Ta cần tạo ra các tỉ số có mẫu: z+t ; x+t ; x+y ; y+z - Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau Giải : Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: Từ (***), ta có: (1) (2) (3) (4) Từ (1) suy ra: (5) Từ (2) suy ra: (6) Từ (3) suy ra: (7) Từ (4) suy ra: (8) Từ (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8) suy ra: (9) (Chú ý: Tại kết quả này, ta nên xét trường hợp x+y+z+t=0. Vì có trường hợp các tử số của các tỉ số khi thực hiện phe4sp tính sẽ xảy ra kết quả bằng không) Lưu ý 1 Với: x+y+z+t=0 thì x+y=-(z+t) ; y+z=-(x+t) ; z+t=-(x+y) ; x+t=-(y+z) Lưu ý 2: Với: x+y+z+t0 Vậy: M=-4 ; M=4 Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết rằng: (a) Giải: Vế trái của (a): (b) (Riêng bài này bài toán đã cho  ; nên không xét trường hợp x+y+z=0. Nếu bài này mà xét trường hợp x+y+z=0 thì kết quả dẫn tới mâu thuẫn, sai lầm) Như vậy, ta có thể giải quyết bài toán trên: Giải: Vế trái của (a): (vì ) (b) Từ (a) và (b), suy ra: Hay ; y+z=-x ; x+z=-y ; x+y=-z thay vào (b) Ta có: x= ; y=; z= Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức . Hãy tìm x Giải: Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, suy ra: Lưu ý 1: Với: (thỏa mãn đk bài toán) Lưu ý 2: Với: Hay (thỏa mãn đk bài toán) Vậy: x=-8 ; x=8 Trong trường hợp này không quan tâm đến « lưu ý 1 » thì sẽ mất giá trị x=-8 Nếu sử dụng tính chất cơ bản 1: x+8=0 hoặc x-8=0 x=8; x=-8 Dạng 2: Chứng minh các tỉ lệ thức */ Chứng minh tồn tại một tỉ lệ thức hay dãy tỉ lệ thức bằng nhau Từ một tỉ lệ thức suy ra một đẳng thức - Phương pháp1: Chứng tỏ rằng A.D=C.D (sử dụng tính chất 1 của tỉ lệ thức) - Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số có cùng giá trị. - Phương pháp 3: Phối hợp các tính chất tỉ lệ thức (hoán vị các hạng tử - sử dụng tính chất 2), tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tính chất các đẳng thức. MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ + + + Thay vì nói có thể ghi + viết cách khác SAI LẦM */ Cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau (sai lầm) - Thêm bớt vào đẳng thức: ; ; ; - Tạo tích các tỉ số: + Sử dụng: + Thay tỉ số khác có cùng giá trị với tỉ số đó Chẳng hạn: Cho tỉ lệ thức + Nếu tìm thay vì thì thay bỡi + Nếu tìm thay vì thì thay bỡi và Có các cách ra đề như sau: Ví dụ 1: + Cho tỉ lệ thức chứng minh rằng (giả thiết các tỉ số đếu có nghĩa) + Cho tỉ lệ thức chứng minh rằng + Cho chứng minh rằng (Lưu ý: Cho dạng chưa chắc là tỉ lệ thức vì vậy cần điều kiện: ) Ví dụ 2: + Cho . Chứng minh rằng + Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng + Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng (giả thiết các tỉ số đếu có nghĩa) - Có thể ghi điều kiện cụ thể - Cũng có thể ghi tổng quát là «đủ điều kiện để tồn tại » Phần minh Họa: Cho . Chứng minh rằng CÁCH 1: Sử dụng tính chất 1 của tỉ lệ thức Nếu thì ad=bc Phân tích bài toán, cần xác định: - Giả thiết bài toán : - Yêu cầu, chứng tỏ tỉ lệ thức xảy ra Như vậy, để kết luận được phải có: Qua phân tích bài toán như trên : - Dựa vào dự kiện bài toán - Xét các biểu thức: a(c-d) và c(a-b) - Tìm mối liên hệ của a(c-d) và c(a-b) Giải: Biết: a(c-d) = ac-ad (1) c(a-b) = ac-cb (2) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra a(c-d) = c(a-b) (4) Vì , do đó: (đpcm) CÁCH 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số có cùng giá trị. Qua phân tích bài toán như trên: - Dựa vào dự kiện bài toán - Kiểm tra giá trị của: (tính theo k) - Nếu giá trị của hai tỉ số trên như nhau thì bài toán được chứng minh. Giải: Đặt (theo điều kiện bài toán ) Suy ra: a=bk ; c=dk Do đó: (1) (2) Từ (1), (2) suy ra: (đpcm) CÁCH 3: Phối hợp các tính chất Theo giả thiết của bài toán: Biết: (sử dụng tính chất 2) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau) (sử dụng tính chất 2) Một cách khác: Theo giả thiết của bài toán: Biết (thêm bớt giá trị của đẳng thức) (tính chất 2) (tính chất 2) Bài 1: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh */ Cần tránh sai lầm áp dụng “tương tự” tính chất dãy tỉ số bằng nhau (sai lầm) - Tìm cho được - Tìn - So sánh và Giải: Biết: (1) (Để tìm ta viết (a); mà nên thay vì viết lại viết ) Mặt khác (2) Từ (1), (2) suy ra (đpcm) Một cách khác: Đặt thì a=bk ; c=dk Ta có: (1) (2) Từ (1), (2) suy ra (đpcm) Bài 2: Cho tỉ lệ thức . Tìm giá trị của tỉ số - Có thể tính giá trị của x, y - Sau đó tính Hoặc : - Từ giả thuyết bằng kỹ thuật biến đổi để suy ra dạng Giải: Dùng phương án 1 Cho tỉ lệ thức Suy ra Giải: Dùng phương án 2 Từ Suy ra Bài 3: Cho tỉ lệ thức . Tìm giá trị của tỉ số x, y Biết (tạo xy dùng kỹ thuật bình phương) Nếu Nếu Vậy: x=8 , y=12 ; x=-8, y=-12 Bài 4: Chứng minh rằng nếu a2 = bc (với ; ) thì . Ta có : Suy ra Bài 5: Cho tỉ lệ thức trong đó . Chứng minh c=0 Theo điều kiện bài toán , ta có: Bài 6: Cho tỉ lệ thức . Chứng tỏ rằng a=c hoặc a+b+c+d=0 Ta có: (a) Trường hợp a=1, b=2, c=3, d=-6 a+b+c+d=0 Trường hợp Từ (a) suy ra Hay a+b=b+c a=c Vậy: a+b+c+d=0 hoặc a=c Bài 7: Cho tỉ lệ thức thì - Phân tích bài toán :  ; có nghĩa là b ; d và - kết hợp với giả thiết a, c và - Phải chứng minh cho được Giải: Với điều kiện bài toán ta có: (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra Ngược lại: Cho tỉ lệ thức với thì Giải: Từ tỉ lệ thức Vì giả thiết  ; Bài 8: Cho tỉ lệ thức Chứng minh Giải: Biết (vì ) Bài 9: Tìm phân số biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và mẫu thì giá trị của phân số đó không đổi.. Phân tich bài toán: - Bài toán tìm số - Yêu cầu vận dụng định nghĩa của tỉ lệ thức để tìm ra yêu cầu của bài toán Giải: Gọi x là một số khác 0, , theo giả thiết bài toán, biết: Tìm điều kiện a,b biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và mẫu thì giá trị của phân số không thay đổi. - Cách giải giống như trên - Phần kết luận nên dựa vào Bài 10: Cho . Chứng minh rằng Cách giải: - Sử dụng và phép thay giá trị tương ứng. Giải: Theo giả thiết bài toán: (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra Bài 11: Cho . Chứng minh rằng a=b=c Đặt với k0 Suy ra: (1) (2) (3) Từ (1), (2) và (3) nhân vế với vế, ta có: k3=1 hay k=1 Suy ra Vậy: a=b=c Bài 11: Cho . Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó. Giải: Theo giả thiết: (*) Biết (**) Lưu ý 1: Với: Từ (*) suy ra Lưu ý 2: Với: , từ (**) suy ra: Vậy: A=-1 ; Bài 12: Cho tỉ số . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x. Giải: - Với x=0 và theo giả thiết bài toán thì - Với thì Vậy P=k không phụ thuộc vào giá trị x